3．2 立体几何中的向量方法3．2 ． 1 直线的方向向量与平面的法向量1．了解如何用向量把空间的点、直线、平面表示来出．2．理解并掌握用向量方法解决立体几何问题．3．掌握把立体几何问题转化为向量问题．2021/5/231 1．空间中的点P，可用向量OP表示，OP称为点P的________．→ →2．空间中任意一条直线 l 的位置可以由_______________以及一个向量确定，这个向量叫做直线的____________．3．直线 l⊥平面α，取直线 l 的方向向量 a，则向量a⊥平面α，向量 a 叫做平面α的_____________．注意：(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行． 位置向量 l上一个定点A 方向向量 法向量 2021/5/232 4．设 a，b 在平面α内(或与α平行)，a 与 b 不平行，直线 l的方向向量为 c，则 l⊥α⇔___________________________ .a⊥c且b⊥c(或a·c＝0且b·c＝0)2021/5/233 【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面．2021/5/234 【要点2】平面法向量的求法．2021/5/235 【要点3】直线的方向向量与平面的法向量的应用．2021/5/236 面ABC内的任意向量，不妨取AB，BC，因它们的基线相交，将题型1 求平面的法向量例1：已知点 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量．思维突破：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．自主解答：设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平→ →其转化成数量积为 0，求得 n.2021/5/237 2021/5/238 2021/5/239 C2021/5/2310 面的位置关系题型2 由直线的方向向量与平面的法向量判断线、2021/5/2311 ∴a·b＝8－6－2＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.(2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3,－9,0)，∴v＝－3u.∴v∥u.∴α∥β.(3)∵a＝(1,－4,－3)，u＝(2,0,3)．∴a·u≠0 且 a≠ku(k∈R)．∴a 与 u 既不垂直也不共线，即 l 与α相交但不垂直．(4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2,－1)，∴a·u＝－3＋4－1＝0.∴a⊥u.∴l⊂α或 l∥α.自主解答：(1)∵a＝(1,－3,－1)，b＝(8,2,2)，2021/5/2312 2．下列命题中正确的是()AA．若 n 是平面 ABC 的一个法向量，则 n 和平面 ABC 内任意一条直线的方向向量垂直B．若 n 和平面 ABC 内两条直线的方向向量垂直，则 n 是平面 ABC 的法向量C．若 n 既是平面α 的法向量，又是平面β 的法向量，则α ∥βD．若α∥β ，则它们所有共同的法向量都在一条直线上2021/5/2313 例3：如图 3－2－1，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.图 3－2－1题型3 用向量方法证明线面、面面平行2021/5/2314 线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．证明面面平行时可以直接证明两平面的法向量平行．思维突破：用向量法证明线面平行有如下方法：①证明直2021/5/2315 2021/5/2316 2021/5/2317 3．若互不重合的平面α，β的法向量分别为 u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)，证明：α∥β.证明：∵u＝(1 ， 2，－2)，v＝(－3，－6 ， 6)，∴v＝－3u，即 v∥u.又∵u，v 分别为平面α，β的法向量且α，β互不重合，∴α∥β.【变式与拓展】2021/5/2318 例4：如图 3－2－2，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点，求证：A1O⊥平面 GBD.图 3－2－2思维突破：用向量法证明线面垂直一般有如下两种方法：①证明直线的方向向量与平面内两条不共线的向量垂直；②证明直线的方向向量与平面的法向量平行．题型4 用向量方法证明线面、面面垂直2021/5/2319 2021/5/2320 2021/5/2321 2021/5/2322 2021/5/2323 2021/5/2324 【变式与拓展】4．已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 B1B，CD 的中点．求证：平面 DEA⊥平面 A1FD1.证明：如图 D16，建立空间直角坐标系 Dxyz.不妨设正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，F(0,1,0)，E(2,2,1)．图 D162021/5/2325 2021/5/2326 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！ 。