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1、第三节第三节 行列式的性质行列式的性质一、对换的定义一、对换的定义二、对换与奇偶性的关系二、对换与奇偶性的关系三、行列式的性质三、行列式的性质四、小结四、小结一、对换的定义定义定义在一个排列中，将任意两个元素对调，在一个排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，得到一个新的排列，其余的元素不动，得到一个新的排列，这种作出新排列的手续叫做对换这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证证 先证相邻对换的情形先
2、证相邻对换的情形设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与再证一般对换的情形再证一般对换的情形次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.推论推论奇
3、排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .证证 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数变化次数,而而标准排列是偶排列标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.证证按按行列式定义有行列式定义有记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅总有且仅有有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之反之, 对于对于 中任
4、意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而例例3 3 用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解例例4 4 证明证明 在全部在全部 阶排列中阶排列中 , ,奇偶排列奇偶排列各占一半各占一半. . 证证 设在全部设在全部 阶排列中有阶排列中有 个奇排列个奇排列, , 个偶个偶排列排列, ,现来证现来证 . . 将将 个奇排列的前两个数对换个奇排列的前两个数对换, ,则这则这 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列, ,并且它们彼此不同并且它们彼此不同, ,所以所以若将若将 个
5、偶排列的前两个数对换个偶排列的前两个数对换, ,则这则这 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列, ,并且它们彼此不同并且它们彼此不同, ,于是有于是有故必故必有有三、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记记证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为故故性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .证证证证说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列
6、因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,设设 阶行列式阶行列式于是于是则有则有即即当当 时时,当当 时时,推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证证交换相同的两行，有交换相同的两行，有 性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .由行列式的定义得由行列式的定义得证证 记记用数用数 乘以乘以 的第的第 行行,
7、得行列式得行列式注注注注 性质性质性质性质3 3表明表明表明表明 行列式中某一行（列）所有元素行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式外面的公因子可以提到行列式外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零性质性质5 5若行列式的某一行（列）的元素都是两若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，那么可把行列式表示成两个行列式的数之和，那么可把行列式表示成两个行列式的和，即和，即性质性质把行列式的某一行（列）的各元素乘以把行列式的某一行（列）的各元素乘以数数 ，加到另一行，加到另一行(列列)对应的元素上去，行列对应的元素
8、上去，行列式的值不变，即式的值不变，即证证设上式等号左边行列式为设上式等号左边行列式为等号右边行列式等号右边行列式为为 由性质由性质5和和4得，得， 1.1.用用 表示行列式的第表示行列式的第 行，用行，用 表示行列式表示行列式的第的第 列列.2.2.交换行列式的第交换行列式的第 行与第行与第 行行, ,记作记作类似地类似地, ,交换第交换第 列与第列与第 列列, ,记作记作3.3.第第 行元素乘以数行元素乘以数 ，记作，记作 类似地，类似地，第第 列元素乘以数列元素乘以数 ，记作，记作说明说明5.5.用数用数 乘以第乘以第 行行( (列列) )加到第加到第 行行( (列列) )上去上去, ,
9、6.6.利用行列式性质化行列式为上利用行列式性质化行列式为上( (下下) )三角行列三角行列式式,可以方便地求出行列式的值可以方便地求出行列式的值.要使计算顺畅要使计算顺畅,首先首先应将首行首列元素化为应将首行首列元素化为1 14.4.第第 行行( (列列) )提出公因子提出公因子 , ,记作记作 例例5 5计算计算4 4阶行列式阶行列式解解例例6 6 计算计算 阶行列式阶行列式解解将将第第 都加到第一列得都加到第一列得注注 具有行和相等（列和相等）的行列式，通常用具有行和相等（列和相等）的行列式，通常用例例6 6的方法去处理的方法去处理例例7 证明证明证证先把先把 的的 倍分别加到后面各列倍
10、分别加到后面各列,再将得到再将得到 倍加到第四列倍加到第四列,得得的行列式的第二列的的行列式的第二列的 倍加到第三列倍加到第三列,第二列的第二列的例例8 8证明证明证证例例9 9解解 1. 1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性2.2.行列式的二种表示方法行列式的二种表示方法四、小结 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 4.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算出行列式的值出行列式的值3.行列式的行列式的6个性质个性质
