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1、两条线段两条线段和和的最的最小小值值两点之间，线段最短两点之间，线段最短两条线段两条线段差差的最的最大大值值三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边当当P运动到运动到E时，时，PAPB最小最小当当Q运动到运动到F时，时，QDQC最大最大当当P运动到运动到E时，时，PAPB最小最小当当Q运动到运动到F时，时，QDQC最大最大第一步，寻找、构造几何模型第一步，寻找、构造几何模型第二步，计算第二步，计算例例1 1：在：在ABCABC中，中，AC=BC=2AC=BC=2，ACB=90ACB=90O O，D D是是BCBC边的中点，边的中点，E E是是ABAB上的一动点，则上的一动点，则EC+E
2、DEC+ED的最小值为的最小值为 。ACBDEp例例2 2：ABCABC中，中，AC=3AC=3，BC=4BC=4，AB=5AB=5，试在，试在ABAB上找一点上找一点P P，在，在BCBC上上取一点取一点M M，使，使CP+PMCP+PM的值最小，并的值最小，并求出这个最小值。求出这个最小值。ABCPMC/例例1 1、例、例2 2中的最小值问题，所涉及到的中的最小值问题，所涉及到的路径，虽然都是由两条线段连接而成，路径，虽然都是由两条线段连接而成，但是路径中的动点与定点的个数不同，但是路径中的动点与定点的个数不同，例例1 1 中的路径为中的路径为“定点定点动点动点定点定点”，是两个定点一个动
3、点，而例是两个定点一个动点，而例2 2中的路中的路径是径是“定点定点动点动点动点动点”，是一个定是一个定点两个动点，所以两个题的解法有较大点两个动点，所以两个题的解法有较大差异，例差异，例1 1是根据是根据两点之间线段最短两点之间线段最短求求动点的位置，例动点的位置，例2 2是根据是根据垂线段最短垂线段最短找找两个动点的位置。两个动点的位置。例例3 3：已知二次函数图像的顶点坐标：已知二次函数图像的顶点坐标为为C(3C(3，-2)-2)，且在，且在x x轴上截得的线段轴上截得的线段ABAB的长为的长为4 4，在，在y y轴上有一点轴上有一点P P，使，使APCAPC的周长最小，求的周长最小，求
4、P P点坐标。点坐标。ACBA/OP例例4 4：抛物线：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c经过点经过点A(-A(-4 4，3)3)，B(2B(2，0)0)，当，当x=3x=3和和x=-3x=-3时，时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点经过点C(0C(0，-2-2）的直线）的直线a a与与x x轴平轴平行。（行。（1 1）求直线）求直线ABAB和抛物线，和抛物线，（2 2）设直线）设直线ABAB上点上点D D的横坐标为的横坐标为-1-1，P(mP(m，n)n)是抛物线上的一动点，是抛物线上的一动点，当当PODPOD的周长最小时，求的周长最小时，
5、求P P点坐标。点坐标。2010南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）用待定系数法即可求出直线AB的解析式；根据“当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等
6、”可知：抛物线的对称轴为y轴，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据A点坐标可求出半径OA的长，然后判断A到直线l的距离与半径OA的大小关系即可；（3）根据直线AB的解析式可求出D点的坐标，即可得到OD的长，由于OD的长为定值，若POD的周长最小，那么PD+OP的长最小，可过P作y轴的平行线，交直线l于M；首先证PO=PM，此时PD+OP=PD+PM，而PD+PMDM，因此PD+PM最小时，应有PD+PM=DM，即D、P、M三点共线，由此可求得P点的坐标；此时四边形CODP是梯形，根据C、O、D、P四点坐标即可求得上下底DP、OC的长，而梯形的高为D点横坐标的绝对值由此可求出四边形
7、CODP的面积解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：4k+b32k+b0，解得k12b1；直线AB的解析式为y=-12x+1；由题意知：抛物线的对称轴为y轴，则抛物线经过（-4，3），（2，0），（-2，0）三点；设抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x+2），则有：3=a（-4-2）（-4+2），a=14；抛物线的解析式为：y=14x2-1；（2）易知：A（-4，3），则OA=42+32=5；而A到直线l的距离为：3-（-2）=5；所以A的半径等于圆心A到直线l的距离，即直线l与A相切；（3）过D点作DMy轴交直线于点M交抛物线于点P，则P（m，n），M（m，-2）； PO
8、2=m2+n2，PM2=（n+2）2；n=14m2-1，即m2=4n+4；PO2=n2+4n+4=（n+2）2，即PO2=PM2，PO=PM；易知D（-1，32），则OD的长为定值；若PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；PO+PD=PD+PMDM，PD+PO的最小值为DM，即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；此时点P的横坐标为-1，代入抛物线的解析式可得y=14-1=-34，即P（-1，-34）；S四边形CPDO=12（CO+PD）|xD|=12（2+32+34）1=178点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，还涉及到解析几何
9、中抛物线的相关知识，能力要求极高，难度很大ABOCDPABOCDP例例3，例，例4中最小值问题，所涉及到的中最小值问题，所涉及到的路径虽然都是有两条动线段连接而成，路径虽然都是有两条动线段连接而成，且路径都是且路径都是“定点定点动点动点定点定点”，但是动点运动的路线不同，例但是动点运动的路线不同，例3是直线，是直线，例例4是曲线，因此它们的解法有很大不是曲线，因此它们的解法有很大不同，例同，例3是根据是根据两点之间线段最短两点之间线段最短找到找到动点的位置，例动点的位置，例4是根据是根据垂线段最短垂线段最短找找到所求的两个动点的位置。到所求的两个动点的位置。例例5:5:在在x x轴、轴、y y
10、轴上是否分别存在点轴上是否分别存在点M M、N N, ,使得四边形使得四边形MNFEMNFE的周长最小？如的周长最小？如果存在果存在, ,求出周长的最小值求出周长的最小值; ;如果不如果不存在存在, ,请说明理由请说明理由. .要求四边形要求四边形要求四边形要求四边形MNFEMNFE的周长最小？的周长最小？的周长最小？的周长最小？把三条线段转移把三条线段转移把三条线段转移把三条线段转移到同一条直线上到同一条直线上到同一条直线上到同一条直线上就好了！就好了！就好了！就好了！第一步第一步 寻找、构造几何模型寻找、构造几何模型EFE/F/MN第二步第二步 计算计算勾股定理勾股定理小结小结经典模型：经
11、典模型：经典模型：经典模型：台球两次碰壁问题台球两次碰壁问题台球两次碰壁问题台球两次碰壁问题经验储存：经验储存：经验储存：经验储存：没有经验，难有思路没有经验，难有思路没有经验，难有思路没有经验，难有思路例例6：在平面直角坐标系中，：在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别是的顶点坐标分别是A(-2，0)，O(0,0)，B(0，4），把），把AOB绕绕O点按顺时针旋点按顺时针旋转转90度，得到度，得到COD，（，（1）求）求C、D的坐标，（的坐标，（2）求经过）求经过A、B、D三点的三点的抛物线。（抛物线。（3）在（）在（2）中的抛物线的对）中的抛物线的对称轴上取两点称轴上取两点E、F（E
12、在在F点的上方），点的上方），且且EF=1，当四边形，当四边形ACEF的周长最小的周长最小时，求时，求E、F的坐标。的坐标。ABCEFDD/O例例5、例、例6中的最小值问题所涉及到的路径，中的最小值问题所涉及到的路径，虽然都是由三条动线段连接而成，且路径虽然都是由三条动线段连接而成，且路径都是都是“定点定点动点动点动点动点定点定点”，但是，但是例例5中的量动点间的线段长度不确定，而中的量动点间的线段长度不确定，而例例6的两动点间的线段长度为定值，正是的两动点间的线段长度为定值，正是由于这点的不同，使得它们的解题方法有由于这点的不同，使得它们的解题方法有很大差异，很大差异，例例5是根据是根据两点
13、之间线段最短两点之间线段最短找到动点的位置，例找到动点的位置，例6是通过是通过构造平行四构造平行四边形边形先找到所求的其中一个动点的位置，先找到所求的其中一个动点的位置，另一个位置也随之确定。另一个位置也随之确定。1、已知在对抛物线的对称轴上存、已知在对抛物线的对称轴上存在一点在一点P，使得，使得PBC的周长最小，的周长最小，请求出点请求出点P的坐标的坐标 .要求要求要求要求PBCPBC的周长最小？的周长最小？的周长最小？的周长最小？第一步第一步 寻找、构造几何模型寻找、构造几何模型只要只要只要只要PBPB+PCPC最小就好了！最小就好了！最小就好了！最小就好了！经典模型：经典模型：牛喝水！牛
14、喝水！把把把把PBPB+PCPC转化为转化为转化为转化为PAPA+PCPC ！当当当当PP运动到运动到运动到运动到HH时，时，时，时，PAPA+PCPC最小最小最小最小第二步第二步 计算计算勾股定理勾股定理2、对于动点、对于动点Q（1，n），），求求PQ+QB的最小值的最小值 .要求要求要求要求PQPQ+QBQB的最小值？的最小值？的最小值？的最小值？第一步第一步 寻找、构造几何模型寻找、构造几何模型经典模型：经典模型：牛喝水！牛喝水！把把把把PQPQ+QBQB转化为转化为转化为转化为PQPQ+QAQA ！当当当当QQ运动到运动到运动到运动到EE时，时，时，时，PQPQ+QAQA最小最小最小最
15、小第二步第二步 计算计算勾股定理勾股定理第二步第二步 计算计算勾股定理勾股定理把把把把PQPQ+QBQB转化为转化为转化为转化为PQPQ+QAQA ！当当当当QQ运动到运动到运动到运动到EE时，时，时，时，PQPQ+QAQA最小最小最小最小小结小结E? F!3.3.如图，如图，AOB=45AOB=45，角内有一动点，角内有一动点P P ，PO=10PO=10，在，在AOAO，BOBO上有两动点上有两动点Q Q，R R，求，求PQRPQR周长的最小值。周长的最小值。ABOPDERQ4.4.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,ABE,ABE是等边是等边三角形三角形,M,M为对角线为对角线BDBD（不含（不含B B点）上任意一点）上任意一点点, ,将将BMBM绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转6060得到得到BN,BN,连接连接ENEN、AMAM、CM.CM. 求证：求证：AMBENBAMBENB； 当当M M点在何处时，点在何处时，AMAMCMCM的值最小；的值最小；当当M M点在何处时，点在何处时，AMAMBMBMCMCM的值最小，的值最小，并说明理由；并说明理由； EA DB CNM
