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1、第二十五届(2014年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题1.无理数无理数的定义：无限不循环不循环小数叫做无理数无理数有理数有理数的定义：有限和无限循环无限循环小数叫做有理数有理数或整数整数与分数分数统称为有理数有理数实数实数的定义：有理数和无理数统称为实数实数A. 分数. B.实数. C.无理数. D.无限不循环小数.送分题送分题，但考点还是有2点: 是要注意到有个“不不”字，这是个低级“陷阱”。但很多人都会陷下去。 不要看到C选项中的“无理数”，就不看清楚题意就选C。是要掌握好课本中“实数实数”的分类和定义。就是平时强调的要背书问题。即：实数有理数有理数无理数无理数或：实数正正实数零零负负实数
2、A A 分数分数是用分式表达成分式表达成 （其中a,b均为整数，且b不等于0）的有理数。实实数数有理数有理数无理数无理数分数分数整数整数正整数正整数0负整数负整数正分数正分数负分数负分数自然数自然数正无理数正无理数负无理数负无理数无限不循环小数无限不循环小数有限小数及无限循环小数有限小数及无限循环小数一般有三种情况一般有三种情况有一定的规律，但不循环的无限小数。这5个数中，有理数的个数是（）2.(n是自然数)A.2. B.3. C.4. D.5.考点：要知道是无限不循环小数无限不循环小数； 可以拆项分解成完全平方式,然后去根号，化简得出它是一个有理数；B.B.答案中用反证法证明第五个式子中的(
3、n+4)和(n+2)不可能同时是完全平方数,相对较复杂.可以简单想像,因为(n+4)和(n+2)只相差2,我们在自然数中是找不到两个相差是2的完全平方数。简单证明:假设(n+4)和(n+2)都是完全平方数.令n+4=x2 2,n+2=y2 2x2 2-y2 2 =2(x+y)(x-y)=2又x,y都是大于0的整数,且xy,只可能x+y=2,x-y=1 解得 则n不是自然数,与假设矛盾.3.化简(-1)n+1n+1p2 2n n(n为自然数）得（ ）A.p2n2n. B. -p2n2n. C. -pn+2n+2. D. pn+2n+2.(-1)n+1n+1p2 2n n先不-1和p的值，去中括号
4、=(-1)n(n+1)n(n+1)p2n2nan幂幂底数底数指数指数幂的乘方法则：幂的乘方法则：符号叙述：符号叙述：语言叙述：语言叙述：幂的乘方，幂的乘方，底数不变，底数不变，指数相乘指数相乘n和(n+1)是连续的自然数，n(n+1)必为偶数原式=p2n2nA.积的乘方积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式每一个因式分别分别乘方，再把所得的幂相乘。(ab)n=an bn 即4.4.已知：a5 5a3 3aa2 2a4 4 ,则实数a的取值范围是（ ）A.0a1. C.-1a0. D.a-1.D在a3 3a两边同时乘以a(a0),可得，a2 2a4 4在a3 3a两边同时除以a(a1a0,
5、即a1,a-1b.非负整数集合（自然数集）记号非负整数集合（自然数集）记号N“n N”读读n属于属于N，即，即n属属于于非负整数集合（自然数集）非负整数集合（自然数集）(乘方法则乘方法则)再比较a与c:(a2 2)2 2=32 2=9,c4 4=5, ac.最后比较a与d:(a2 2)5 5=35 5=243,(d5 5)2 2=62 2=36, ad.同底数幂的乘法同底数幂的乘法：am an = am+n (m、n都都是是正正整整数数)同底数幂相乘同底数幂相乘底数底数，指数指数。不变不变相加相加幂的乘方幂的乘方幂的乘方幂的乘方，底数，底数不变不变不变不变，指数，指数相乘相乘相乘相乘。(am)
6、n= ( (mm、n n都是正整数都是正整数都是正整数都是正整数) )amn10.已知二次三项式x2-mx-8(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的值可能是（）较传统的解法是用待定系数法待定系数法 对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设先设出问题的多多项式表达形式项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设所设待定系数待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法.用待定系数法待定系数法解题目的一般步骤是： 1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数一个含待定系数的等式； 2.利用恒等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程； 3.解方程组,求出待定系
7、数,再代入所设问题的结构中去,得到需求问题的解.A.1. B.2. C.3. D.4.B Bx2-mx-8=(x+a)(x+b)即x2-mx-8=x2+(a+b)x+aba,b为整数11.若则的值是（）由1式-2式，可消去a.得A.-1. B.1. C. . D.3.D Dy0,方程两边可同时除以y.12.方程组的解的个数是（）A. 1. B.2. C.3. D.4.分类讨论思想分类讨论思想A在解答某些数学问题时,因为存在一些不确定的因素不确定的因素,解答无法用统一的方法或结论,不能给出统一的表述,对这类问题依情况加以依情况加以分类分类,并逐类求解逐类求解,然后综合求解,这种解题的方法叫分类讨
8、论法分类讨论法. .分类讨论分类讨论涉及初中数学的所有知识点,其关键是弄清引起分类分类的原因的原因,明确分类讨论的对象和标准分类讨论的对象和标准,分情况加以讨论求解,再将不同结论综合归纳,得出正确答案.分类的原则是分类的原则是既不重复既不重复, ,也不遗漏也不遗漏! !当x0,y0时,方程组是两个方程互相矛盾,原方程组无解;当x0,y0时,方程组是两个方程互相矛盾,原方程组无解;当x0,y0时,方程组是当x0或axb00,这时对应的自变量对应的自变量x x的所有取值为不等式不等式axaxb b00的解集的解集, 同理,一次函数图象在在x x轴下方轴下方的部分对应对应的x的所有取值为axb0的解
9、集解集.利用一次函数的图象能直观地直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点用函数观点认识问题的方法,对于继续学习数学很重要一般地,每个二元一次方程组,也对应对应两条直线两条直线,从“数数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值自变量为何值时两个两个函数的值相等函数的值相等，以及这个函数值函数值是何值；从“形形”的角度看，解方程组相当于确定确定两条直线交点的坐标两条直线交点的坐标 方程(组)、不等式与函数之间互相联系,用函数观点可以把它们统一起来,解决问题时,应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用.3.3.基本的方法与技巧基本的方法与技巧能用待定系数法待定系数法求
10、求一次函数的关系式，用两点法两点法准确画出一次函数的图象，借助图象深刻理解一次函数的性质，渗透数形结合的渗透数形结合的思想思想，会利用图象判断k k、b b的取值范围取值范围. 对于实际问题,要根据等量关系等量关系写出函数关系式函数关系式,体现用函数思想解决实际问题能力, 关于函数的分类讨论函数的分类讨论要求,从图象上反映为折线折线,有其丰富的实际背景.函数定义函数定义 在某变化过程中变化过程中有两个变量两个变量x,y，按照某个对应法则某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的有唯一确定的y与之对应与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量自变量，y叫因变量因变量。 在一个变化过程中，发生变
11、化的量发生变化的量叫变量，有些数值是不随变不随变量而改变的量而改变的，我们称它们为常量常量。自变量自变量，函数一个与它量它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量它量中找到对应的固定值找到对应的固定值。因变量因变量(函数)，随着自变量的变化而变化随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一有且只有唯一值与其相对应。函数值函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。16.16.已知A(x1,y1),点B(x2,y2)是一次函数y=(2m-1)x+3的图象上的两点，当x1y2.则m的取值范围是（ ）。一
12、次函数一次函数y ykxkxb b的性质：的性质：它是过 的一条直线A. . B. . C. . D. .A A(0,b)，当k0k0时，y随x的增大而增大增大而增大当k0k0时，y随x的增大而减小增大而减小当x1y2.即y随x的增大而减小增大而减小.送分题，只是考你对“当当x x1 1xyy2 2”这句话是否理解。17.17. 当-1x2时，函数y=ax+6满足y10，则a的取值范围是（ ）A.a-4a-4. B.a2. C.-4a2且a0. D.-4a2.当a=0,y=ax+6=6,符合题意.当a0时,函数y=ax+6是一次函数.由题知，当-1x2时，y10，则有x=-1,y=ax+6=-
13、a+610,解得 a-4.a-4.x=2,y=ax+6=2a+610,解得 a2.-4a2,且a0综上所述，a的取值范围是-4a2D D18.已知反比例函数（m为常数），当x0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A. B. C. D. C C当x0, py+1=(5-p)x (4-p)x1.p=4y+1=x,8=x+y+z=2y+1+z2y+1y3.5 另外zx=y+18=x+y+z2y=3,x=4,z=1. 21. 21. 已知质数p,q满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）A.锐角三角形锐角三角形.B.直角三角形. C.钝角三角形. D.
14、等腰三角形.5p2+3q=59是奇数，所以p,q一奇一偶。又p,q都是质数， p,q中有一个是2若q=2,则不合题意。若p=2,则若q=13.此时p+3=5,1-p+q=122p+q-4=1352+122=132这个三角形是直角三角形。B B22.22.有下列三个命题：五边形的内角中至少有两个钝角;十二边形共有54条对角线;内角和等于外角和的多边形的边数为4.其中正确命题的个数是（） 五边形外角和是360，所以5个外角中不能有4个或5个钝角，即外角中至多有3个钝角，内角中至多有3个锐角，至少有2个钝角。考虑内角不要从内角入手,如果从外角入手,问题就可简单化.A. 0 0. B. 1. C. 2
15、. D.3.D D 从十二边形一个顶点出发可引出12-3=9(条)对角线，所有对角线的条数是1292=54.从“对角线”的定义出发,“连接多边形任意两个不相邻不相邻顶顶点点的线段”,一个顶点可连接多少条？ 根据多边形的内角和公式内角和公式和外角和性质外角和性质，列一个简单的方程方程就可以解决问题.(n-2)180=360n=4.23.23.在菱形ABCD中,A:B=1:5,若菱形的周长是8,则高是( )A. . B. 4. C. 1. D.2.在菱形ABCD中，AD/BC，A+B=180又A:B=1:5A=30菱形的高=1.=1.C C24.24.如图,在平行四边形ABCD中,AEBC于E,A
16、B2=2,AE=EC=a,若a使代数式a2+2a-3的值为零,则平行四边形ABCD的面积是( )A. 4 4. B. 3. C. 2. D.1.C CB BD DA AE EC Ca2+2a-3=0(a+3)(a-1)=0又a0,a=1,在直角ABE中，BE2=AB2-AE2BE=1BC=EB+EC=2平行四边形ABCD的面积是225.25. The side of square ABCD is 1, ABCD rotates around The side of square ABCD is 1, ABCD rotates around point A 30point A 30and bec
17、omes squsre Aand becomes squsre AB BC CD. The area of D. The area of the overlapping part of the square ABCD and the square the overlapping part of the square ABCD and the square A AB BC CD D is ( ) is ( ) A. B. C. D. 译文：已知正方形译文：已知正方形ABCDABCD边长是边长是1 1，将正方形，将正方形ABCDABCD绕点绕点A A旋转旋转3030得到正方形得到正方形A AB B
18、C CD,D,则正方形则正方形A AB BC CD D与正方形与正方形ABCDAABCDA重叠重叠部分的面积是（部分的面积是（ ） 英英 r rtetet t vt.& vi.vt.& vi.（使某物）旋转（使某物）旋转; ;使转动使转动; ; 美美 rotet rotet B BA AD DC CE EB BC CD DRtABE RtADE ABE = ADE =30B Boverlappingvlpn.重叠，搭接BC/x轴，AC/y轴，ABC的面积记为S，则（ ）26.26.如图,A、B是反比例函数的图象上关于原点对称的两点,A AC CB BO Ox xy yA. S=2 S=2. B
19、. S=4. C. 2S4.设A点的坐标为（x1,y1）,则B点的坐标为（-x1,-y1）,C点的坐标为（x1,-y1）,ABC的面积是B BA A 27. 27.如图,周长是34的矩形ABCD被分成7个全等的小矩形，则矩形ABCD的面积是（ ）D DC CB BA AA. 208 208. B. 140. C. 70. D.196.设小矩形的长和宽分别是x,y，则有C C28.使代数式的值是整数的所有自然x的和是（）A. 5 5. B. 6. C. 12. D.22.为使 是整数，自然x可取0,1,2,3,5,11它们的和是22.D D29.若自然数p,q满足则p除以197，余数是（ ）A.
20、 0 0. B. 73. C. 157. D.19.A A而而197197是质数是质数, ,所以所以p p被被197197整除。整除。30. If m is the integer part of m, then the value of m is ( )A. 2702 2702. B. 2701. C. 2700. D.2699.B Binteger ntd(r)n.整数value vlju: n.价值，价格;30. If m is the integer part of m, then the value of m is ( )A. 2702 2702. B. 2701. C. 2700.
21、 D.2699.B Binteger ntd(r)n.整数value vlju: n.价值，价格;31.分解因式：4x4+3x2+1=.32.分解因式：解法解法1 1：解法解法2 2：33.已知解法解法1 1：解法解法2 2：本例的解法采用的是整体代入整体代入的方法,应用得当会使问题的求解过程大大简化大大简化 这是代入消元法代入消元法的一种特殊类型特殊类型，整体代入法整体代入法 34. 已知A=20142014，B=(122014)2,则A B.（填“”、“”、“k+mk2 2-m,-m,则则用换元法换元法，然后从分解因式和分解因数入手看似很难，但懂得方法就简单了。41.方程组的正整数解是.令
22、令a a5 5=b=b4 4=k=k2020(k(k是正整数是正整数),),令令c c3 3=d=d2 2=m=m6 6(m(m是正整数是正整数),),则则a=ka=k4 4, b=k, b=k5 5; ;则则c=mc=m2 2, d=m, d=m3 3; ;由由a-c=15,a-c=15,得得k k4 4-m-m2 2=15=15(k(k2 2+m)(k+m)(k2 2-m)=15-m)=151=51=53.3.因为因为 k,mk,m是正整数是正整数, ,k k2 2+mk+mk2 2-m,-m,则则用换元法换元法，然后从分解因式和分解因数入手看似很难，但懂得方法就简单了。 42.若k=4k
23、=47 7+4+410041004+4+4n n,并且k是一个完全平方数,则正整数n= 或 .由由k=(2k=(27 7) )2 2+2+22 27 72 220002000+(2+(220002000) )2 2,=(2=(27 7+2+220002000) )2 2,得得n=2000n=2000由由k=(2k=(27 7) )2 2+2+22 27 72 210041004+(2+(210041004) )2 2,a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)=(a+b)2 24 4n n可以是完全平方式的可以是完全平方式的b b项，项，也可以是完全平方式的也可以是完全平方式的2a
24、b2ab项，项，=(2=(27 7+2+210041004) )2 2,得得n=506.n=506.此题有此题有2个考点：个考点：必须熟练掌握好完全平方公式必须熟练掌握好完全平方公式不能忘记分类讨论思想分类讨论思想43. 若实数若实数x,yx,y满足满足x x2 2+y+y2 2+x+x2 2y y2 2-4xy+1=0,-4xy+1=0,则则(x+y)(x+y)2 2= = . .一条等式，要求两个未知数，首先就要联想到以前做过的利用非负数性质非负数性质，即非负数+非负数+非负数=0,各非负数都等于各非负数都等于0。或者是考虑AB=0，得出A=0或B=0。这里的非负数非负数可能是两个完全平方
25、式完全平方式。将将-4xy-4xy拆成两个拆成两个-2xy.-2xy.则原式可化为则原式可化为 44.若若n(n0)n(n0)是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-mx-5n=0-mx-5n=0的根，则的根，则m-n= m-n= . .要理解要理解“根根”的定义，的定义，若若n代入得代入得n n2 2-mn-5n=0-mn-5n=0AB=0，得出A=0或B=0。一条等式，要求两个或两个以上未知数，首先就要联想到利用非负数性质非负数性质，非负数非负数没得想，那么就考虑n(n-m-5)=0n(n-m-5)=0 n0n-m=5n-m=5即即m-n=-5m-n=-545.观察下列各式：观察下列各
26、式：其中的规律可用含n(n为正整数)的等式表示为 .两个连续奇数的积46.设实数设实数a,b满足满足则则的值是的值是.AB=0，得出A=0或或B=0。分解因式分解因式非常重要47.若若将分式 的分子、分母都除以除以xyxy,得从未知入手，化为含有已知已知的式子。再整体代入。也可从已知入手，通过适当变形适当变形,再整体代换整体代换整体代换整体代换适当变形适当变形48. 若若abc=1,abc=1,则则解法1:利用1=abc,以及中间项不变.若若abc=1，求，求解法解法1：因为abc=1，所以a，b，c都不为零 解法解法2：由abc=1，得 将之代入原式已学已学若若abc=1，解方程，解方程解：
27、解： abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为化简整理为化简整理为49.若若a,b,ca,b,c是互不相等的实数是互不相等的实数, ,化简化简中间项作为桥梁，最主要是把b-c拆成a-b和c-a,然后再利用平方差公式。49.若若a,b,ca,b,c是互不相等的实数是互不相等的实数, ,化简化简用换元法化简计算(式中a，b，c两两不相等)： 是否想起拆项公式的是否想起拆项公式的50.若关于若关于x的不等式的不等式axb的解集是的解集是xb的解集是的解集是(乘法法则乘法法则)将将 代入不等式代入不等式(a-2b)x+a0(a-2b)x+a0，得，得51.若关于若关于x的不等式组的不等式组的
28、解集是的解集是x5x+20,4x+245x+20,解得解得x4.又又 x-m.x-m.-m4,-m4,故故 m-4.m-4. 52. 若关于若关于x x的不等式组的不等式组 的解集是的解集是-1x1,-1x1,则则（a+b)a+b)20132013= = . .又知又知-1x1,-1x0,y00,且x0y0=k.由题意知,C点的坐标是(x0,0),D点的坐标是(0,y0),A点的坐标是B点的坐标是正确.C CD DP PA AB BO Ox xy y四边形PAOB的面积不会发生变化； PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.点P在 的图象上, 不妨设点P的坐标是(x0,
29、y0),其中x00,y00,且x0y0=k. 由题意知,C点的坐标是(x0,0),D点的坐标是(0,y0),A点的坐标是B点的坐标是四边形PAOB的面积不会发生变化;正确. PA与PB的长度随P点的位置变化而变化,所以不正确.当点A是PC的中点时,A点的坐标是此时B点的横坐标是所以B点恰好是PD的中点,正确.O Ox xy yB BA A 57.如图如图, ,直角三角形直角三角形AOBAOB中中,O,O为坐标原点为坐标原点,AOB=90,AOB=90B=30B=30, ,若若A A在反比例函数在反比例函数 图象上运动图象上运动, ,那么点那么点B B在函数在函数 的图象上运动。的图象上运动。M
30、 MN N又又点点B B在第四象限在第四象限, ,解:分别过A、B作ANy轴于N，BMy轴于M，设A(a，b),AA在反比例函数在反比例函数 的图象上的图象上, ,ab=1 ab=1 在OAN与BOM中,AON=90-BOM=OBM，ONA=BMO=90， OANBOM,在RtAOB中,AOB=90,B=30,点B在函数的图象上运动.本题应用到相似三角形相似三角形的判定及性质，用待定系数法待定系数法求函数的解析式。O Ox xy yB BA A 57.如图如图, ,直角三角形直角三角形AOBAOB中中,O,O为坐标原点为坐标原点,AOB=90,AOB=90B=30B=30, ,若若A A在反比
31、例函数在反比例函数 图象上运动图象上运动, ,那么点那么点B B在函数在函数 的图象上运动。的图象上运动。M MN N自A,B分别作y轴的垂线AN,BM,垂足分别为N,M.则想不出面积比为什么会等于1:3 58. 图图7(1)7(1)是一个正三角形是一个正三角形, ,分别连接这个三角形各边上的中分别连接这个三角形各边上的中点得到图点得到图(2),(2),再连接图再连接图(2)(2)中间的小三角形各边上的中点得到图中间的小三角形各边上的中点得到图(3),(3),按此方法继续下去按此方法继续下去. .前三个图形中三角形的个数分别是前三个图形中三角形的个数分别是1 1个个,5,5个个,9,9个个,
32、,那么第那么第5 5个图形中三角形的个数个图形中三角形的个数是是个；第个；第n n个图形中三角个图形中三角形的个数是形的个数是 个。个。前三个图形中三角形的个数分别是前三个图形中三角形的个数分别是1 1个个,5,5个个,9,9个个, ,第第2 2个图形中三角形的个数比第个图形中三角形的个数比第1 1个图形中三角形的个数多个图形中三角形的个数多4 4个个, , 第第3 3个图形中三角形的个数比第个图形中三角形的个数比第2 2个图形中三角形的个数也多个图形中三角形的个数也多4 4个个, ,于是第于是第5个图形中三角形的个数是个图形中三角形的个数是 9+4+4=17(个)第第n个图形中三角形的个数是
33、个图形中三角形的个数是1+4(n-1)=4n-3(个).59.已知已知P P是正方形是正方形ABCDABCD所在平面上的点所在平面上的点, ,使使PAB,PBC,PCD,PAB,PBC,PCD,PDAPDA都是等腰三角形的点都是等腰三角形的点P P有有 个个. .点P可能在正方形内,也可能在正方形外,A AB BC CA AD D P点有9处,如图,以正方形的各边为边向正方形的内或外内或外作等边等边三角形三角形,则这些等边三角形的顶点为所作的P P点点，还有正方形的对角线的交点也满足条件. 根据正方形的性质可得,满足这样的点首先有:两条对角线的交点;再以四个顶点为圆心以边长为半径画圆，在正方形
34、里面和外面的交点一共有8个根据半径相等，这些点就是要求的点 59.已知已知P P是正方形是正方形ABCDABCD所在平面上的点所在平面上的点, ,使使PAB,PBC,PCD,PAB,PBC,PCD,PDAPDA都是等腰三角形的点都是等腰三角形的点P P有有 个个. .B BC CA AD D易知正方形的中心满足条件.画出正方形平行于边的对称轴，分别以A、B、C、D为圆心，以边长为半径画弧，这些弧线与两条对称轴有8个交点， 60.若若ABCABC的三边长的三边长a,b,ca,b,c满满c c3 3=a=a3 3+b+b3 3, ,则则ABCABC是是 三角形三角形. .( (填填“锐角锐角”、“
35、直角直角”或或“钝角）钝角）显然ca, cb,所以所以ABCABC是锐角三角形是锐角三角形. .解:a3+b3=c3C为ABC中的最大角,由余弦定理得:C为锐角还要用到“余弦定理”其实答案这样说不严谨a3+b3=c3显然ca,cb, 61.过等腰三角形一个过等腰三角形一个底角顶点底角顶点的直线将等腰三角形分为的直线将等腰三角形分为两个两个等腰三角形等腰三角形，则原来的等腰三角形顶角的度数是，则原来的等腰三角形顶角的度数是 . .分类讨论相思分类讨论相思B BC CD DA AD DC CB BA A设设ABCABC中中,AB=AC,A=x,AB=AC,A=x, ,如图,当AD=DB,CB=CD
36、时,A=ABD=xA=ABD=x, ,BDC=CBD=2xBDC=CBD=2x, ,ABC=ACB=3xABC=ACB=3x, ,7x7x=180=180, ,如图,当AD=DB=CB时,A=ABD=xA=ABD=x, ,BDC=BCD=ABC=2xBDC=BCD=ABC=2x, ,A=ABC=ACB=180A=ABC=ACB=180, ,A=ABC=ACB=180A=ABC=ACB=180, ,5x5x=180=180, , A=36A=36. .如果过等腰三角形的一个顶点一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为.分类讨论相思分类讨论相思经过顶角的顶
37、点顶角的顶点有两种情况，经过底角的顶点底角的顶点也有两种情况,D DB BA AC CB BC CD DA AC CD DB BA AC CB BA AD D 当过顶角的顶点顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AC=BC,AD=CD=BD， 设A=x 则ACD=A=x,B=A=x,BCD=B=x,4x=180 顶角是90 如图,AC=BC=BD,AD=CD, 设B=x, A=B=ACD=x CDB=BCD=2x 5x=180 则顶角是108.当过底角的的顶点把它分成了两个等腰三角形，如上题一种是顶角是36 一种是顶角是 62.如图，将周长为如图，将周长为8 8的的ABCABC沿沿BCBC方向
38、平移方向平移1 1个单位，得到个单位，得到DEFDEF，则四边形，则四边形ABFDABFD的周长为的周长为 . .E EF FB BD DA AC C又又AB+BC+AC=8AB+BC+AC=8， 将将ABCABC沿边沿边BCBC向右平移向右平移1 1个单位得到个单位得到DEFDEF， AD=1AD=1， BF=BC+CFBF=BC+CFDF=AC,DF=AC,=BC+1,=BC+1,四边形四边形ABFDABFD的周长是的周长是AD+AB+BF+DFAD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC =1+AB+BC+1+AC =1+8+1=10.=1+8+1=10. 63.如图如图, ,已知已
39、知ABCABC与与CDECDE都是等边三角形都是等边三角形, ,若若AEB=145AEB=145, ,则则DBEDBE的度数是的度数是 . .E ED DC CB BA A易证易证ACEBCDACEBCD（SASSAS）DBE=EBC+CBDDBE=EBC+CBD可能有可能有CBD=CAECBD=CAE将将DBEDBE拆分，替换拆分，替换 可在可在EBCEBC、CBDCBD这两个角中看是否能找到对等的角来替换这两个角中看是否能找到对等的角来替换现在已有现在已有DBE=EBC+CAEDBE=EBC+CAE怎么能怎么能EBC+CAEEBC+CAE扯在一起扯在一起. . 又跟又跟AEB=145AEB
40、=145有关联有关联, ,CAE+EAB +ABE+EBC+BCA=180CAE+EAB +ABE+EBC+BCA=180EBC+CAE=180EBC+CAE=180-60-60- -（180180- -145145）DBE=85DBE=8564.Asshowinginthefigure10,if XOY=60,Misapointintheangle XOY.ThedistancefromMtoOXisMA,whichis2.ThedistancefromMtoOYisMB,whichis11.ThevalueofOMis. 64.译文：如图译文：如图1010，若，若XOY=60XOY=60,
41、 ,点点M M是是XOYXOY内一点，它到内一点，它到OXOX的距离的距离MA=2,MA=2,到到OYOY的距离的距离MB=11,MB=11,则则OM=OM= . .Y YX XB BM MA AO OC C如图如图, ,延长延长AMAM交交OYOY于于C,C,则则ACO=30ACO=30, ,在在RtMBCRtMBC中中, ,MC=2MB=22,MC=2MB=22,OC=2OA,OC=2OA,在在RtCAORtCAO中中, ,AC=AM+MC=24.AC=AM+MC=24.OAOA2 2=OC=OC2 2-AC-AC2 2=4OA=4OA2 2-AC-AC2 2在在RtMAORtMAO中中,
42、 ,OMOM2 2=OA=OA2 2+AM+AM2 2OM=14.OM=14. 65.如图，已知直线如图，已知直线 相邻两条平行直线间的距离都相邻两条平行直线间的距离都是是1 1，若正方形，若正方形ABCDABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCDABCD的面积是的面积是 . .D D1 1D DC CB BA AB B1 1易发现易发现BBBB1 1CCDCCD1 1D D（ASAASA） 由由B B、D D分别向分别向l l4 4引垂线，交引垂线，交l l4 4于于B B1 1、D D1 1，BB1 1C=DC=D1 1D=2.D=2.又又BB
43、BB1 1=1.=1. 66.如图，分别以如图，分别以ABCABC的的ABAB、ACAC为边在形外作正方形为边在形外作正方形ABEFABEF、ACMNACMN，若，若ABCABC的面积的面积S SABCABC =6 =6，则，则AFNAFN的面积的面积S SAFNAFN= = . .E EF FN NM MC CA AB BN NG GH H分别作分别作NHFANHFA于于H,CGABH,CGAB于于G,G,可证明可证明AGCAHNAGCAHN，（，（AASAAS） CG=NH.CG=NH.又又AB=AF,AB=AF,S SAFNAFN =S =SABCABC=6.=6. 67.如图，矩形如图
44、，矩形ABCDABCD中，中，AB=8AB=8，BC=4BC=4，将矩形沿，将矩形沿ACAC折叠，点折叠，点D D落落在在D D处，则重叠部分处，则重叠部分AFCAFC的面积为的面积为 . .B BA AC CD DF F易证易证AFDCFB,AFDCFB,DF=BFDF=BF， 设设DF=xDF=x，则，则AF=8-xAF=8-x， 在在RtAFDRtAFD中，中，(8-x)(8-x)2 2=x=x2 2+4+42 2，解得：解得：x=3x=3， AF=AB-FB=8-3=5,AF=AB-FB=8-3=5,y yC CD DE EO OB BA Ax xH HF FG G 68.如图如图,
45、,平行四边形平行四边形ABCDABCD中中,A(-1,0),B(0,-2),A(-1,0),B(0,-2),顶点顶点C C、D D在双在双曲线曲线 上上, ,边边ADAD交交y y轴于点轴于点E,E,且且E E是是ADAD的中点的中点, ,则则k= k= . . 过过C C、D D两点作两点作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为F F、H H，过，过C C点作点作CGDHCGDH，垂，垂足为足为G G， DHxDHx轴轴, , DHyDHy轴轴, ,DG=BO=2,DG=BO=2,又又AE=EDAE=EDAO=OH,AO=OH,而而A(-1,0),A(-1,0), 故故D(1,K).D(1,
46、K).ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形， AB=CD, ABC=ADCAB=CD, ABC=ADC， BODHBODH， OBC=EDH,OBC=EDH,CDG=ABOCDG=ABO， AOBCGDAOBCGD（AASAAS） AOB=DGC=90AOB=DGC=90故故C(2,k-C(2,k-2).2).GC=AO=1GC=AO=1CC、D D在双曲线上在双曲线上, ,11k=2k=2(k-(k-2)2)解得解得k=4k=4 69.如图如图, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中,B=60,B=60，点，点E E、F F分别从点分别从点B B、D D出发出发以同样的速度沿边以同样的速
47、度沿边BCBC、DCDC向点向点C C运动，给出以下结论：运动，给出以下结论：A AC CB BD DA AF FE EAE=AF;AE=AF;CEF=CFE;CEF=CFE;当点当点E E、F F分别为边分别为边BCBC、DCDC的中点时的中点时,AEF,AEF是等边三角形是等边三角形; ;当点当点E E、F F分别为边分别为边BCBC、DCDC的中点时的中点时,AEF,AEF的面积最大的面积最大. .其中正确的结论有其中正确的结论有 个个. .解解:点点E E、F F分别从点分别从点B B、D D出发以同样的速度沿边出发以同样的速度沿边BCBC、DCDC向点向点C C运动运动, ,BE=D
48、F,BE=DF,AB=AD,B=D,AB=AD,B=D,ABEADF,ABEADF, AE=AF,AE=AF,正确正确; ;CE=CFCE=CF， CEF=CFE,CEF=CFE,正确正确; ;BE=DF,BE=DF,在菱形在菱形ABCDABCD中中,B=60,B=60,AB=BC,AB=BC,ABCABC是等边三角形是等边三角形, ,当点当点E E、F F分别为边分别为边BCBC、DCDC的中点时的中点时,(,(三线合一）三线合一） ABE ABE和和ADFADF是直角三角形是直角三角形, ,且且BAE=DAF=30BAE=DAF=30, ,EAF=120EAF=120-30-30-30-3
49、0=60=60， AEFAEF是等边三角形是等边三角形, ,正确正确; ; 69.如图如图, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中,B=60,B=60，点，点E E、F F分别从点分别从点B B、D D出发出发以同样的速度沿边以同样的速度沿边BCBC、DCDC向点向点C C运动，给出以下结论：运动，给出以下结论：C CB BD DA AF FE E当点当点E E、F F分别为边分别为边BCBC、DCDC的中点时的中点时,AEF,AEF的面积最大的面积最大. .其中正确的结论有其中正确的结论有 个个. .AEFAEF的面积的面积= =菱形菱形ABCDABCD的面积的面积-ABE-ABE的面积的面积
50、-ADF-ADF的面积的面积-CEF-CEF的面积的面积 AEFAEF的面积是的面积是BEBE的二次函数的二次函数, ,当当BE=0BE=0时时,AEF,AEF的面积最大的面积最大, ,错误错误. .69.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC，A=90A=90,C= 45,C= 45,E,E是是CDCD的中的中点点,AB=2AD=4,AB=2AD=4,则则BE= BE= . .F FG GE ED DB BC CA A过点过点D D、E E作作DFBCDFBC交交BCBC于点于点F,F,延长延长ADAD、BEBE交于点交于点G.G.由题易得由题易得BF=2,BF=2,C= 45
51、C= 45, ,CF=DF=4CF=DF=4BC=BF+FC=6,BC=BF+FC=6,EE是是CDCD的中点的中点, , ADBCADBCDG=BC=6,DG=BC=6,在在RtABGRtABG中中, ,且且BG=2BE,BG=2BE,四边形ABFD是矩形，70.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC，A=90A=90,C= 45,C= 45,E,E是是CDCD的中的中点点,AB=2AD=4,AB=2AD=4,则则BE= BE= . .A AF FE ED DB BC CA AH H解解: :如图如图, ,分别过点分别过点D D、E E作作DFBCDFBC于点于点F,EHBCF
52、,EHBC于点于点H,H,EHDF,DFB=DFC=EHB=EHC=90EHDF,DFB=DFC=EHB=EHC=90,又又A=90A=90ADBC,ADBC,ABC=90ABC=90度度, ,四边形四边形ABFDABFD是矩形是矩形, ,AB=2AD=4,AB=2AD=4,AD=2,AD=2,BF=AD=2BF=AD=2，DF=AB=4DF=AB=4， 在在RtDFCRtDFC中中,C=45,C=45, ,FC=DF=4,FC=DF=4,EE是是CDCD的中点的中点, ,HC=EH=2,HC=EH=2,FH=2FH=2， BH=4,BH=4,在在RtEBHRtEBH中中, ,71.的值为的值
53、为 . .分析:求和的式子中每一项每一项都可以表示成71.的值为的值为 . .分析:求和的式子中每一项每一项都可以表示成上式对k=1,2,3,99求和，得 72.The positive real number solution for the equationThe positive real number solution for the equationset is (x, y, z), then x + y + z= set is (x, y, z), then x + y + z= . . 译文译文: :已知方程组已知方程组 的的正实数解正实数解为为(x,y,z),(x,y,z),则
54、则x+y+z= x+y+z= . .解解: :令令xyz=u,xyz=u,则则到U=6时，就有点牵强了。 73.已知两个三位数已知两个三位数 的和仍是三位数的和仍是三位数 且能被且能被9 9整整除，则除，则x= x= ,y= ,y= . .能被3或9整除的数的特征是:这个数的各位上的数字各位上的数字之和之和能被3或9整除.解：解：x,yx,y都是都是0 0到到9 9的整数，的整数，74.方程方程 的正整数解的正整数解(x,y,z)(x,y,z)是是 . .因为因为 x,y,zx,y,z是正整数是正整数, , 由原方程得由原方程得经检验经检验(1,2,3)(1,2,3)是原方程的根，是原方程的根
55、，故原方程的正整数解是故原方程的正整数解是(1,2,3).(1,2,3).75.一个正整数的平方数，去掉它的个位数、十位数和百位数一个正整数的平方数，去掉它的个位数、十位数和百位数后，还有一个平方数。则满足要求的最大的正整数后，还有一个平方数。则满足要求的最大的正整数.设设n n为所求为所求, ,去掉去掉n n2 2的后三位数的后三位数, ,得至得至k k2 2, ,则则0n0n2 2-1000k-1000k2 21000,1000k1000k2 2, ,n32k,n32k,1000n1000n2 2-1000k-1000k2 232322 2k k2 2-1000k-1000k2 2=24k
56、=24k2 26k.6k.当当k=6k=6时，时，n192.n192.若若n192,n192,则则1000n1000n2 2-1000k-1000k2 21931932 2-1000-10006 62 2=1249=1249显然不成立.当当n=192n=192时时,192,1922 2=36846=36846满足要求满足要求. . 同余同余同余同余 两个整数两个整数两个整数两个整数a,ba,ba,ba,b除以除以除以除以正整数正整数正整数正整数m m m m，若，若，若，若余数相同余数相同余数相同余数相同，则称，则称，则称，则称a a a a与与与与b b b b关于模关于模关于模关于模m m
57、 m m同余，记作同余，记作同余，记作同余，记作ab(mod m)ab(mod m)ab(mod m)ab(mod m)，这叫做同余式。，这叫做同余式。，这叫做同余式。，这叫做同余式。 76.若若m,nm,n是整数是整数, ,且且n n2 2+3m+3m2 2n n2 2=30m=30m2 2+517,+517,求求3m3m2 2n n2 2的值的值. .由题设的等式，得如果如果如果如果ab(mod m)ab(mod m)ab(mod m)ab(mod m)，则，则，则，则m m m m b b b ba a a a77.一个三角形可以被分成两个等腰三角形一个三角形可以被分成两个等腰三角形,
58、,若原三角形的一个若原三角形的一个内角是内角是3636, ,求原三角形的最大内角的所有可能值求原三角形的最大内角的所有可能值. .设设ABCABC中，中，B=36B=36. .分类讨论思想分类讨论思想若分割线不过点B.B=36,AD=AB=CD(图),最大角是A=126,D DA AB BC CB=36,AD=DB=CD(图),最大角是A=90,D DC CB BA AB=36,AD=DB=AC(图),最大角是A=72,A AC CD DB BB=36,AD=DB,DC=AC(图),最大角是A=108,C CD DB BA AB=36,AD=DC,DB=AB(图),最大角是A=108,C CD
59、 DB BA A若分割线过点B.B=36,BD=DC,AD=AB(图),最大角是A=132,D DC CA AB B 78.如图如图, ,等腰直角等腰直角ABCABC中中,ABC=90,ABC=90, ,点点D D在在ACAC上，将上，将ABDABD绕顶点绕顶点B B沿顺时针方向旋转沿顺时针方向旋转9090后得到后得到CBE.CBE.若若AB=4,AD:DC=1:3,AB=4,AD:DC=1:3,求求DEDE的长度的长度. .E ED DC CB BA A 中考题，但此题本来有中考题，但此题本来有求求DCEDCE的度数；的度数；才求才求DEDE的长度，的长度，它将第一点省了，就变得不知从哪里入
60、手。它将第一点省了，就变得不知从哪里入手。CBECBE是由是由ABDABD旋转得到的旋转得到的, ,ABDCBE,ABDCBE,A=BCE=45A=BCE=45, ,DCE=DCB+BCE=90DCE=DCB+BCE=90. .在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中, ,AB=4,AB=4,又又 AD:DC=1:3AD:DC=1:3 AD=CE AD=CE，且，且DCE=90DCE=90， 求证：求证：DADA平分平分CDECDE 对任意的实数对任意的实数b(b0),ADb(b0),ADBDBD为定值为定值; ; 是否存在直线是否存在直线AB,AB,使得四边形使得四边形OBCDOBC
61、D为平行四边形为平行四边形? ?若存在若存在, ,求求出直线的解析式出直线的解析式; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .B BD Dx xy yO OA AC CE E 79.如图如图, ,直线直线y=x+b(b0)y=x+b(b0)交坐标轴于交坐标轴于A A、B B两点两点, ,交双曲线交双曲线 于点于点D,D,过过D D作两坐标轴的垂线作两坐标轴的垂线DC,DE,DC,DE,连接连接OD.OD.证明证明: :对于对于y=x+b,y=x+b,令令x=0,x=0,则则y=b;y=b;令令y=0,y=0,则则x=-b,x=-b,AA点坐标为点坐标为(-b(-b，0),B0),B点
62、坐标为点坐标为(0(0，b),b),OAB=45OAB=45， OA=OB,OA=OB,OABOAB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， DAC=OAB=45DAC=OAB=45 又又DCxDCx轴，轴，DEyDEy轴轴, ,ACD=CDE=90ACD=CDE=90, ,ADC=45ADC=45, ,ADAD平分平分CDE;CDE;对任意的实数对任意的实数b(b0),ADb(b0),ADBDBD为定值为定值; ;A AB BD Dx xy yO OA AC CE E 79.如图如图, ,直线直线y=x+b(b0)y=x+b(b0)交坐标轴于交坐标轴于A A、B B两点两点, ,交双曲线交双曲线
63、 于点于点D,D,过过D D作两坐标轴的垂线作两坐标轴的垂线DC,DE,DC,DE,连接连接OD.OD.ACDACD和和BDEBDE均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形 ADC=EDB=45ADC=EDB=45, ,点点D D在双曲线在双曲线 CDCDDE=2,DE=2, 是否存在直线是否存在直线AB,AB,使得四边形使得四边形OBCDOBCD为平行四边形为平行四边形? ?若存在若存在, ,求求出直线的解析式出直线的解析式; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .B BD Dx xy yO OA AC CE E 79.如图如图, ,直线直线y=x+b(b0)y=x+b(b0)交坐标
64、轴于交坐标轴于A A、B B两点两点, ,交双曲线交双曲线 于点于点D,D,过过D D作两坐标轴的垂线作两坐标轴的垂线DC,DE,DC,DE,连接连接OD.OD.存在直线存在直线ABAB，使得，使得OBCDOBCD为平行四边形为平行四边形. .理由如下:若四边形若四边形OBCDOBCD为平行四边形为平行四边形, ,则则AO=AC,OB=CD,AO=AC,OB=CD,由由知知AO=BO,AC=CD AO=BO,AC=CD OC=2AO=2OB=-2b, DC=OB=-b,OC=2AO=2OB=-2b, DC=OB=-b,DD点坐标为点坐标为(-2b(-2b，-b),-b),把把D(-2bD(-2
65、b，-b)-b)代入代入 得得-2b-2b(-b)=2(-b)=2， 解得解得b=1b=1或或b=-1,b=-1,bb0,0,b=-1,b=-1,存在直线存在直线AB:y=x-1,AB:y=x-1,使得四边形使得四边形OBCDOBCD为平行四边形为平行四边形. .B BA AO Ox xy y1 1-4-480.如图如图, ,直线直线y=ky=k1 1x+bx+b与双曲线与双曲线 交于交于A A、B B两点两点, ,其横坐标其横坐标分别为分别为1 1和和-4,-4,求不等式求不等式 的解集的解集. .向下平移向下平移2b2b若设若设y y1 1=k=k1 1x+b,x+b,则不等式有则不等式有
66、 的解集就是一次函数的解集就是一次函数y y1 1=k=k1 1x-bx-b的图象在的图象在反比例函数反比例函数图象下方的自变量的取值范围图象下方的自变量的取值范围.直线直线y=ky=k1 1x+b,x+b,与与y y轴的交点是轴的交点是(0,b),(0,b),将直线将直线y=ky=k1 1x+bx+b向下平移向下平移2b2b个单位得到个单位得到, y, y1 1=k=k1 1x-bx-b的图象的图象,记直线记直线y=ky=k1 1x+bx+b与双曲线与双曲线 交于点交于点AA、B.B.由反比例函数由反比例函数图象的对称性可知图象的对称性可知:点点A、B的横坐标分别为的横坐标分别为-1,4.过
67、点过点A、B分别作分别作y轴的平行线得到四个区轴的平行线得到四个区域，观察知区域域，观察知区域、中中一次函数一次函数y y1 1=k=k1 1x-bx-b的图象在的图象在反比例函数反比例函数图象下方图象下方,B BA AO Ox xy y1 1-4-480.如图如图, ,直线直线y=ky=k1 1x+bx+b与双曲线与双曲线 交于交于A A、B B两点两点, ,其横坐标其横坐标分别为分别为1 1和和-4,-4,求不等式求不等式 的解集的解集. .向下平移向下平移2b2b由交点的横坐标，得到自变量的取值范围是x-1x-1或或0 0x x4.4.不等式不等式 的解集是的解集是x-1x-1或或0 0
68、x x4.4. 如图如图, ,直线直线y=ky=k1 1x+bx+b与双曲线与双曲线 交于交于A A、B B两点两点, ,其横坐标其横坐标为为1 1、5,5,求不等式求不等式 的解集的解集. .5 51 1B BA AO Oy yx xAABB-5-5x x-1-1或或x x0.0.不等式不等式 的解集是的解集是不等式的解集可由双曲线不动不等式的解集可由双曲线不动, ,直线向下平移直线向下平移2b2b个单位得到个单位得到, ,直线向下平移直线向下平移2b2b个单位的图象如图所示个单位的图象如图所示, ,交点交点AA的横坐标为的横坐标为-1,-1,交点交点BB的横坐标为的横坐标为-5,-5,当当-5-5x x-1-1或或x x0 0时时, ,双曲线图象在直线图象上方双曲线图象在直线图象上方, ,
