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1、五章数学概念和数学原理学与教的心理分析第五章第五章 数学概念和数学原理学数学概念和数学原理学与教的心理分析与教的心理分析第一第一节 数学概念学与教的心理分析数学概念学与教的心理分析第二第二节 数学原理学与教的心理分析数学原理学与教的心理分析一、概念的含一、概念的含义（一）概念的定一）概念的定义 认识论中概念被定中概念被定义为 “反映客反映客观事物的共同本事物的共同本质属性的思属性的思维形式形式.”.”这一定一定义表明，表明， 概念不同于感概念不同于感觉和知和知觉，感，感觉反映着刺激物反映着刺激物的个的个别属性，知属性，知觉反映客反映客观事物的不同属性，事物的不同属性，而概念而概念则反映客反映客
2、观事物的共同本事物的共同本质属性属性. . 下面的两个例子可以帮助我下面的两个例子可以帮助我们理解概念的理解概念的这一哲学定一哲学定义. . 在心理学中，一般把概念定在心理学中，一般把概念定义为“符号所表征的具有共同本符号所表征的具有共同本质特征的同特征的同类事、事、物或性物或性质.”.”根据根据这一定一定义，我，我们在日常生活与工作中所使在日常生活与工作中所使用的用的词语或其它符号，只要是正确的表征一或其它符号，只要是正确的表征一个个类别的事、物或属性，的事、物或属性，这个符号就代表一个符号就代表一个概念个概念.例如，中文符号例如，中文符号“球球”和英文符号和英文符号“sphere” 对于受
3、于受过教育的中国人和英国人来教育的中国人和英国人来说，所表，所表征的的都是一个征的的都是一个类别，即是球体而不是，即是球体而不是长方方体、体、锥体或者其它的几何体，他体或者其它的几何体，他们都表示同都表示同一概念一概念. （二）概念的构成（二）概念的构成 1、概念的命名和定、概念的命名和定义 人人们对客客观现实的的认识并不只是限于具并不只是限于具事物的个事物的个别属性上属性上.学学习者者经感感觉和知和知觉形成形成表象，通表象，通过对表象的加工表象的加工处理，抽象概括出理，抽象概括出反映一反映一类事物的本事物的本质属性，于是学属性，于是学习者者脑中中就形成了概念就形成了概念. 这时候的概念是私人
4、的，它以表象的形式候的概念是私人的，它以表象的形式出出现在学在学习者者脑中，要想中，要想进行交流或者行交流或者记载下来，就必下来，就必须借助于言借助于言语或符号来表达或符号来表达. 表达概念的一种方式是表达概念的一种方式是给概念命名概念命名. .表示概念的符号称表示概念的符号称为概念的名称概念的名称.一个符号一旦一个符号一旦成成为某一概念的名称，那么它就成了某一概念的名称，那么它就成了这个概个概念的代名念的代名词.只要一听到、看到或通只要一听到、看到或通过其它方其它方式知道符号后，就可以式知道符号后，就可以唤起起脑中的概念中的概念.概念的名称是一种符号概念的名称是一种符号规定，它不是最重要定，
5、它不是最重要的，重要的是名称所代表的内容的，重要的是名称所代表的内容. 表达概念的另一种方式是表达概念的另一种方式是给概念下定概念下定义，即揭示概念即揭示概念这一一类事物的共同本事物的共同本质属性，并属性，并用精用精炼的的语言符号予以描述言符号予以描述. 2 2、概念的内涵和外延、概念的内涵和外延概念的内涵是指某一概念的内涵是指某一类事物的共同本事物的共同本质属性属性. .概念的外延是指概念所反映的概念的外延是指概念所反映的对象的全体象的全体. . 例如，数学中的例如，数学中的“三角形三角形”这个概念，其内涵个概念，其内涵就就是本是本质属性：有三条属性：有三条边且彼此首尾相且彼此首尾相连接，其
6、外接，其外延就是所有的三角形延就是所有的三角形. 概念的外延中的具体概念的外延中的具体对象叫做概念的例象叫做概念的例证，概，概念的外延之外的念的外延之外的对象叫做概念的反例象叫做概念的反例. . 概念的内涵和外延之概念的内涵和外延之间是一种反是一种反变关系关系，即概念的内涵越多，其外延就越小；概念的内涵即概念的内涵越多，其外延就越小；概念的内涵越少，其外延就越多越少，其外延就越多.例如，在例如，在“平行四平行四边形形”的内涵中加上的内涵中加上 ； 去掉去掉“两两组对边平行平行”的属性，就得到的属性，就得到 3 3、概念的、概念的类别 (1) (1)具体概念和定具体概念和定义性概念性概念 具体概
7、念是指能通具体概念是指能通过观察直接察直接获得的概念得的概念. .例如，例如，“多多”、“少少”、“上上”、“下下”、学前、学前儿童儿童脑中的中的“球球”概念都是一些具体概念概念都是一些具体概念. .后者后者是儿童在平是儿童在平时接触汽球、接触汽球、篮球、排球、足球、球、排球、足球、网球、网球、乒乓球、西瓜、球、西瓜、鸡蛋蛋这些近似球形的具些近似球形的具体模型中形成的体模型中形成的. . 定定义性概念只能通性概念只能通过下定下定义的方式才能的方式才能获得得. .如数学中的如数学中的“球球”概念就是一个定概念就是一个定义性概念，它性概念，它只能通只能通过下定下定义的方式的方式获得得. .仅仅靠靠
8、观察，学察，学习者即使者即使观察再多的球形物体，也不会察再多的球形物体，也不会获得得“球球”这个定个定义性概念性概念. . 数学科学中的概念都是定数学科学中的概念都是定义性概念性概念. . 作作为教育的数学，初中数学教科教育的数学，初中数学教科书中的概念中的概念并不都是并不都是严密的定密的定义性概念，性概念，这些概念是通些概念是通过给出概念的例出概念的例证方式来予以描述的，教材回避了方式来予以描述的，教材回避了“定定义”.”.如如“代数式代数式”这一概念，人民教育出版社初中代一概念，人民教育出版社初中代数教材第一册（上）（数教材第一册（上）（19921992年版）第年版）第6 6页中是中是这样
9、给出的：出的：“上面的例子中出上面的例子中出现了了这样的式子的式子. .像像这样的式子都是代数式的式子都是代数式.”.”到了本章的小到了本章的小结与与复复习（第（第3333页）才）才给出所出所谓的定的定义性概念：性概念：“代数式是用基本运算符号（运算包括加、减、代数式是用基本运算符号（运算包括加、减、乘、除以及以后要学的乘方、开方）把数、表乘、除以及以后要学的乘方、开方）把数、表示数的字母示数的字母连接而成的式子接而成的式子.” .” (2) (2)精确概念和模糊概念精确概念和模糊概念 精确概念是指那些内涵明确，容易用某精确概念是指那些内涵明确，容易用某种种规则揭示出来的概念揭示出来的概念.
10、如如“矩形矩形”、 “圆周率周率”、“正弦函数正弦函数”这些概些概念都是精确概念念都是精确概念. 模糊概念是那些内涵不明模糊概念是那些内涵不明显并并难以用某种以用某种规则加以揭示的概念加以揭示的概念. 如如书、游、游戏、数、式子、直、数、式子、直线、平面、平面这些些概念都是模糊概念概念都是模糊概念.后面四者在数学中被称后面四者在数学中被称为原始概念原始概念. (3)(3)(3)(3)日常概念和科学概念日常概念和科学概念日常概念和科学概念日常概念和科学概念 日常概念是指未日常概念是指未日常概念是指未日常概念是指未经专门经专门的教学，而在日常的教学，而在日常的教学，而在日常的教学，而在日常生活中通
11、生活中通生活中通生活中通过过辨辨辨辨别别学学学学习习、积积累累累累经验经验而掌握的概念而掌握的概念而掌握的概念而掌握的概念. . 如儿童如儿童如儿童如儿童脑脑中的中的中的中的“ “垂垂垂垂线线” ”概念是日常概念，因概念是日常概念，因概念是日常概念，因概念是日常概念，因为为儿童根据日常儿童根据日常儿童根据日常儿童根据日常经验认为经验认为垂垂垂垂线线是与水平是与水平是与水平是与水平线线垂直垂直垂直垂直的的的的线线. . 科学概念科学概念科学概念科学概念则则是在教学是在教学是在教学是在教学过过程中通程中通程中通程中通过过揭示概念的内涵揭示概念的内涵揭示概念的内涵揭示概念的内涵而形成的概念而形成的概
12、念而形成的概念而形成的概念. . 二、概念的二、概念的获得得 概念的概念的获得意味着要求学生掌握一得意味着要求学生掌握一类事物的事物的共同本共同本质属性，并能辨属性，并能辨别本本质属性和非本属性和非本质属属性，能列性，能列举出概念的例出概念的例证和反例和反例. 儿童儿童获得概念的三种基本形式是得概念的三种基本形式是 概念的形成、概念的形成、 概念的同化、概念的同化、 和概念的和概念的顺应. （一）概念（一）概念获得的心理分析得的心理分析 1. 概念的形成（概念的形成（concept formationconcept formation） 概念的形成是指从大量的具体例子出概念的形成是指从大量的具
13、体例子出发，归纳概括出一概括出一类事物的共同本事物的共同本质属性的属性的过程程. . 学生如何通学生如何通过概念的形成方式来概念的形成方式来获得得“扇形扇形”这个数学概念个数学概念. .（P130P130） 由于儿童，尤其是学前儿童的由于儿童，尤其是学前儿童的认知知结构中的构中的概念都是一些比概念都是一些比较具体的概念，缺乏精确的定具体的概念，缺乏精确的定义性概念，而且理解能力有限，因此，他性概念，而且理解能力有限，因此，他们获得概得概念的典型方式是概念的形成念的典型方式是概念的形成. 例如，我例如，我们完全可以完全可以让儿童背儿童背诵“圆”这个数个数学学概念：概念：“圆是平面上到定点的距离等
14、于定是平面上到定点的距离等于定长的点的的点的集合集合.”但是他但是他们能否能否获得得这个概念的意个概念的意义呢？呢？ 事事实上，囿于上，囿于认知水平，儿童是不可能知水平，儿童是不可能获得得这个精确概念的个精确概念的.他他们只能从大量的只能从大量的圆形的例形的例证和反和反例中例中归纳出一些出一些视觉上的共同属性，从而上的共同属性，从而获得具得具体的、模糊的、日常的体的、模糊的、日常的圆概念概念.以概念的形成方式以概念的形成方式获得精确概念的心理得精确概念的心理过程如程如图5-35-3所示所示.（P131P131） 2 2 2 2概念的同化（概念的同化（概念的同化（概念的同化（concept as
15、similationconcept assimilationconcept assimilationconcept assimilation） 同化是指学同化是指学同化是指学同化是指学习习者的者的者的者的认认知知知知结结构吸收新的信息，从而使构吸收新的信息，从而使构吸收新的信息，从而使构吸收新的信息，从而使原有的原有的原有的原有的认认知知知知结结构构构构发发生生生生变变化的化的化的化的过过程程程程. . . . 概念的同化是指学概念的同化是指学概念的同化是指学概念的同化是指学习习者利用原有者利用原有者利用原有者利用原有认认知知知知结结构中的构中的构中的构中的观观念念念念来理解接来理解接来理解接
16、来理解接纳纳新概念的新概念的新概念的新概念的过过程程程程. . . . 概念的同化概念的同化概念的同化概念的同化过过程不程不程不程不仅仅使新概念使新概念使新概念使新概念获获得了意得了意得了意得了意义义，而且，而且，而且，而且扩扩大和深化了原有的大和深化了原有的大和深化了原有的大和深化了原有的认认知知知知结结构构构构. . . . 在数学中，大多数概念是以在数学中，大多数概念是以在数学中，大多数概念是以在数学中，大多数概念是以属概念（在概念的从属关属概念（在概念的从属关属概念（在概念的从属关属概念（在概念的从属关系中，外延大的概念称系中，外延大的概念称系中，外延大的概念称系中，外延大的概念称为为
17、属概念）加种差（即关属概念）加种差（即关属概念）加种差（即关属概念）加种差（即关键键属性属性属性属性）的方式定的方式定的方式定的方式定义义的的的的. . . .同化以同化以同化以同化以这这种方式定种方式定种方式定种方式定义义的概念，的概念，的概念，的概念，实质实质上就是上就是上就是上就是对对属概念重新属概念重新属概念重新属概念重新进进行分行分行分行分类类，分，分，分，分类类的依据是种差，并借助于具的依据是种差，并借助于具的依据是种差，并借助于具的依据是种差，并借助于具体的例体的例体的例体的例证进证进行行行行. . . .例如，要同化梯形的概念：例如，要同化梯形的概念：例如，要同化梯形的概念：例
18、如，要同化梯形的概念：“一一一一组对边组对边平行而另一平行而另一平行而另一平行而另一组对边组对边不平行的四不平行的四不平行的四不平行的四边边形叫做梯形形叫做梯形形叫做梯形形叫做梯形.”.”.”.”就要就要就要就要对对属概念属概念属概念属概念“四四四四边边形形形形”进进行分行分行分行分类类，分，分，分，分类类的依据是的依据是的依据是的依据是种差种差种差种差：“一一一一组对边组对边平行而另一平行而另一平行而另一平行而另一组对边组对边不不不不平行平行平行平行”.”.”.”.于是，从属概念中就分化出一个新的于是，从属概念中就分化出一个新的于是，从属概念中就分化出一个新的于是，从属概念中就分化出一个新的
19、种概念种概念种概念种概念“梯梯梯梯形形形形 再借助于丰富的例再借助于丰富的例再借助于丰富的例再借助于丰富的例证证，学，学，学，学习习者就明确了梯形概念的内涵者就明确了梯形概念的内涵者就明确了梯形概念的内涵者就明确了梯形概念的内涵和外延和外延和外延和外延. . . . 同化的同化的同化的同化的结结果，梯形概念果，梯形概念果，梯形概念果，梯形概念获获得了心理意得了心理意得了心理意得了心理意义义，原有的数学，原有的数学，原有的数学，原有的数学认认知知知知结结构得到构得到构得到构得到扩扩展和深化展和深化展和深化展和深化. . . . 概念同化的心理概念同化的心理概念同化的心理概念同化的心理过过程程程程
20、见图见图5-4.5-4. （p133p133） 3 3 3 3概念的概念的概念的概念的顺应顺应（concept accommodationconcept accommodationconcept accommodationconcept accommodation） 顺应顺应原本是一个生物学概念，它是指有机体原本是一个生物学概念，它是指有机体原本是一个生物学概念，它是指有机体原本是一个生物学概念，它是指有机体调节调节自己自己自己自己的内部的内部的内部的内部结结构以适构以适构以适构以适应应特定刺激情境的特定刺激情境的特定刺激情境的特定刺激情境的过过程程程程. . 所所所所谓谓概念的概念的概念的概
21、念的顺应顺应，是指当原有的，是指当原有的，是指当原有的，是指当原有的认认知知知知结结构不能同化新构不能同化新构不能同化新构不能同化新概念概念概念概念时时，就要，就要，就要，就要调调整或改整或改整或改整或改变变原有的原有的原有的原有的认认知知知知结结构，以便概括新构，以便概括新构，以便概括新构，以便概括新概念概念概念概念. . 例如，当学生同化不了正、例如，当学生同化不了正、例如，当学生同化不了正、例如，当学生同化不了正、负负数的概念数的概念数的概念数的概念时时，可以采取，可以采取，可以采取，可以采取顺应顺应的方式。具体做法是，的方式。具体做法是，的方式。具体做法是，的方式。具体做法是， 首先，
22、通首先，通首先，通首先，通过过概念形成的方式帮助学生建立新概念形成的方式帮助学生建立新概念形成的方式帮助学生建立新概念形成的方式帮助学生建立新观观念：念：念：念：“ “现实现实世界中存在着大量的具有相反意世界中存在着大量的具有相反意世界中存在着大量的具有相反意世界中存在着大量的具有相反意义义的量的量的量的量.”.” 然后通然后通然后通然后通过过提出提出提出提出问题问题使学生体会到：要清楚地区分使学生体会到：要清楚地区分使学生体会到：要清楚地区分使学生体会到：要清楚地区分这这两两两两种不同的量，揭示它种不同的量，揭示它种不同的量，揭示它种不同的量，揭示它们们之之之之间间的关系，只有算的关系，只有
23、算的关系，只有算的关系，只有算术术数是不数是不数是不数是不够够的的的的. . 最后再指出，如果把其中的一种量最后再指出，如果把其中的一种量最后再指出，如果把其中的一种量最后再指出，如果把其中的一种量规规定定定定为为正的，那么正的，那么正的，那么正的，那么另一种量就是另一种量就是另一种量就是另一种量就是负负的的的的. .前者用前者用前者用前者用“+“+（算（算（算（算术术数）数）数）数）” ”来表示，后来表示，后来表示，后来表示，后者者者者用用用用“-“-（算（算（算（算术术数）数）数）数）” ”来表示，由此就引出了正、来表示，由此就引出了正、来表示，由此就引出了正、来表示，由此就引出了正、负负
24、数的概数的概数的概数的概念念念念. . （二）数学概念的两种教学模式（二）数学概念的两种教学模式 由于由于获得概念的主要方式是概念的形成和概念得概念的主要方式是概念的形成和概念的同化的同化,因此，数学概念的教学主要采取两种模式因此，数学概念的教学主要采取两种模式. 1概念形成的教学模式概念形成的教学模式 概念的形成是由特殊到一般，由具体到抽象的概念的形成是由特殊到一般，由具体到抽象的过程，因此，程，因此，对于那些初次接触或于那些初次接触或较难理解的概理解的概念，可以采用概念的形成方式念，可以采用概念的形成方式进行学行学习. 其教学其教学过程如程如图5-4所示所示. (p133) 2 2概念同化
25、的教学模式概念同化的教学模式. . 概念的同化概念的同化概念的同化概念的同化实质实质上是学上是学上是学上是学习习者利用已掌握的概念去者利用已掌握的概念去者利用已掌握的概念去者利用已掌握的概念去理解新概念，或者理解新概念，或者理解新概念，或者理解新概念，或者对对原有的概念重新原有的概念重新原有的概念重新原有的概念重新进进行加工整理的行加工整理的行加工整理的行加工整理的过过程，它是一种有意程，它是一种有意程，它是一种有意程，它是一种有意义义的学的学的学的学习习. . 以概念的同化方式来学以概念的同化方式来学以概念的同化方式来学以概念的同化方式来学习习新概念必新概念必新概念必新概念必须须具具具具备备
26、三个条件三个条件三个条件三个条件: :一是学一是学一是学一是学习习者必者必者必者必须须具具具具备备“ “我要学我要学我要学我要学” ”的的的的动动力；二是新概念必力；二是新概念必力；二是新概念必力；二是新概念必须须有有有有逻辑逻辑意意意意义义；三是学生原有的；三是学生原有的；三是学生原有的；三是学生原有的认认知知知知结结构中必构中必构中必构中必须须具具具具备备同化同化同化同化新概念所需要的新概念所需要的新概念所需要的新概念所需要的观观念念念念. . 这这种学种学种学种学习习的关的关的关的关键键是要把握好新概念与原有概念之是要把握好新概念与原有概念之是要把握好新概念与原有概念之是要把握好新概念与
27、原有概念之间间的关系的关系的关系的关系. .这这就要求教就要求教就要求教就要求教师师必必必必须须了解学生了解学生了解学生了解学生对对原有概念掌握的原有概念掌握的原有概念掌握的原有概念掌握的情况情况情况情况. .原有的概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就原有的概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就原有的概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就原有的概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就越容易越容易越容易越容易. . 其教学其教学其教学其教学过过程如程如程如程如图图5-125-12所示所示所示所示. . 三、促三、促进数学概念学数学概念学习的教学建的教学建议 数学概念的教学数学概念的教学数学概念的教学数学
28、概念的教学过过程大致分程大致分程大致分程大致分为为概念的引入、概念的理概念的引入、概念的理概念的引入、概念的理概念的引入、概念的理解和概念的运用三个解和概念的运用三个解和概念的运用三个解和概念的运用三个阶阶段段段段. . （一）概念的引入（一）概念的引入 概念的引入是学生概念的引入是学生概念的引入是学生概念的引入是学生获获得概念的前奏，并极大地影响着得概念的前奏，并极大地影响着得概念的前奏，并极大地影响着得概念的前奏，并极大地影响着学生学生学生学生对对概念的理解和运用概念的理解和运用概念的理解和运用概念的理解和运用. .因此，数学概念的引入是数学因此，数学概念的引入是数学因此，数学概念的引入是
29、数学因此，数学概念的引入是数学概念教学的一个重要概念教学的一个重要概念教学的一个重要概念教学的一个重要环节环节. .由于概念的形成、概念的同化由于概念的形成、概念的同化由于概念的形成、概念的同化由于概念的形成、概念的同化和概念的和概念的和概念的和概念的顺应顺应是是是是获获得概念的三种方式，因此，数得概念的三种方式，因此，数得概念的三种方式，因此，数得概念的三种方式，因此，数学概念的引入可以按学概念的引入可以按学概念的引入可以按学概念的引入可以按这这三种方式来三种方式来三种方式来三种方式来进进行行行行. .至于使用哪一种至于使用哪一种至于使用哪一种至于使用哪一种引入方式，教引入方式，教引入方式，
30、教引入方式，教师师可以根据概念的定可以根据概念的定可以根据概念的定可以根据概念的定义义形式来形式来形式来形式来选选取取取取. .另外，另外，另外，另外，由于概念的学由于概念的学由于概念的学由于概念的学习习是一种有意是一种有意是一种有意是一种有意义义的学的学的学的学习习，因此在引入概念，因此在引入概念，因此在引入概念，因此在引入概念时时还还要考要考要考要考虑虑学生学生学生学生认认知的心理特点知的心理特点知的心理特点知的心理特点. . 1. 1. 根据概念的定根据概念的定义形式引入形式引入 数学中的概念一般都是比数学中的概念一般都是比较精确的定精确的定义性性概念概念.概念定概念定义的形式多种多的形
31、式多种多样，不同形式的，不同形式的定定义要考要考虑不同的引入方式不同的引入方式. （1）如果概念是以属概念加种差的形式）如果概念是以属概念加种差的形式给出，出，那么那么这一一类概念一般按概念同化的方式引入概念一般按概念同化的方式引入. 此此时，教，教师应着重着重讲解定解定义中的属概念和种差，中的属概念和种差，使学生明确，新概念既具有属概念的一切属性，使学生明确，新概念既具有属概念的一切属性，又具有自身所特有的关又具有自身所特有的关键属性（种差）属性（种差）. （2 2 2 2）在以属概念加种差的形式定）在以属概念加种差的形式定）在以属概念加种差的形式定）在以属概念加种差的形式定义义的概念中，有
32、些概念的概念中，有些概念的概念中，有些概念的概念中，有些概念的属概念的内涵很少，外延很大，而种差的属概念的内涵很少，外延很大，而种差的属概念的内涵很少，外延很大，而种差的属概念的内涵很少，外延很大，而种差较为较为抽象，学生抽象，学生抽象，学生抽象，学生同化有困同化有困同化有困同化有困难难. . . .这时这时，教，教，教，教师应该师应该避开抽象内涵的避开抽象内涵的避开抽象内涵的避开抽象内涵的讲讲解，从概解，从概解，从概解，从概念的外延入手，念的外延入手，念的外延入手，念的外延入手，选择选择概念形成的方式来引入概念形成的方式来引入概念形成的方式来引入概念形成的方式来引入. . . . 例如，等比
33、数列的概念：例如，等比数列的概念：例如，等比数列的概念：例如，等比数列的概念：“如果一个数列从第二如果一个数列从第二如果一个数列从第二如果一个数列从第二项项起，每一起，每一起，每一起，每一项项与它前一与它前一与它前一与它前一项项的比等于同一个常数，的比等于同一个常数，的比等于同一个常数，的比等于同一个常数，这这个数列就个数列就个数列就个数列就叫做等比数列，叫做等比数列，叫做等比数列，叫做等比数列，这这个常数叫做等比数列的公比个常数叫做等比数列的公比个常数叫做等比数列的公比个常数叫做等比数列的公比.”.”.”.” 如果学生的如果学生的如果学生的如果学生的认认知水平知水平知水平知水平较较高，那么可
34、以按概念同化的方高，那么可以按概念同化的方高，那么可以按概念同化的方高，那么可以按概念同化的方式来引入式来引入式来引入式来引入. . . .但如果学生的但如果学生的但如果学生的但如果学生的认认知水平知水平知水平知水平较较低，那么可以按概念低，那么可以按概念低，那么可以按概念低，那么可以按概念形成的方式来引入形成的方式来引入形成的方式来引入形成的方式来引入. . . .（3）对于以于以发生式定生式定义（即以被定（即以被定义概念所反映概念所反映的的对象象产生或形成的生或形成的过程程为种差的定种差的定义）的概）的概念，念，应该按概念同化的方式来引入按概念同化的方式来引入. 但此但此时教教师讲课的重点
35、不只是的重点不只是讲解定解定义的种的种差，差，还要通要通过实验演示其演示其发生生过程，程，让学生具体学生具体操作，体操作，体验其形成其形成过程，以帮助学生把握概念的程，以帮助学生把握概念的关关键属性属性.例如，例如，对于于椭圆概念概念 （4 4）对对于形式定于形式定于形式定于形式定义义的概念，一般按概念同化的方式来的概念，一般按概念同化的方式来的概念，一般按概念同化的方式来的概念，一般按概念同化的方式来引入引入引入引入. .教教教教师应强调师应强调抓住定抓住定抓住定抓住定义义的模型，任何突破模型的形式的模型，任何突破模型的形式的模型，任何突破模型的形式的模型，任何突破模型的形式都不是定都不是定
36、都不是定都不是定义义本身本身本身本身. .例如，例如，例如，例如，幂幂函数的定函数的定函数的定函数的定义义. . 在形式定在形式定在形式定在形式定义义中，中，中，中，对对于于于于规规定定定定定定定定义义要要要要讲讲清两点：一是清两点：一是清两点：一是清两点：一是规规定定定定的必要性，即的必要性，即的必要性，即的必要性，即为为什么要什么要什么要什么要规规定；二是定；二是定；二是定；二是规规定的合理性，即定的合理性，即定的合理性，即定的合理性，即这样这样规规定的道理定的道理定的道理定的道理. . 对对于那些于那些于那些于那些处处于概念体系中起着基于概念体系中起着基于概念体系中起着基于概念体系中起着
37、基础础作用和核心作用的作用和核心作用的作用和核心作用的作用和核心作用的形式定形式定形式定形式定义义的概念如正、的概念如正、的概念如正、的概念如正、负负数和复数，由于学生缺乏适当数和复数，由于学生缺乏适当数和复数，由于学生缺乏适当数和复数，由于学生缺乏适当的、用于同化的的、用于同化的的、用于同化的的、用于同化的观观念，也缺乏属于直接念，也缺乏属于直接念，也缺乏属于直接念，也缺乏属于直接经验经验的、用于概括的、用于概括的、用于概括的、用于概括的例的例的例的例证证，因此，因此，因此，因此，这这一一一一类类概念概念概念概念应应按概念按概念按概念按概念顺应顺应的方式来引入的方式来引入的方式来引入的方式来
38、引入. . 事事事事实实上，数学概念的定上，数学概念的定上，数学概念的定上，数学概念的定义义形式不限于以上几种，形式不限于以上几种，形式不限于以上几种，形式不限于以上几种，这这些些些些概念的引入概念的引入概念的引入概念的引入应应具体具体具体具体问题问题具体分析具体分析具体分析具体分析. . 2. 2. 2. 2.根据学生根据学生根据学生根据学生认认知的心理特点引入知的心理特点引入知的心理特点引入知的心理特点引入 概念学概念学概念学概念学习习是有意是有意是有意是有意义义的学的学的学的学习习，根据有意，根据有意，根据有意，根据有意义义学学学学习习的条件，的条件，的条件，的条件，学学学学习习者必者必
39、者必者必须须具具具具备备有意有意有意有意义义学学学学习习的心向的心向的心向的心向. . . .要做到要做到要做到要做到这这一点，除了一点，除了一点，除了一点，除了激激激激发发外在外在外在外在动动机的手段之外，教机的手段之外，教机的手段之外，教机的手段之外，教师应师应根据学生根据学生根据学生根据学生认认知的心理特知的心理特知的心理特知的心理特点，充分激点，充分激点，充分激点，充分激发发学生的内在学生的内在学生的内在学生的内在动动机机机机. . . . 学生学生学生学生认认知的心理特点，一方面表知的心理特点，一方面表知的心理特点，一方面表知的心理特点，一方面表现为现为天生就具天生就具天生就具天生就
40、具备备的的的的积积极极极极向上、探索奥秘的求知欲，另一方面表向上、探索奥秘的求知欲，另一方面表向上、探索奥秘的求知欲，另一方面表向上、探索奥秘的求知欲，另一方面表现为现为心理平衡心理平衡心理平衡心理平衡倾倾向向向向. . . . 如果教学内容具有新奇性、运如果教学内容具有新奇性、运如果教学内容具有新奇性、运如果教学内容具有新奇性、运动动性、可探索性等特点，性、可探索性等特点，性、可探索性等特点，性、可探索性等特点，那么就能激那么就能激那么就能激那么就能激发发学生的求知欲学生的求知欲学生的求知欲学生的求知欲. . . .一旦他一旦他一旦他一旦他们觉们觉得得得得“有趣有趣有趣有趣”，就，就，就，就
41、能自能自能自能自觉觉地集中注意力，全神地集中注意力，全神地集中注意力，全神地集中注意力，全神贯贯注地学注地学注地学注地学习习. . . . 原原原原苏联苏联教育家奥加涅相教授指出：教育家奥加涅相教授指出：教育家奥加涅相教授指出：教育家奥加涅相教授指出：“学生学学生学学生学学生学习习数学的数学的数学的数学的好坏很大程度上取决于学好坏很大程度上取决于学好坏很大程度上取决于学好坏很大程度上取决于学习兴习兴趣的趣的趣的趣的产产生和保持生和保持生和保持生和保持.”.”.”.”因此，因此，因此，因此，在引入新概念在引入新概念在引入新概念在引入新概念时时，若能注意引入方式的趣味性，就会收到，若能注意引入方式
42、的趣味性，就会收到，若能注意引入方式的趣味性，就会收到，若能注意引入方式的趣味性，就会收到良好的教学效果良好的教学效果良好的教学效果良好的教学效果. . . . 例如，在引入等速螺例如，在引入等速螺例如，在引入等速螺例如，在引入等速螺线线概念概念概念概念时时，教，教，教，教师师告告告告诉诉学生：一只学生：一只学生：一只学生：一只蚂蚁蚂蚁，在一根，在一根，在一根，在一根竖竖直不直不直不直不动动的教鞭上向上的教鞭上向上的教鞭上向上的教鞭上向上竖竖直爬行，其直爬行，其直爬行，其直爬行，其轨轨迹是迹是迹是迹是一条射一条射一条射一条射线线；如果；如果；如果；如果蚂蚁蚂蚁不不不不动动，教鞭，教鞭，教鞭，教
43、鞭绕绕其端点旋其端点旋其端点旋其端点旋转转，蚂蚁蚂蚁的的的的轨轨迹是一个迹是一个迹是一个迹是一个圆圆周；如果周；如果周；如果周；如果蚂蚁蚂蚁沿教鞭爬行，教鞭又在沿教鞭爬行，教鞭又在沿教鞭爬行，教鞭又在沿教鞭爬行，教鞭又在竖竖直平面直平面直平面直平面上上上上绕绕其一个端点作匀速旋其一个端点作匀速旋其一个端点作匀速旋其一个端点作匀速旋转转，蚂蚁蚂蚁的的的的轨轨迹是什么呢？迹是什么呢？迹是什么呢？迹是什么呢？这样这样就很自然地引入了等速螺就很自然地引入了等速螺就很自然地引入了等速螺就很自然地引入了等速螺线线的概念的概念的概念的概念. .又如用又如用又如用又如用“ “一尺之棰，一尺之棰，一尺之棰，一尺
44、之棰，日日日日取其半，万世不竭取其半，万世不竭取其半，万世不竭取其半，万世不竭.”.”来引入数列极限的概念，就能激来引入数列极限的概念，就能激来引入数列极限的概念，就能激来引入数列极限的概念，就能激发发学学学学生的生的生的生的兴兴趣，有利于极限概念的理解趣，有利于极限概念的理解趣，有利于极限概念的理解趣，有利于极限概念的理解. . 心理平衡心理平衡倾向是指个体向是指个体对心中的心中的问题非要解决非要解决不可，以不可，以获得心理得心理满足的足的倾向向. . 教教教教师师在引入新概念在引入新概念在引入新概念在引入新概念时时，若能注意提，若能注意提，若能注意提，若能注意提问问激疑，激疑，激疑，激疑，
45、设设置置置置悬悬念念念念, ,就能充分就能充分就能充分就能充分调动调动学生的思学生的思学生的思学生的思维维，使他，使他，使他，使他们们自自自自觉积觉积极地学极地学极地学极地学习习新概念新概念新概念新概念. . ( (二二) )概念的理解概念的理解 概念的引入是数学概念教学的第一个概念的引入是数学概念教学的第一个概念的引入是数学概念教学的第一个概念的引入是数学概念教学的第一个环节环节，它，它，它，它为为正确正确正确正确理解概念奠定了基理解概念奠定了基理解概念奠定了基理解概念奠定了基础础. .但要使学生透但要使学生透但要使学生透但要使学生透彻彻理解并掌握所学的理解并掌握所学的理解并掌握所学的理解并
46、掌握所学的概念，教概念，教概念，教概念，教师还师还要注意以下四个方面要注意以下四个方面要注意以下四个方面要注意以下四个方面. . 1 1加加强对概念的解剖分析概念的解剖分析 数学概念是借助于数学数学概念是借助于数学数学概念是借助于数学数学概念是借助于数学语语言符号来表达的，其用言符号来表达的，其用言符号来表达的，其用言符号来表达的，其用语语、用用用用词词一般都非常一般都非常一般都非常一般都非常严严密、精密、精密、精密、精炼炼，具有高度的概括性，因而，具有高度的概括性，因而，具有高度的概括性，因而，具有高度的概括性，因而，有的概念叙述十分有的概念叙述十分有的概念叙述十分有的概念叙述十分简练简练，
47、寓意深刻；有的用符号、式子表，寓意深刻；有的用符号、式子表，寓意深刻；有的用符号、式子表，寓意深刻；有的用符号、式子表示，比示，比示，比示，比较较抽象抽象抽象抽象. .对这对这些概念，教些概念，教些概念，教些概念，教师师必必必必须须抓住概念中的关抓住概念中的关抓住概念中的关抓住概念中的关键键词词句句句句进进行解剖分析，揭示每一个行解剖分析，揭示每一个行解剖分析，揭示每一个行解剖分析，揭示每一个词词、句、符号、式子的内、句、符号、式子的内、句、符号、式子的内、句、符号、式子的内在含在含在含在含义义，使学生深刻理解概念的本，使学生深刻理解概念的本，使学生深刻理解概念的本，使学生深刻理解概念的本质质
48、属性属性属性属性. . 2.2.利用利用变式，突出概念的本式，突出概念的本质属性属性 变式是指概念例式是指概念例证在非本在非本质属性方面的属性方面的变化化. .利用利用变式的目的是通式的目的是通过非本非本质属性的属性的变化来化来突出本突出本质属性，使属性，使获得的概念更精确、更得的概念更精确、更稳定定. 3.3.注意概念的注意概念的对比和直比和直观化化 数学中有数学中有许多概念是平行相关的概念，如果能多概念是平行相关的概念，如果能将它将它们有机地有机地联系在一起系在一起进行行类比，就可以收到比，就可以收到由此及彼、温故而知新的效果由此及彼、温故而知新的效果.如分数和分式的如分数和分式的类比、数
49、列极限和函数极限的比、数列极限和函数极限的类比、平面几何与立比、平面几何与立体几何的体几何的类比等比等. 数学概念通常是数学概念通常是经过多多层次的抽象概括而得次的抽象概括而得的，它往往脱离了具体的原型的，它往往脱离了具体的原型.对这类比比较抽象的抽象的概念，概念，应引引导学生将概念具体化、形象化，借助学生将概念具体化、形象化，借助于直于直观图形，使抽象的数学概念成形，使抽象的数学概念成为看得看得见摸得摸得着的事物着的事物. 4. 4. 注意概念体系的建构注意概念体系的建构 在数学概念教学中，不但要使学生掌握在数学概念教学中，不但要使学生掌握在数学概念教学中，不但要使学生掌握在数学概念教学中，
50、不但要使学生掌握单单个的概念，个的概念，个的概念，个的概念，而且而且而且而且还还要使学生掌握概念体系，建构良好的数学要使学生掌握概念体系，建构良好的数学要使学生掌握概念体系，建构良好的数学要使学生掌握概念体系，建构良好的数学认认知知知知结结构构构构. . . . 新概念是在原有概念的基新概念是在原有概念的基新概念是在原有概念的基新概念是在原有概念的基础础之上形成的，或是原有概念的限之上形成的，或是原有概念的限之上形成的，或是原有概念的限之上形成的，或是原有概念的限制、延伸或制、延伸或制、延伸或制、延伸或扩扩充充充充. . . .因此，新旧概念之因此，新旧概念之因此，新旧概念之因此，新旧概念之间
51、间有着内在的有着内在的有着内在的有着内在的联联系，如相系，如相系，如相系，如相邻邻关关关关系、系、系、系、对对立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关系、并列关系等，立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关系、并列关系等，立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关系、并列关系等，立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关系、并列关系等，这这些些些些联联系是我系是我系是我系是我们们建构概念体系的前提建构概念体系的前提建构概念体系的前提建构概念体系的前提. . . . 在在在在经过经过每一章每一章每一章每一章节节的学的学的学的学习习之后，之后，之后，之后，应应引引引引导导学生将所学的概念加以整学生将所学的概念加以整学生将所学
52、的概念加以整学生将所学的概念加以整理、理、理、理、归类归类，理清概念之，理清概念之，理清概念之，理清概念之间间的关系，特的关系，特的关系，特的关系，特别别是种属关系，将是种属关系，将是种属关系，将是种属关系，将这这些概念些概念些概念些概念联联点串点串点串点串线线，建立章，建立章，建立章，建立章节节或学科的概念网或学科的概念网或学科的概念网或学科的概念网络络体系，使概念体系，使概念体系，使概念体系，使概念纵纵横横横横贯贯通，有助通，有助通，有助通，有助于学生深化于学生深化于学生深化于学生深化对对概念的理解概念的理解概念的理解概念的理解. . . .学生一旦形成了学生一旦形成了学生一旦形成了学生一
53、旦形成了这样这样的概念体系，不的概念体系，不的概念体系，不的概念体系，不仅仅有利于概念的有利于概念的有利于概念的有利于概念的贮贮存和存和存和存和检检索，而且有助于理解和吸收新概念索，而且有助于理解和吸收新概念索，而且有助于理解和吸收新概念索，而且有助于理解和吸收新概念. . . . ( (三三) )在在实践中运用概念践中运用概念 数学概念教学的目的主要是，使学生深刻地理数学概念教学的目的主要是，使学生深刻地理解概念，牢固地掌握概念，灵活地运用概念解概念，牢固地掌握概念，灵活地运用概念. 因此，在学生因此，在学生获得概念之后，就要在得概念之后，就要在实践中运践中运用概念用概念.在在实践中运用概念的践中运用概念的过程，程，实质上是概念上是概念具体化的具体化的过程，而概念的具体化有助于学生程，而概念的具体化有助于学生对概概念的深刻理解和牢固地掌握概念念的深刻理解和牢固地掌握概念. 讨论、思考、思考问题： 1. 数学概念数学概念获得的心理意得的心理意义是什么？是什么？ 2. 举例例说明数学概念明数学概念获得的三种方式。得的三种方式。 3. 数学概念分成哪些数学概念分成哪些类别？
