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1、一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小结三、小结2021/8/612021/8/62一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义2021/8/63例例1 1例例例例(3)(2)(1)2021/8/642 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证2021/8/65说明：说明： 从几何上看，这时如果曲面从几何上看，这时如果曲面 在点在点处有切平面，则切平面处有切平面，则切平面成为平行于成为平行于 坐标面得平面坐标面得平面 。2021/8/66 仿照一元函数，凡能使一
2、阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点. .驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：2021/8/682021/8/692021/8/610例例4 求函数求函数的极值的极值解解先解方程组先解方程组求得驻点为求得驻点为将上方程组再分别对将上方程组再分别对yx ,求偏导数求偏导数在点在点 处处所以函数在所以函数在处有极小值处有极小值又又在点在点 处处，所以所以 不是极值不是极值；在点在点 处，处，所以所以不是极值；不是极值；在点在点处处又又所以函数在所
3、以函数在 处有极大值处有极大值与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数不存在。不存在。因此因此, 在考虑函数的极值问题时在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑那么对这些点也应当考虑. 2021/8/613求最值的一般求最值的一般方法方法： 将函数在将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边
4、界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值2021/8/614 例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体 水箱问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省 解 令0)8( 22xyAx0)8( 22yxAyx 2 y 2得 根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D(x y)|x0 y0内取得 又因为函数在D内只有一个驻点(2 2)
5、所以此驻点一定是A的最小值点设水箱的长为x m 宽为y m 则所用材料的面积为 水箱所用的材料最省 2021/8/615 根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D(x y)|0x12 0a90内取得 又函数在D内只有一个驻点 因此可以断定 当x8cm a60时 就能使断面的面积最大 令 Ax24sina4xsina2xsina cosa0 Aa24xcosa2x2cosax2(cos2asin2a)0 解这方程组 得a60 x8cm 例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折可使断面的面积最大？ 解 则断面面积为设折起来的边长为xcm 倾角为a
6、 A24xsina2x2sinax2sina cosa (0x12 0a90) 2021/8/616实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳果，盒录音磁带达到最佳果， 效果函数为效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁设每张磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点
7、三、条件极值拉格朗日乘数法2021/8/617条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值2021/8/618求解方程组求解方程组解出解出 x, y, z, t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.2021/8/619解解则则例例7 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为体积为 V .则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.令令下，下，2021/8/620则则令令即即由由(2), (1)及及(3), (2)得得2021/8/621由由(2), (1)及及(3), (2)得得于是，于是，代入条件，得代入条件，得解得解得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以， 最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，2021/8/622多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结2021/8/623
