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1、第七节数学归纳法1.了解数学归纳法的原因，掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 归纳法和归纳法2数学归纳法设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题 (或)成立； (2)在假设成立的前提下，推出 也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立一般结论完全不完全P1P0PkPk13数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时，命题成立；(2)(归纳递推)假设(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可
2、以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立nn0nknk11用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证()An1Bn2Cn3 Dn4答案：C2 用 数 学 归 纳 法 证 明 1 2 22 2n 1 2n 21(nN*)的过程中，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B12C1222 D122223解析：当n1时，左边有n2项，即有3项和，为1222.答案：C5在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列(Sn表示数列an的前n项和)，则S2，S3，S4分别为_；由此猜想Sn_.解析：由Sn，Sn1,2S1成等差数列，得2Sn1Sn2S1，S1a11，2Sn1Sn2.热
3、点之一数学归纳法的基本原理 数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.即时训练 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN*)正确，再推n2k3正确B假设n2k1(kN*)正确，再推n2k1正确C假设nk(kN*)正确，再推nk1正确D假设nk(k1)正确，再推nk2正确解析：首先要注意n为奇数，其次还要使“nk”
4、能取到1，故选B.答案：B热点之二用数学归纳法证明有关问题 用数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等，应用数学归纳法要注意其基本步骤.热点之三归纳、猜想与证明 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公式.即时训练 设数列an满足an1an2nan1，n1,2,3，(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有的n
5、1，有ann2.解：(1)由a12，得a2a12a113，由a23，得a3a222a214，由a34，得a4a323a315，由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明：用数学归纳法证明：当n1时，a1312，不等式成立假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.根据和，对于所有n1，都有ann2.通过分析近年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式1(2010江苏高考)已知ABC的三边长都是有理数(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数
