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1、平行与垂直平行与垂直平行与垂直平行与垂直线面子行与会直的关系也可以互相转化线面子行与会直的关系也可以互相转化 平行与垂直关于平行关系的考查，主要是：关于平行关系的考查，主要是：l）能够通过观察直观图，想象空间直线与直）能够通过观察直观图，想象空间直线与直线，直线与平面、平面与平面间的平行关系；线，直线与平面、平面与平面间的平行关系；2）能够判定或论证直线与直线、直线与平面、）能够判定或论证直线与直线、直线与平面、平面与平面间的平行关系；平面与平面间的平行关系；3）在平行关系的证明中，会使用反证法或同）在平行关系的证明中，会使用反证法或同一法一法平行与垂直关于垂直关系的考查，主要是：关于垂直关系
2、的考查，主要是：l）通过观察直观图想象空间直线与直线、直线与平）通过观察直观图想象空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；面、平面与平面的垂直关系；2）熟练掌握直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面）熟练掌握直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直判定的基本方法；与平面垂直判定的基本方法；3）能把空间平面与平面垂直，直线与平面垂直转化为）能把空间平面与平面垂直，直线与平面垂直转化为直线与直线所成的角为直角，进而利用解三角形解决直线与直线所成的角为直角，进而利用解三角形解决空间角、距离、面积、体积的计算求解；空间角、距离、面积、体积的计算求解；4）关于异面直线的距离，只要来会计算已
3、给出公垂线）关于异面直线的距离，只要来会计算已给出公垂线时的距离时的距离 平行与垂直存在唯一性结论存在唯一性结论公理公理2：如果两个平面有一个公共点，那麽它：如果两个平面有一个公共点，那麽它们有且只有一条通过这个点的公共直线。们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。有一个平面。推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。且只有一个平面。推论推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面
4、。：经过两条平行直线有且只有一个平面。 平行与垂直线面垂直的两个性质线面垂直的两个性质经过一点有且只有一条直线和一个平面经过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。垂直。经过一点有且只有一个平面和一条直线经过一点有且只有一个平面和一条直线垂直条直线。垂直条直线。面面平行的性质面面平行的性质过平面外一点有且只有一个平面和已知过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。平面平行。 平行与垂直两直线平行的判定两直线平行的判定1.定义：在同一平面内没有公共点的两条直定义：在同一平面内没有公共点的两条直线。线。2.公理公理4：ab，bc acba3.直线和平面平行性质定理：直线和平面平行性质定理：a ，a，
5、 =b ab4.直线和平面垂直的性质定理：直线和平面垂直的性质定理： a，b ab5.两个平面平行的性质定理：两个平面平行的性质定理： ， =a， =b ab6. a、b、c，a c，b c ab 平行与垂直两直线垂直判定两直线垂直判定1.定义：所成角是直角。定义：所成角是直角。2.如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那麽如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那麽它也和另一条垂直。它也和另一条垂直。 即即 ab，c a c b3.线面垂直定义。即线面垂直定义。即 a，b b a4.三垂线定理。三垂线定理。即即 PA，AO a，a a PO5.三垂线定理逆定理。三垂线定理逆定理。即即PA，a
6、PO，a AO a6.三个两两垂直的平面的三条交线两两垂直。三个两两垂直的平面的三条交线两两垂直。（半个定理半个定理） 、 、 两两垂直两两垂直三条交线三条交线a、b、c两两垂直两两垂直平行与垂直直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定1.定义：定义：a = a 2.判定定理：判定定理：a，b，ab a 3.面面平行性质定理：面面平行性质定理： ，a a ，a，a a （半个定理半个定理）4.，a a 或或a平行与垂直直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定1.定义：一条直线垂直于平面内的任意直线。定义：一条直线垂直于平面内的任意直线。2.判定定理判定定理1： 3.判定定理判定定理2：4 ，l
7、 la l5 =l，a，a l a6 =l， l （半个定理半个定理） 平行与垂直平面和平面平行的判定平面和平面平行的判定1.定义：定义：= 2.判定定理：判定定理： a，b，ab=A，a ，b 3.a，a 4. ， 平行与垂直平面和平面垂直的判定平面和平面垂直的判定1.定义：两个相交平面成直二面角。定义：两个相交平面成直二面角。2.判定定理：判定定理：a，a 3. ， (结论须证结论须证)证明：在证明：在 内作内作l a , l l 又又l 逆命题：逆命题： ， 不成立不成立平行与垂直如图如图AB、CD为异面直线，是三个互相平为异面直线，是三个互相平行的平面，行的平面，AB分别交分别交 、
8、、 于于A、E、B，CD分别交分别交 、 、 于于C、F、D，AD、CB分别交分别交 于于G、H。求证：。求证：EHFG是平是平行四边形。行四边形。ACGFEHBD平行与垂直证明：连结证明：连结AC、BD，过，过AB、AD可确定平面可确定平面ABD，过，过BC、CD可确定平面可确定平面CBD GEBD，HFBD GEHF过过AD、CD可确定平面可确定平面ADC过过AB、BC可确定平面可确定平面ABC EHAC，FGACEHFG EHFG是平行四边形是平行四边形本题证明过程中，把一个较复杂的空间图形分散本题证明过程中，把一个较复杂的空间图形分散成一个个简单的图形来处理并几次将立体几何问成一个个简
9、单的图形来处理并几次将立体几何问题化成平面几何问题来解决这是解决立体几何问题化成平面几何问题来解决这是解决立体几何问题时常常采用的手段。题时常常采用的手段。平行与垂直已知三棱锥已知三棱锥SABC，ASB=ASC=45，BSC=60，求证：侧面求证：侧面BSA侧面侧面CSA分析：利用所成二面角是直二面角。分析：利用所成二面角是直二面角。ABEDCS平行与垂直证明：过证明：过B作作BDSA于于D，过，过D在平面在平面SAC内作内作EDAC交交SC于于E，连，连BE，BDE为二面角为二面角BASC的平面角的平面角ABEDCSASC=ASB=45 ED=SD=BD设设SD=a，则，则SB=SE=a在在
10、BSE中中 BSE=60BE=a在在BDE中中 BDE=90二面角二面角BASC为直二面角为直二面角侧面侧面BSA侧面侧面CSAABEDCS平行与垂直如图四棱锥如图四棱锥SABCD，底面，底面ABCD为正方形，为正方形，侧面侧面SAB底面底面AC,侧面侧面SAD底面底面AC,面面AEGFSC，且分别交，且分别交SB、SC、SD于于E、G、F。求证：（求证：（1）AESB，AFSD（2）AGEF（3）A、E、F、G到正方形到正方形ABCD的中心的的中心的距离相等。距离相等。 平行与垂直证明（证明（1）（一）：）（一）：SC面面AEGF SABCDFGEO SCAE , SCFG面面SAB面面AC
11、于于AB，面，面SAD面面AC于于AD，又又BCAB , CDADBC面面SAB , CD面面SADBCAE AE面面SBCAESB 同理同理AFSDSABCDFGEO平行与垂直（二）（二）面面SAB面面ABCD，而四方形而四方形ABCD中中BCABBC面面SAB BCAE又又SC面面AEGF SCAEAE面面SBC AFSDSABCDFGEO平行与垂直（2）分析：）分析：CG面面AEFG，要证，要证AGEF，只需证只需证ACEF，构造线面垂直，构造线面垂直EF面面AGCACBD，只需证，只需证BDEF证明：在证明：在RtSAB中中 AESB，SAB=90 =SE*SB同理在同理在RtSAD中
12、中 =SF*SDSE*SB=SF*SD 即即EFBDACBD，ACEF，SG面面AEFG ,AG是是AC在面在面AEGF射影射影EFAGSABCDFGEO平行与垂直(3)设设AC交交BD于于O，O为中心为中心由（由（1）可知：）可知：AE面面SBC AEECRtAEC中中 ，O为为AC中心中心 OE= AC同理同理 FO= ACOE=OF=OA同理同理 GO= ACE、F、G、A到到ABCD的中心的距离相等。的中心的距离相等。 SABCDFGEO平行与垂直例例4三棱锥三棱锥SABC中中S在底面上的射影恰在底面上的射影恰在在ABC中的中的AB边的高线边的高线CD上，上，M点在侧点在侧棱棱SC上，
13、上，M使截面使截面MAB与底面成角与与底面成角与NSC相等。求证：相等。求证：SC面面MAB分析：应当做出二面角分析：应当做出二面角MABC，为此在，为此在面面MAB内自内自D作作AB的垂线，问题在于自的垂线，问题在于自D所作所作AB的垂线的位置如何确定的垂线的位置如何确定平行与垂直思路：思路：SN面面ABC于于N，N在在AB高线高线CD上，上，CD是是SC在面在面ABC上射影上射影 ABSC AB面面SDC 连连SD，同理，同理 ABSD 连连MD， ABMD MDC为二面角为二面角MABC的平面角的平面角MDC=NSC要证要证SC面面MAB，除，除SCAB外，外，还需证还需证SC垂直于面垂
14、直于面MAB内另一条内另一条与与AB相交的直线。相交的直线。SNC DMC DMSCCABDMSN平行与垂直上述证明分两部分：上述证明分两部分：(1)证证AB面面SDC，肯定肯定MDC为为MABC的平面角；的平面角；（2）证）证SCMD，从而证从而证SC垂直面垂直面MAB。证明：证明：SN底面底面ABC于于N SC在底面的射影为在底面的射影为CNCDAB SCAB同理同理 SDAB AB平面平面DSC连结连结DM ABDMMDC为二面角为二面角MABC的平面角平面的平面角平面MDC=NSC SCD=MCD SCN DCM SNC=DMCSNC=90 DMSC SC面面MAB CABDMSN平行
15、与垂直例例5已知三个平面两两相交有三条交线，求证这三条交已知三个平面两两相交有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行。线交于一点或互相平行。证明：设三个平面证明：设三个平面、且且=c，=b，=a=c，=b c ，b c与与b相交或相交或c与与b平行平行(1) 若若c与与b交于一点，设交于一点，设cb=P，由，由P cP ，P b ，P P a 即即a、b、c交于一点交于一点(2) 若若cb ，则由，则由b c又又c 且且 =a ca a、b、c互相平行互相平行本题在考察直线与平面位置关系的判定与本题在考察直线与平面位置关系的判定与性质的同时还考察了分类讨论的数学思想及审题能力。性质的同时还
16、考察了分类讨论的数学思想及审题能力。 acb平行与垂直例例6如图：如图：A1B1C1ABC是直三棱柱，是直三棱柱，过点过点A1、B、C1的平面和平面的平面和平面ABC的交线的交线记作记作l。（。（1）判定直线）判定直线l与与A1C1的位置关系的位置关系并加以证明；（并加以证明；（2）若）若A1A=1，AB=4，BC=3，ABC=90，求顶点，求顶点A1到直线到直线l的的距离。距离。 A1AEBCC1B1143Pl平行与垂直解：（解：（1）lA1C1证明：证明：平面平面A1B1C1平面平面ABCA1C1平面平面ABC平面平面A1BC与平面与平面ABC交于交于l A1C1l（2）过）过A1作作A1El于于E，则，则A1E的长为点的长为点A1到到l的距离。的距离。连结连结AE，A1A平面平面ABC 直线直线AE是是A1E在平面在平面ABC上的射影上的射影AEl A1C1l，ACA1C1 lAC 作作BDAC于于D，则则BD是是RtABC斜边斜边AC上的高，且上的高，且BD=AE AE=BD= ，在，在RtA1AE中中 A1A=1，A1AE=90A1E= = 故点故点A1到直到直线线l的距离为的距离为 。A1AEBCC1B1143Pl再再见平行与垂直
