§9–1 刚体平面运动的概念和运动分解刚体平面运动的概念和运动分解 §9–2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 §9–3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 §9–4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动: 见左图见左图: A点点----作圆周运动，作圆周运动， B点点----作直线运动，作直线运动， AB 杆杆----而是平面运动．而是平面运动．一．平面运动的定义一．平面运动的定义 刚体上的各点都在平行于某一固定刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动．平面的平面内运动．§9-1 刚体平面运动的概念和运动分解刚体平面运动的概念和运动分解: 刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动． 即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．二．平面运动的简化二．平面运动的简化W: 三、平面运动的分解三、平面运动的分解• 刚体的平面运动方程 刚体的平面运动方程 任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S 的位置决定于 三个独立的参变量，它们都是时间的函数．确定平面图形的位置确定平面图形的位置------只需确定平面图形内任只需确定平面图形内任意意 一条线段的位置．一条线段的位置．: 平面图形的运动方程平面图形的运动方程（（9—1））: 四、平面运动的分解：平动和转动 当 角不变时-----则刚体作平动。
故刚体平面运动故刚体平面运动--------- 可以看成是平动和转动的合成运动．可以看成是平动和转动的合成运动． 当Ａ点不动时当Ａ点不动时-----则刚体作定轴转则刚体作定轴转动 刚体上任一直线始终与初始位置平行1.水平曲线轨迹上行驶的火车箱是否平移?否刚体的平动刚体的平动: :2.平移时，刚体上各点轨迹是平行直线，对吗?不一定可是平行曲线 3.平面图形Ｓ在t 时间内从位置I运动到位置II,是何种运动？IABIIB´´A´: 以A为基点: 随基点A平动到A'B'后, 绕基点转 角到A' B''IABA´B´IIB´´A´: A´B´ 另一种运动过程：IAB即：刚体的平面运动为平动和转动的合成运动即：刚体的平面运动为平动和转动的合成运动以B为基点: 随基点B平动到A'B'后, 绕基点转 角到A'' B'IIB´A´´: 一．基点法〔合成法） 取A为基点, 将动系固结于A点,动系作平动 取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成。
§9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法知：知：A点的速度点的速度vA，求，求B点的速度点的速度vB: ω 根据速度合成定理则B点速度为：vBAvB其中：其中：vBvBA: 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．基点转动的速度的矢量和． 这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法． 它是求解平面图形内一点速度的基本方法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．ωvBAvB: BPACOvovovPOω[例1]车轮的半径为车轮的半径为R，沿直线作纯滚动，轮轴以速度，沿直线作纯滚动，轮轴以速度vO前前进，求轮子的角速度和进，求轮子的角速度和A、、B和和C各点的速度各点的速度解〔1）∵轮子纯滚动 ∴vP=0BPACOvo取O为基点∵由且: BPACOvoωvAOvo（2〕A点速度，取O为基点或取P为基点:BPACOvAvA: （3〕B点速度，取O为基点BPACOvovovBOωvB或取P为基点:BPAOvAvB: vCOBPACOvovoω（4〕C点速度，取O为基点或取P为基点:vCBPACOvovCvAvB: [例2]曲柄连杆机构，OA=r，AB= r，OA以匀角速度ω转动，求B的速度和AB杆的角速度。
ωOAB30°vB= vA/cos30°解：vA= OA·ω=r ·ωvBA= vA·tan30°ABvAvBAvAvBω OωBA: ABvAvBAvAvBω OωBA∵∴: 即：平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等即：平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等．这种求解速度的方法称为．这种求解速度的方法称为 速度投影法．速度投影法． 由于A, B点是任意的，因而 表示了图形上任意两点速度间的关系．而且恒有 ，因此将上式在AB连线上投影，有二．速度投影法二．速度投影法: [例3]曲柄连杆机构，OA=r，AB= r，OA以匀角速度ω转动，求B的速度ωOAB30°vB cos30° = vAωABvAvB O解：vA= OA·ω=r ·ωvB= vA/cos30°: [例4]OA=O1 B= r，OA以匀角速度ω转动，求B的速度，AB杆的角速度， O1 B 杆的角速度vB = vA cos45° 解：⑴ vA= OA·ω=r ·ωωOAB45°O1vAvB⑵⑵ vB A= vB ⑶⑶ vAvBAωAB: 1. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？ ２．速度瞬心的概念 §9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 一般情况，在每一瞬时，平面图形上一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，该点称都唯一地存在一个速度为零的点，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．称速度瞬心．BPACOvovCvAvB: ３．几种确定速度瞬心位置的方法３．几种确定速度瞬心位置的方法 (1)已知图形上一点的速度 和图形角速度， 可以确定速度瞬心的位置．（P点） 且Ｐ在 顺转向绕A点 转90º的方向一侧． (2)已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心． 取证明：证明：: (4)已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且(b)(a) (3)已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 ，则过A , B两 点分别作速度 的垂线,交点P即为该瞬时的速度瞬心.: 另：对(4)种(a)的情况，若vA＝vB， 则是瞬时平动． (5)已知某瞬时图形上已知某瞬时图形上A、、B两点的速度方向平行且同向，两点的速度方向平行且同向，AB连连线不垂直线不垂直A、、B的速度．那么的速度．那么 图形的瞬心在无穷远处图形的瞬心在无穷远处,图形的角图形的角速度速度 =0, 图形上各点速度相等图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动这种情况称为瞬时平动. (各各点的加速度不相等点的加速度不相等): 例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．此时连杆BC的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等．设匀，那么而 的方向沿AC的， 瞬时平动与平动不同: ４４. 速度瞬心法速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法称为速度瞬心法. 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。
动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心 若 若P点为速度瞬心，则任意一点点为速度瞬心，则任意一点A的速度：的速度： 方向方向 AP，指向与，指向与 一致 ５５. 注意的问题注意的问题 (1)速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的在任一瞬时是唯一存在的断变化的在任一瞬时是唯一存在的 (2)速度瞬心处的速度为零速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零不同于定轴转动加速度不一定为零不同于定轴转动 (3)刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的不同于刚体作平动度是不一定相同的不同于刚体作平动 [例5]曲柄连杆机构，OA=r，AB= r，OA以匀角速度ω转动，求B的速度和AB杆的角速度ωOAB30°解：用瞬心法求解vA= OA·ω=r ·ω: vB= PB•ωABABvAvBω OωBAP: [例6]OA=O1 B= r，OA以匀角速度ω转动，求B的速度，AB杆的角速度。
瞬心法）解：⑴ vA= OA·ω=r ·ωωOAB45°O1⑵⑵ ⑶⑶ PvAvBωAB: 曲柄肘杆压床机构知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平求该位置时的 、 及[例例7]解：OA,BC作定轴转动, AB,BD均作平面运动 根据题意： 研究AB, P１为其速度瞬心: （ ）研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD（ ）: 解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点）(知: R, r , o 轮A作纯滚动，求[例８例８] 行星齿轮机构行星齿轮机构: 解：轴解：轴O, 杆杆OC, 楔块楔块M均作平动均作平动, 圆盘作平面运动，圆盘作平面运动，P为速度瞬心为速度瞬心）( 平面机构中, 楔块M: =30º, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．[例例9]: [题１０]OA=O1B=r=0.1m,EB=BD=AD=l=0.4m,OA的转速n=120 r/min,求F的速度。
DEBAOO1Fω解：速度分析vEvBvDvAααααα: 取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．于是,由牵连平动时加速度合成定理 可得如下公式．一. 基点法 (合成法) 9–4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , α〔某一瞬时）求： 该瞬时图形上任一点B的加速度α: 上述公式是一平面矢量方程需知其中六个要素，方能求出其余两个由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量其中： ，方向AB，指向与 一致； ，方向沿AB，指向A点 : [例1 1]滑块A以等速度v沿滑道运动，求图示时刻滑块B的速度和加速度30°BvAAR 解：AB杆作瞬时平动，vB: 30° BvAARaBaAaAξ在ξ轴上投影：: [例１２] 解：D点的加速度：椭圆规机构，OD以匀角速度ω绕O轴转动，OD=AD=BD= l，求图示位置时AB的角加速度和点A的加速度。
A60°BDOωPvBvD在ξ和η轴上投影：: A60°BDOωvBvDPvB: （ ） 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度 及加速度 ,求车轮与轨道接触点P的加速度．解：轮O作平面运动，P为速度瞬心， [例１３] 由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（ ）分析： 大小 ？ √ Ｒα Ｒw 2 方向 ？ √ √ √ 故应先求出 α ．α: 由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心． 以O为基点，有 其中： 做出加速度矢量图，由图中看出： （ 与 等值反向） 即 α: 解：(a) AB作平动， 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2， α 1和α 2是否相等？(a)(b)[例例1４４]αααα: (b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时αα: 曲柄滚轮机构 滚子半径R=15cm, n=60 rpm求：当θ =60º时 (OAAB),滚轮的Ｂ， αＢ．[例例1５５]θ解：取A为基点，指向O点: 大小？ √ ？ √方向√ √ √ √作加速度矢量图，将上式向BA线上投影）(）(研究轮B：P2为其速度瞬心θ: ORCBωO1rA[题１６题１６]知：恒定 ω=2rad/s，OA=AB=R=2r=1m，纯滚动。
求图示瞬时B点C点的速度和加速度解：① B点C点的速度DvCvAvB速度分析见图: ORCBωO1rADaAaAaBAnaBAτaBnτaB② B点的加速度〔加速度分析如图）①B点作绕O1点的圆周运动②将②式在水平轴上投影：√？？？？√√由①知：: ORCBωO1rAωBD② C点的加速度〔加速度分析如图）①由①式知：aBaBaCBτaCBn？？？？√√: 解解:OA定轴转动定轴转动 ; AB, BC均作平面运动均作平面运动,(1)求求对AB杆应用速度投影定理：对BC杆应用速度投影定理： 知：图示机构中，知：图示机构中，OA= r , 以等角速度以等角速度 o转动转动, = 60º AB BC, AB=6 r , BC= . 求求 该瞬时滑块该瞬时滑块C的的 速度和加速度．速度和加速度．[题１７题１７]: (2)求求以A为基点求B点加速度：( a )P1为AB杆速度瞬心，而作加速度矢量图作加速度矢量图, 并沿并沿BA方向投影方向投影: 作加速度矢量图作加速度矢量图, P2 为为BC的瞬心的瞬心,而而 P2C = 9 r再以再以B为基点为基点, 求求将 (b) 式在BC方向线上投影[注] 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同， 反之，结果为负，说明假设与实际指向相反．30º: 一．概念与内容一．概念与内容 1. 刚体平面运动的定义刚体平面运动的定义 刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变． 刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变． 2. 刚体平面运动的简化刚体平面运动的简化 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动．面内的运动代替刚体的整体运动． 3. 刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 分解为分解为 4. 基点 基点 可以选择平面图形内任意一点 可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．通常是运动状态已知的点． 随基点的平动〔平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动〔转动规律与基点的选择无关）第九章 刚体平面运动习题课第九章 刚体平面运动习题课: 5. 瞬心〔速度瞬心） (1)任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点 (2)瞬心位置随时间改变． (3)每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这 种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同． (4) =0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平动,瞬时平动与平动不同．6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．7. 求平面图形上任一点速度的方法 (1)基点法： (2)速度投影法： (3)速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．: 8. 求平面图形上一点加速度的方法基点法： ，A为基点, 是最常用的方法此外，当 =0,瞬时平动时也可采用方法它是基点法在 =0时的特例。
9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件 (1)平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系． (2)合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递．: 二．解题步骤和要点二．解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体．形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体． 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度度(图形角速度图形角速度)问题的方法问题的方法, 用基点法求加速度用基点法求加速度(图形角加速图形角加速 度度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量．作速度分析和加速度分析，求出待求量． (基点法基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法速度投影法: 不能求出图形不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）: (1) 比较比较[例例2]和和[例例3]可以看出可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时不能认为圆轮只滚不滑时,接接 触点就是瞬心触点就是瞬心, 只有在接触面是固定面时只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点圆轮上接触点 才是速度瞬心才是速度瞬心 (2) 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和 角速度角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认为瞬心在不能认为瞬心在 其他刚体上其他刚体上. 例如例如, [例例1] 中中AB的瞬心在的瞬心在P1点点,BD的瞬心在的瞬心在P2 点点, 而且而且P1也不是也不是CB杆上的点杆上的点: 知：知： 曲柄曲柄OA= r , 匀角速度匀角速度 转动转动, 连杆连杆AB的中点的中点C处连接一处连接一 滑块滑块C可沿导槽可沿导槽O1D滑动滑动, AB=l,图示瞬时图示瞬时O,A,O1三点三点 在同一水平线上在同一水平线上, OA AB, AO1C= =30。
求：该瞬时求：该瞬时O1D的角速度．的角速度．解：解：OA, O1D均作定轴转动均作定轴转动, AB作平面运动作平面运动(1)研究研究AB: , 图示位置图示位置, 作瞬时平动作瞬时平动, 所以所以(2)用合成运动方法用合成运动方法求求O1D杆上与滑块杆上与滑块C 接触的点的速度接触的点的速度 动点动点: AB杆上杆上C (或滑块或滑块C ), 动系动系: O1D杆杆, 静系静系: 机架机架[例例1８８] 导槽滑块机构导槽滑块机构: 绝对运动：曲线运动 ，方向绝对运动：曲线运动 ，方向相对运动：直线运动， ，方向相对运动：直线运动， ，方向// O1D牵连运动：定轴转动， ，方向牵连运动：定轴转动， ，方向 O1D根据 ，作速度平行四边形 ）( 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题．注意这类题的解法，再看下例．: [例１９例１９] 平面机构平面机构图示瞬时图示瞬时, O点在点在AB中点中点, =60º,BC AB, 已知已知O,C在同一水平线上在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s ,试求该瞬时试求该瞬时AB杆杆, BC杆的角速度杆的角速度 及滑块及滑块C的速度．的速度．解解: 轮轮A, 杆杆AB, 杆杆BC均作平面运动均作平面运动, 套筒套筒O作定轴转动作定轴转动, 滑块滑块C平动平动. 取套筒上取套筒上O点为动点点为动点, 动系固结于动系固结于AB杆杆; 静系固结于机架静系固结于机架, , 由于 沿AB, 所以 方向沿AB并且与 反向。
从而确定了AB杆上与O点接触点的速度方向研究AB, P1为速度瞬心: 也可以用瞬心法求BC和vC，很简便研究研究BC, 以以B为基点为基点, 根据 根据 作速度平行四边形作速度平行四边形）(（ ）: 解解 (1) 应用点的合成运动方法应用点的合成运动方法 确定确定CD杆上杆上C点与点与AE杆上接触杆上接触 点点C'之间的速度关系之间的速度关系 取取CD杆上杆上C为动点，动系固结于为动点，动系固结于AE，静系固结于机架；那，静系固结于机架；那么 么 (a)(2)应用平面运动方法确定AE上A、 C' 点之间速度关系 (b)知：杆AB速度为u，杆CD速度为v，且AC= l , 求图示瞬时,导槽AE的角速度．[例２０例２０] 导槽滑块机构导槽滑块机构: 将 (b) 代入 (a) 得 , 作速度矢量图投至 轴，且vC＝v，v＝u，有 （ ）: : 。