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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换教材:复变函数与积分变换朱传喜 刘二根 主编 ,江西高校出版社参考教材：参考教材：1. 复变函数复变函数, 西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室编著编著,高等教育出版社高等教育出版社 2. 复变函数与拉普拉斯变换复变函数与拉普拉斯变换,金忆丹编著金忆丹编著,浙江大学出版浙江大学出版社社 3. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换,马柏林等编马柏林等编 复旦大学出版社复旦大学出版社复数及复变函数PPT课件复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程性质:考查平时成绩占总评平时成绩占总评 100%100%平时成绩构成平时成绩构成: : 考勤考勤 20
2、%20% 作业作业 10%10% 学习态度学习态度 10%10% 测验测验 60% 60% 最后一周的上课时考查最后一周的上课时考查注注:上届上届 48 人不及格人不及格复数及复变函数PPT课件第一章第一章 复数及复变函数复数及复变函数1.1 复数及其运算 1.2 复平面的几何表示1.3 复数的乘幂与方根1.4 复平面上的点集1.5 复变函数1.6 复变函数的极限与连续复数及复变函数PPT课件1.1复数及其运算复数及其运算 一、复数的概念二、复数的四则运算三、复数的共轭运算复数及复变函数PPT课件一、复数的概念一、复数的概念1. 虚数单位虚数单位:对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :5复数及
3、复变函数PPT课件虚数单位的特性虚数单位的特性:6复数及复变函数PPT课件2.复数复数:7复数及复变函数PPT课件 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部它们的实部和虚部分别相等分别相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时等于同时等于0.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小, 如果不全是实数如果不全是实数, 就不能比较大小就不能比较大小, 也就也就是说是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小.8复数及复变函数PPT课件二、复数的四则运算二、复数的四则运算1. 两复数的和两复数的和:2. 两复数
4、的积两复数的积:3. 两复数的商两复数的商:9复数及复变函数PPT课件 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. .例例2 2解解三、复数的共轭运算10复数及复变函数PPT课件5. 共轭复数的性质共轭复数的性质:以上各式证明略以上各式证明略.11复数及复变函数PPT课件例例1 1解解12复数及复变函数PPT课件1.2 复数的集合表示复数的集合表示 一、复平面二、复球面与无穷远点复数及复变函数PPT课件14一、 复平面1. 复平面的定义复平面的定义复数及复变函数PPT课件152. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)显然下列各
5、式成立显然下列各式成立复数及复变函数PPT课件163. 复数的辐角复数的辐角说明说明辐角不确定辐角不确定.复数及复变函数PPT课件17辐角主值的定义辐角主值的定义:复数及复变函数PPT课件184. 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致减法运算一致. .复数及复变函数PPT课件195. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质复数及复变函数PPT课件20利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数
6、可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示复数及复变函数PPT课件21例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为复数及复变函数PPT课件22故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为 下面例子表明下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式很多平面图形能用复数形式的方程的方程(或不等式或不等式)来表示来表示; 也可以由给定的复数也可以由给定的复数形式的方程形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的平面
7、图来确定它所表示的平面图形形.复数及复变函数PPT课件23例例2 2解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为复数及复变函数PPT课件24所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为异异常常重重要要复数及复变函数PPT课件25例例3 3求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解方法二：方法二： 复数及复变函数PPT课件26化简后得化简后得复数及复变函数PPT课件27二二 复球面与无穷远点复球面与无穷远点1. 南极、北极的定义南极、北极的定义复数及复变函数PPT课件28 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着
8、一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作. 因而球面因而球面上的北极上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2. 复球面的定义复球面的定义复数及复变函数PPT课件293. 扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无
9、穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. .对于复数对于复数来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.复数及复变函数PPT课件30复数及复变函数PPT课件31注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对
10、应, 所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大无穷大或或正、负正、负无穷大无穷大混为一谈混为一谈复数及复变函数PPT课件1.3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 一、乘积与商二、乘幂与方根 复数及复变函数PPT课件33一、乘积与商定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘两个复数乘积的模等于它们的模的乘积积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证证复数及复变函数PPT课件34两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角
11、相加. .从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为证毕证毕复数及复变函数PPT课件35说明说明 由于辐角的多值性由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应.例如，例如，复数及复变函数PPT课件36由此可将结论推广到由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况个复数相乘的情况:复数及复变函数PPT课件37定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差个复数的商的辐角等于被除
12、数与除数的辐角之差.证证按照商的定义按照商的定义, 证毕证毕复数及复变函数PPT课件381. n次幂次幂:二、乘幂与方根 复数及复变函数PPT课件39棣莫佛公式棣莫佛公式棣莫佛介绍棣莫佛介绍推导过程如下推导过程如下:2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式复数及复变函数PPT课件40根据棣莫佛公式根据棣莫佛公式, 复数及复变函数PPT课件41当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时, 这些根又重复出现这些根又重复出现. 复数及复变函数PPT课件42从几何上看从几何上看, 复数及复变函数PPT课件43例例1 1解解复数及复变函数PPT课件44即即复数及复变函数PPT课件1.4 复平面上的点集一、开集与闭集
13、二、区域三、曲线复数及复变函数PPT课件46一、区域的概念一、区域的概念1. 邻域邻域:说明说明复数及复变函数PPT课件472.去心邻域去心邻域:说明说明复数及复变函数PPT课件483.内点内点:4.开集开集: 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称称为开集为开集. .复数及复变函数PPT课件495.区域区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称它则称它为一个区域为一个区域. .(1) D是一个是一个开集开集；(2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点都可以用中任何两点都可以用完全属于完全属于D的一条折线连结起
14、来的一条折线连结起来.6.边界点、边界边界点、边界: 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点 P P 不不属于属于D, 但在但在 P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的中的点点,这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.复数及复变函数PPT课件50D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. .说明说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的. (2) 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 复数及复变函数PPT课件51以上基以上基本概念本概
15、念的图示的图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界7.有界区域和无界区域有界区域和无界区域:复数及复变函数PPT课件52(1) 圆环域圆环域:课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:(3) 角形域角形域:(4) 带形域带形域:答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.复数及复变函数PPT课件53二、单连通域与多连通域二、单连通域与多连通域1. 连续曲线连续曲线:平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示:复数及复变函数PPT课件542. 光滑曲线光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光
16、滑曲线称为按段光滑曲线. .复数及复变函数PPT课件553. 简单曲线简单曲线: 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔当曲线当曲线).).复数及复变函数PPT课件56换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质: 任意一条简单任意一条简单闭曲线闭曲线 C 将复平面将复平面唯一地分成三个互唯一地分成三个互不相交的点集不相交的点集.内部内部外部外部边界边界复数及复变函数PPT课件57课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简
17、简单单不不闭闭复数及复变函数PPT课件584. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域复数及复变函数PPT课件59三、典型例题三、典型例题例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的.解解无界的
18、单连通域无界的单连通域(如图如图).复数及复变函数PPT课件60是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).无界的多连通域无界的多连通域. 复数及复变函数PPT课件61表示到表示到1, 1的距离之和的距离之和为定值为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,有界的单连通域有界的单连通域.复数及复变函数PPT课件62有界的多连通域有界的多连通域.复数及复变函数PPT课件63例例2 2解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, 不是区域不是
19、区域.单连通域单连通域.复数及复变函数PPT课件64是多连通域是多连通域.不是区域不是区域.复数及复变函数PPT课件65复数及复变函数PPT课件66单连通域单连通域.复数及复变函数PPT课件三、小结与思考三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运本课学习了复数的有关概念、性质及其运算算;复数的模、辐角复数的模、辐角;复数的各种表示法复数的各种表示法. 并且介并且介绍了复平面绍了复平面.重点掌握复数的运算重点掌握复数的运算, 它是本节课的它是本节课的重点重点. 棣莫佛棣莫佛( (de Moivre)公式公式67复数及复变函数PPT课件68思考题思考题2. 是否任意复数都有确定的辐角是否
20、任意复数都有确定的辐角?1. 复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？复数及复变函数PPT课件思考题思考题1答案答案由此可见由此可见, 在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.69复数及复变函数PPT课件70思考题思考题2答案答案否否. .它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .复数及复变函数PPT课件71例例1 1解解更多参考例子更多参考例子复数及复变函数PPT课件72例例2 解解复数及复变函数PPT课件73例例6 解解复数及复变函数PPT课件74例例3 证证复数及复变函数PPT课件75例例4 4解解(三角式三角式)(
21、指数式指数式)复数及复变函数PPT课件76例例5 5解解复数及复变函数PPT课件77例例6 6证证复数及复变函数PPT课件78两边同时开方得两边同时开方得复数及复变函数PPT课件79例例7 7证证复数及复变函数PPT课件80两边平方两边平方, 并化简得并化简得复数及复变函数PPT课件81例例8 8证证复数及复变函数PPT课件82两边同时平方两边同时平方,复数及复变函数PPT课件83例例9 9解解复数及复变函数PPT课件84例例1010解解如图所示如图所示, 复数及复变函数PPT课件85复数及复变函数PPT课件86例例1111解解复数及复变函数PPT课件87复数及复变函数PPT课件88例例1212解解即即复数及复变函数PPT课件89复数及复变函数PPT课件90例例1313解解故原方程可写成故原方程可写成复数及复变函数PPT课件91故原方程的根为故原方程的根为复数及复变函数PPT课件92例例1414证证利用复数相等可知利用复数相等可知:复数及复变函数PPT课件93等式得证等式得证.复数及复变函数PPT课件作业作业:习题一习题一 35页页: 5 (1) (3) 8(1) (3)习题一新书习题一新书32页：页：5 (1) (3) 8(1) (3)复数及复变函数PPT课件
