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1、 * *第六节第六节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开 求幂级数求幂级数, 在其收敛域内以在其收敛域内以 f (x) 为和函数为和函数函数的幂级数展开函数的幂级数展开.问题问题:2.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1. f (x)在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?麦克劳林展开式麦克劳林展开式 泰勒展开式泰勒展开式 一、泰勒级数一、泰勒级数上式两端逐项求导，得上式两端逐项求导，得且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . 定义定义的泰勒级数的泰勒级数. . 的麦克劳林级数的麦克劳林级数. .二、泰勒公式二、泰勒公式上述公式称为上述公式称
2、为n n阶麦克劳林阶麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式. .证略证略. .三、函数的泰勒展开三、函数的泰勒展开证证由泰勒公式由泰勒公式证明是显然的证明是显然的. .函数函数 f(x) f(x) 展开成幂级数展开成幂级数 的具体的具体步骤：步骤：2. 2. 写出写出幂级幂级数数 ，并求其收，并求其收敛敛域域 D. D. 如果是如果是, ,那么那么 f(x) f(x)在在 D D上可展开成麦克上可展开成麦克劳劳林林级级数数 例例1 1解解即证得即证得例例2 2解解例例3 3收敛域为：收敛域为：( n ( n 不为正整数不为正整数) )特别，特别，牛顿二项展开式牛顿二项展开
3、式 一般用间接法：根据展开式的唯一性一般用间接法：根据展开式的唯一性, 利用已知利用已知展开式展开式, 通过变量代换、通过变量代换、 四则运算、四则运算、 恒等变形、恒等变形、 逐项求导、逐项求导、 逐项积分等方法逐项积分等方法, 求展开式求展开式 .例例4 4所以所以两边求导两边求导, 得得例例5 5例例6 6解解例例7 7解解基本展开式基本展开式( n ( n 不为正整数不为正整数) )特别特别例例8 8解解所以所以 例例9 9解法解法1 1所以所以解法解法2 2例例9 9例例1010解解例例1111解解例例1212解解由由幂级幂级数展开式的唯一性，数展开式的唯一性， 因而，因而， 以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：一般的泰勒级数：其收敛域为其收敛域为D D， 一般利用麦克劳林级数间接展开一般利用麦克劳林级数间接展开. .例例1313解解例例1414解解而而例例1414解解例例1515解解例例1616解解练习：练习：P251 习题七习题七
