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1、 向向 量量 代代 数数与与 空空 间间 解解 析析 几几 何何 习题课习题课1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、（一）向量代数（一）向量代数(1) 加法：加法：2 2、向量的线性运算、向量的线性运算(2) 减法：减法：(3) 向量与数的乘法：向量与数的乘法：向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向
2、量的坐标：向量的坐标：3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、数量积(点积、内积点积、内积)数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式5 5、向量积、向量积(叉积、外积叉积、外积)向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式/6 6、混合积、混合积曲面方程的定义：曲面方程的定义：1 1、曲面、曲面（二）空间解析几何（二）空间解析几何研究空间曲面的两个基本问题：研究空间曲面的两个
3、基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.1 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.方程特点方程特点:（2）圆锥面）圆锥面（1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面2 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的
4、的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：(1) 平面平面 (3) 抛物柱面抛物柱面 (4) 椭圆柱面椭圆柱面 (2) 圆柱面圆柱面 3 二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面（3）马鞍面）马鞍面（4）单叶双曲面）单叶双曲面（5）圆锥面）圆锥面2 2、空间曲线、空间曲线1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为3 空间曲线在坐标
5、面上的投影空间曲线在坐标面上的投影消去变量消去变量z后得：后得：设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为面上的投影曲线面上的投影曲线面上的投影曲线面上的投影曲线如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面4 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空空间间立立体体曲曲面面3 3、平面、平面1 平面的点法式方程平面的点法式方程2 平面的一般方程平面的一般方程3 平面的截距式方平面的截距式方程程4 平面的夹角平面的夹角5 两平面位置特征：两平面位置特征：/4 4、空间直线、空间
6、直线1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程直线直线直线直线两直线的夹角公式两直线的夹角公式4 两直线的夹角两直线的夹角5 两直线的位置关系：两直线的位置关系：/6 直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式7 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系/二、典型例题二、典型例题例例1 1解法解法1由题设条件得由题设条件得解得解得解法解法2由题设条件得由题设条件得解得解得例例2设设的三边的三边三边中点分别为三边中点分别为 D、E、F 试用试用表示表示并并证明证明证证ABCDEF例例3
7、已知已知证明证明证证ADCB而而令令得得唯一驻点唯一驻点而而时时面积最大面积最大例例4设设求求解解由题设知由题设知两式相减得两式相减得代入前式有代入前式有故故例例5已知向量已知向量求与求与同时垂直，且在同时垂直，且在上投影为上投影为 1的向量的向量解解由于由于同时垂直于同时垂直于而而故可设故可设而而故故故故例例6 6解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为由题设知由题设知由此解得由此解得故所求平面方程为故所求平面方程为例例7 7解解例例8求过点求过点且且平行于平面平行于平面又与又与直线直线相交的直线方程相交的直线方程.解解设设所求直线与已知直线的交点为所求直线与已知直线的交点为又又
8、所求直线与已知平面平行所求直线与已知平面平行,所求直线方程为所求直线方程为例例9 9解解所求投影直线方程为所求投影直线方程为例例10求求直线直线在平面在平面上的投影上的投影.解解直线的方向向量直线的方向向量已知平面的法向量已知平面的法向量即为即为所求平面的法向量所求平面的法向量又点又点在在所求平面上所求平面上 过过直线作一平面与已知平面垂直直线作一平面与已知平面垂直故故所求平面的方程为所求平面的方程为即即已知直线在所给平面上的投影直线的方程为已知直线在所给平面上的投影直线的方程为例例1111解解由于高度不变由于高度不变,故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为例例12 求点求点到到直线直线的的距离距离 解解如图所示如图所示所求点到直线的距离所求点到直线的距离等于平行四边形的高等于平行四边形的高由由向量积的几何意义得向量积的几何意义得例例13设设和和为为异面直线异面直线求求它们之间的距离它们之间的距离 测测 验验 题题 测验题答案测验题答案
