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1、三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第六节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第五五章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线与直线与直线及及 x 轴所围曲轴所围曲则则边梯形面积为边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为右下图所示图形面积为 例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围在第一象限所围所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 由由得交点得交点Oxy图图1-4 1例例2. 计算抛物线计算抛物线与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由由得
2、交点得交点所围图形所围图形为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有2.当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时给出时, 按按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积则曲边梯形面积例例3. 求椭圆求椭圆解解: 利用对称性利用对称性 , 所围图形的面积所围图形的面积 . 有有利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得应用定积分换元法得当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式例例4+. 求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解:3. 极坐标情形极坐标情
3、形求由曲线求由曲线及及围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为例例5. 计算心形线计算心形线所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:(利用对称性利用对称性)例例6. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,则所求面积为则所求面积为思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积所围公共部分的面积 .答案答案:1、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积
4、设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间则对应于小区间的体积元素为的体积元素为因此所求立体体积为因此所求立体体积为上连续上连续,2 旋转体的体积旋转体的体积轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时, 有有（2）当考虑连续曲线段）当考虑连续曲线段绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有(1)当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段双曲边梯形情形例例7 7计算由椭圆计算由椭圆围成的图形绕围成的图形绕轴旋转一周所成的旋转椭球体的体积轴旋转一周所成的旋转椭球体的体积. . 解解 例例8+. 计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕
5、所围图形绕 x 轴旋转而轴旋转而转而成的椭球体的体积转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程则则(利用对称性利用对称性)方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程则则特别当特别当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积例例9. 计算摆线计算摆线的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴 , y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为注意上下限注意上下限 !例例10. 一平面经过半
6、径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 ,并并与底面交成与底面交成 角角,解解: 如图所示取坐标系如图所示取坐标系, 则圆的方程为则圆的方程为垂直于垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面积为其面积为利用对称性利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .思考思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ?提示提示:垂直垂直 x 轴的截面是椭圆轴的截面是椭圆例例11+. 计算由曲面计算由曲面所围立体所围立体(椭球体椭球体)解解
7、:它的面积为它的面积为因此椭球体体积为因此椭球体体积为特别当特别当 a = b = c 时就是球体体积时就是球体体积 .的体积的体积.三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,当折线段的最大当折线段的最大边长边长 0 时时, 折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长 , 即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.( (证明略证明略) )则称则称(2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给
8、出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长(2) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长(3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长因此所求弧长则得则得弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :例例13 13 证明正弦线证明正弦线的弧长等于的弧长等于椭圆的周长椭圆的周长. .解设正弦线的弧长为解设正弦线的弧长为. .例例13续续设椭圆的弧长为设椭圆的弧长为 ， 由椭圆的对称性，由椭圆的对称性， 例例14. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于相应于 0 2 一段的弧长一段的弧长 . 解解
9、:内容小结内容小结1. 平面图形的面积平面图形的面积边界方程边界方程参数方程参数方程极坐标方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程曲线方程参数方程方程参数方程方程极坐标方程极坐标方程弧微分弧微分:直角坐标方程直角坐标方程上下限按顺时针方向上下限按顺时针方向确定确定直角坐标方程直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上求弧长时积分上下限必须下限必须上大下小上大下小3. 已知平行截面面面积函数的立体体积已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积旋转体的体积绕绕 x 轴轴 :4. 旋转体的侧面积旋转体的侧面积侧面积元素为侧面积元素为(注意在不同坐标系下注意在不同坐标系下 ds 的表达式
10、的表达式)对应对应 从从 0 变变练习练习1+. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到到 2 所围图形面积所围图形面积 . 练习练习2+. 计算摆线计算摆线一拱一拱的弧长的弧长 .解解:例例8 8求星形线求星形线绕绕轴旋转一周所成旋转体的体积轴旋转一周所成旋转体的体积. .解解 该旋转体可看作是由该旋转体可看作是由 绕绕轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体. .于是于是 . .图图5.18 .思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长及边界长 s .提示提示: 交点为交点为弧
11、线段部分弧线段部分直线段部分直线段部分以以 x 为积分变量为积分变量 , 则要分则要分两段积分两段积分, 故以故以 y 为积分变量为积分变量. 2. 试用定积分求圆试用定积分求圆绕绕 x 轴轴上上半圆为半圆为下下求体积求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性利用对称性旋转而成的环体体积旋转而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S .备用题备用题解：解：1. 求曲线求曲线所围图形的面积所围图形的面积.显然显然面积为面积为同理其它同理其它.又又故在区域故在区域3. 求曲线求曲线图形的公共部分的面积图形的公共部分的面积 .解解：与与所围成所围成得得所围区域的面积为所围区域的面积为设平面图形设平面图形 A 由由与与所确定所确定 , 求求图形图形 A 绕直线绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 . 提示：提示： 选选 x 为积分变量为积分变量.旋转体的体积为旋转体的体积为4.若选若选 y 为积分变量为积分变量, 则则 5. 求曲线求曲线与与 x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积.(94 考研考研)解解: 利用对称性利用对称性 ,故旋转体体积为故旋转体体积为在第一象限在第一象限
