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1、2.2圆与方程2.2.1圆的方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三第二课时圆的一般方程返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回问题1：你能写出：你能写出圆的的标准方程准方程吗？提示：提示：(xa)2(yb)2r2.问题2：上述方程能否化：上述方程能否化为二元二次方程的形式？二元二次方程的形式？提示：提示：可以可以x2y22ax2bya2b2r20.问题3：若：若给出方程出方程x2y2DxEyF0，能否判断它，能否判断它表示一个表示一个圆？提示：提示：可以，但需可以，但需满足足D2E24F0.返回返回 问题4：给出二元二次方程出二
2、元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，若，若该方程表示方程表示圆，可否根据，可否根据圆的的标准方程确定准方程确定成立的条件？成立的条件？ 提示：提示：可以可以返回返回 圆的一般方程的一般方程 1圆的一般方程的定的一般方程的定义当当D2E24F0时，称二元二次方程，称二元二次方程 为圆的一般方程的一般方程x2y2DxEyF0返回返回2方程方程x2y2DxEyF0表示的表示的图形形方程方程条件条件方程解的方程解的情况情况图形图形x2y2DxEyF0 没有实数没有实数解解不表示任何不表示任何图形图形D2E20返回返回D2E24F0 返回返回D2E4F 0返回返回 1圆的一般方程体的一般方程体现了
3、了圆的方程形式上的特点的方程形式上的特点 (1)(1)x x2 2、y y2 2的的的的系数相等系数相等且不且不且不且不为为0 0； (2)(2)没有没有没有没有xy项 2圆的一般方程必的一般方程必须满足足D2E24F0的条件，的条件，而而 确定确定圆的一般方程，往往由待定系数法来确定的一般方程，往往由待定系数法来确定D、E、F三个未知数三个未知数返回返回返回返回 若若x2y2xym0表示一个表示一个圆的方程，的方程，则m的取的取值范范围是是_ 思路点思路点拨解答本解答本题既可利用二元二次方程表示既可利用二元二次方程表示圆的的条件，列不等式来解得条件，列不等式来解得m的范的范围，也可利用配方来
4、解决，也可利用配方来解决返回返回返回返回 一点通一点通形如形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，的二元二次方程，判定其是否表示判定其是否表示圆时可有如下两种方法可有如下两种方法 (1)由由圆的一般方程的定的一般方程的定义令令D2E24F0，成立，成立则表表示示圆，否，否则不表示不表示圆，(2)将方程配方后，根据将方程配方后，根据圆的的标准方准方程的特征求解，程的特征求解，应用用这两种方法两种方法时，要注意所，要注意所给方程是不方程是不是是x2y2DxEyF0这种种标准形式，若不是，准形式，若不是，则要化要化为这种形式再求解种形式再求解返回返回1(2011(2011安徽高考改编安徽高考改编)
5、)直直线3xya0过圆x2y22x 4y0的的圆心，心，则a的的值为_ 解析：解析：把把x2y22x4y0化化为(x1)2(y2)25， 知知圆心是心是(1,2)，又直，又直线过圆心，故心，故132a0， a1. 答案：答案：1返回返回2下列各方程表示什么下列各方程表示什么图形？若表示形？若表示圆，求出，求出圆心及心及 半径半径 (1)x2y2x10； (2)x2y22axa20(a0)； (3)2x22y22ax2ay0(a0) 解：解：(1)D1，E0，F1， D2E24F1430， 方程不表示任何方程不表示任何图形形返回返回(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示
6、点方程表示点(a,0)返回返回 求求过三点三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)的的圆的一的一般方程，并求出般方程，并求出圆的的圆心与半径心与半径 思路点思路点拨解答本解答本题，可，可设出出圆的一般方程，用待的一般方程，用待定系数法求解定系数法求解返回返回返回返回一点通一点通应用待定系数法求用待定系数法求圆的方程的方程时(1)如果由已知条件容易求得如果由已知条件容易求得圆心坐心坐标、半径或需利用、半径或需利用圆心的坐心的坐标或半径列方程的或半径列方程的问题，一般采用，一般采用圆的的标准方程，准方程，再用待定系数法求出再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与如果已知条件与圆心
7、和半径都无直接关系，一般采用心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.返回返回3求求经过点点C(1,1)和和D(1,3)，且，且圆心在心在x轴上的上的圆的的 一般方程一般方程返回返回4若点若点A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)，D(a,1)共共圆， 求求a的的值返回返回 (2011银川高一检测银川高一检测)已知已知动点点M到点到点A(2，0)的的距离是它到点距离是它到点B(8,0)的距离的一半的距离的一半 (1)求求动点点M的的轨迹方程；迹方程； (2)若若N为线段段AM的中点，的中点，试求点求点N的的轨迹迹返回返回返
8、回返回返回返回返回返回 一点通一点通求求轨迹方程的一般步迹方程的一般步骤 (1)建立适当的直角坐建立适当的直角坐标系，用有序系，用有序实数数对(x，y)表示表示动点点P的坐的坐标； (2)写出适合条件的点写出适合条件的点P的集合的集合MP|M(P)； (3)用坐用坐标表示条件表示条件M(P)，列出方程，列出方程f(x，y)0； (4)化方程化方程f(x，y)0为最最简形式；形式； (5)证明以化明以化简后的方程的解后的方程的解为坐坐标的点都是曲的点都是曲线上上的点的点 返回返回5已知一条曲已知一条曲线在在x轴的上方，它上面的每一点到点的上方，它上面的每一点到点 A(0,2)的距离都是的距离都是
9、2，求，求这条曲条曲线的方程，并的方程，并说明明 是什么曲是什么曲线返回返回6已知已知圆x2y24上一定点上一定点A(2,0)，P为圆上一上一动点，求点，求线 段段AP中点的中点的轨迹方程迹方程解：解：设AP中点中点为M(x，y)，由中点坐，由中点坐标公式可知，公式可知，P点点坐坐标为(2x2,2y)P点在点在圆x2y24上，上，(2x2)2(2y)24.故故线段段AP中点的中点的轨迹方程迹方程为(x1)2y21.返回返回 1利用待定系数法求利用待定系数法求圆的方程的方程时，应尽量注意特尽量注意特殊位置殊位置圆的特点，恰当运用平面几何知的特点，恰当运用平面几何知识，可使解法灵，可使解法灵活活简
10、便便 2圆的的标准方程和一般方程的特点及相互准方程和一般方程的特点及相互转化化 (1)由由圆的的标准方程准方程(xa)2(yb)2r2，可以直接求，可以直接求出出圆心坐心坐标和半径，和半径，圆的几何特征的几何特征较为明明显 (2)由由圆的一般方程的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，知道，知道圆是一种特殊的二元二次方程，是一种特殊的二元二次方程，圆的代数的代数特征很明特征很明显返回返回(3)圆的的标准方程和一般方程的准方程和一般方程的转化化 2求与求与圆有关的有关的轨迹迹问题常用的方法常用的方法 (1)直接法：根据直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直目的条件，建立适当的平面直角坐角坐标系，系，设出出动点坐点坐标，并找出，并找出动点坐点坐标所所满足的关足的关系式系式返回返回 (2)定定义法：当列出的关系式符合法：当列出的关系式符合圆的定的定义时，可利，可利用定用定义写出写出动点的点的轨迹方程迹方程 (3)相关点法：若相关点法：若动点点P(x，y)随着随着圆上的另一上的另一动点点Q(x1，y1)运运动而运而运动，且，且x1，y1可用可用x，y表示，表示，则可将可将Q点的点的坐坐标代入已知代入已知圆的方程，即得的方程，即得动点点P的的轨迹方程迹方程返回返回点此进入
