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1、一一 微分形式的微积分基本定理微分形式的微积分基本定理机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4.2 4.2 微积分的基本定理微积分的基本定理二二 积分形式的微积分基本定理积分形式的微积分基本定理机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一一 微分形式的微积分基本定理微分形式的微积分基本定理用定积分的法变上限的定积分法变上限的定积分法可以构造函数。我们研究了的一个性质：定理定理 4.1.12设在上可积,在上连续。我们将进一研究性质。在直线运动的速度为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 运动的路程为那么任给则又有又即有这具有普遍性 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理4.2.1 设在上可积, 在
2、连续，则函数在可微， 并有证明证明取使则有故机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在连续，由于故对于使当时有故对取则当时有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理4.2.2设那么是的一个原函数， 即有注注（1）是满足条件的唯一原函数。(2) 定理 表明连续函数的原函数是存在的.（3定理把定积分这个特殊极限与导数这个完全不同的极限联系起来。考虑考虑 用定理4.2.2证明积分中值定理那么使积分中值定理积分中值定理证明证明令则由定理4.2.2知在可导，且由Lagrange中值知使又得例例证明在内为单调递增函数 . 证证:只要证机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例.试证使分析分析: 要证即故作辅
3、助函数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 至少存在一点证明证明: 令令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0 , 从而不变号,因而故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故由罗尔定理知 ,存在一点例例.试证使分析分析机动 目录 上页 下页 返回 完毕 至少存在一点故若令那么例例.试证使证明证明机动 目录 上页 下页 返回 完毕 至少存在一点则显然令、在连续且在可导，又故由Cauchy定理知至少存在一点使即机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 4.2.3Newton-Leibniz)二二 积分形式的微积分基本定理积分形式的微积分基本定理设在是的任一个原函数，那么证明证明法一
4、：由定理4.1.2立即可得。法二：注意到与均是在原函数， 故注意到可得故（2变限积分求导机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注注 （1）对是积分中值定理对是微分中值定理微分和积分在这里联系起来了。（2变限积分求导机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别的机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设是的一个原函数,那么证明证明:故例例解解原式说明 目录 上页 下页 返回 完毕 求令那么是连续函数，故故上述极限是型，故说明 目录 上页 下页 返回 完毕 例例确定常数 a , b , c 的值, 使解解令那么是连续函数，故其中介于0与b之间。故说明 目录 上页 下页 返回 完毕 例例确定常数 a , b , c 的值, 使原式 = c 0 , 故又由, 得设例例求解解故求可微函数 满足 例例解解 两对 求导得 得注注上述方程称为积分方程上述方程称为积分方程.上面的方法是处理积分方程重要的方法又得故
