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1、2024/9/17例例1.解: 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第1页/共22页第一页，共23页。2024/9/17例例2.质量质量(zhling)为为m的质点受力的质点受力F的作用的作用沿沿ox轴作直线轴作直线运动(yndng),在开始(kish)时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初初速度为0, 且对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共22页第二页，共23页。2024/
2、9/17利用(lyng)初始条件于是(ysh)两边(lingbin)再积分得再利用故所求质点运动规律为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共22页第三页，共23页。2024/9/17型的微分方程(wi fn fn chn) 设原方程(fngchng)化为一阶方程(fngchng)设其通解(tngji)为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共22页第四页，共23页。2024/9/17例例3.求解求解(qiji)解: 代入方程(fngchng)得分离(fnl)变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、 第5页/共22页第五页，共23页。2024/9/17例例4.绳索(shn su)仅受重力(zhngl)作用而下垂,解: 取坐标系如图.考察(koch)最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共22页第六页，共23页。2024/9/17则得定解问题(wnt): 原方程(fngchng)化为两端(lin dun)积分得则有两端积分得故所求绳索的形状
4、为悬 链 线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共22页第七页，共23页。2024/9/17三、三、型的微分方程(wi fn fn chn) 令故方程(fngchng)化为设其通解(tngji)为即得分离变量后积分, 得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共22页第八页，共23页。2024/9/17例例5.求解求解(qiji)代入方程(fngchng)得两端(lin dun)积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共22页第九页，共23页。2024/9/17M : 地球质量(zhling)m : 物体质量(zhling)
5、例例6.静止开始落向地面(dmin), 求它落到地面(dmin)时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解: 如图所示选取(xunq)坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共22页第十页，共23页。2024/9/17两端(lin dun)积分得因此(ync)有注意(zh y)“”号机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共22页第十一页，共23页。2024/9/17由于(yuy) y = R 时由原方程(fngchng)可得因此(ync)落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为机动 目录 上
6、页 下页 返回 结束 第12页/共22页第十二页，共23页。2024/9/17说明说明(shumng):若此例改为如图所若此例改为如图所示的坐标系示的坐标系,解方程可得问: 此时开方根号前应取(yn q)什么符号? 说明道理 .则定解问题(wnt)为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页第十三页，共23页。2024/9/17例例7.解初值问解初值问题题解: 令代入方程(fngchng)得积分(jfn)得利用(lyng)初始条件,根据积分得故所求特解为得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共22页第十四页，共23页。2024/9/17为曲边的曲边梯形(txng)面积上述
7、(shngsh)两直线与 x 轴围成的三角形面例例8.二阶可导, 且上任一点(y din) P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解:于是在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 99 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共22页第十五页，共23页。2024/9/17再利用(lyng) y (0) = 1 得利用(lyng)得两边(lingbin)对 x 求导, 得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共22页第十六页，共23页。2024/9/17内容内容(nirng
8、(nirng) )小结小结可降阶微分方程(wi fn fn chn)的解法 降阶法逐次(zh c)积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共22页第十七页，共23页。2024/9/17思考思考(sko)(sko)与练习与练习1. 方程(fngchng)如何(rh)代换求解 ?答: 令或一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 .例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例6例7机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共22页第十八页，共23页。2024/9
9、/17 P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4 作业作业(zuy)第七节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第19页/共22页第十九页，共23页。2024/9/17速度(sd)大小为 2v, 方向(fngxing)指向A , 提示(tsh): 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有去分母后两边对 x 求导, 得又由于设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题备用题的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.机动 目录 上
10、页 下页 返回 结束 第20页/共22页第二十页，共23页。2024/9/17代入 式得所求微分方程(wi fn fn chn):其初始条件为机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共22页第二十一页，共23页。2024/9/17阜师院数科院感谢您的欣赏(xnshng)！第22页/共22页第二十二页，共23页。内容(nirng)总结2021/11/10。问该绳索的平衡状态是怎样的曲线。A 点受水平张力 H。静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间。一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用(zuyng)由。说明: 若此例改为如图所示的坐标系,。上述两直线与 x 轴围成的三角形面。切线及 x 轴的垂线,。2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题。(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.。的速度沿 y 轴正向运动,。第21页/共22页第二十三页，共23页。
