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1、第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 二、一阶线性方程的解法二、一阶线性方程的解法 三、一阶线性方程的解法小结三、一阶线性方程的解法小结华南理工大学数学科学学院华南理工大学数学科学学院 杨立洪杨立洪 博士博士一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程（1） 形如形如的微分方程叫做一阶线性微分方程。的微分方程叫做一阶线性微分方程。特征：在方程中各项中，关于未知函数特征：在方程中各项中，关于未知函数 和未知函数的和未知函数的 导数导数 的幂次均是一次的。的幂次均是一次的。 一阶线性微分方程的标准式：一阶线性微分方程的标准式： （2）其中，其中， 称
2、作自由项。称作自由项。 当当 （2称作一阶齐次线性方程。称作一阶齐次线性方程。 当当 （2称作一阶非齐次线性方程。称作一阶非齐次线性方程。 是一阶非齐次线性方程是一阶非齐次线性方程不是线性方程。不是线性方程。 例如：例如： 是一阶齐次线性方程是一阶齐次线性方程（1）（3）（2）二、一阶线性方程的解法二、一阶线性方程的解法1一阶齐次线性方程的求解：一阶齐次线性方程的求解：（3） 讨论：这也是一个可分离变量的方程。讨论：这也是一个可分离变量的方程。 分离变量：分离变量： 两边积分：两边积分： 一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程3的通解为：的通解为：（4） 2一阶非齐次线性方程的求解：一阶非齐次线性方
3、程的求解：（5） 原方程可化为原方程可化为 两边积分得两边积分得: 记记 讨论：讨论：记为记为其中，其中， 这就是一阶非齐次线性方程得通解形式，这就是一阶非齐次线性方程得通解形式，与相对应的齐次线性方程的通解相比：与相对应的齐次线性方程的通解相比： 那么 即把对应的齐次线性方程通解中的常数变为即把对应的齐次线性方程通解中的常数变为 待定函数的方法。待定函数的方法。 设设 是一阶非齐次线性方程的通解，是一阶非齐次线性方程的通解，将将y和和 代入原方程，代入原方程，常数变化法：常数变化法：那么那么 得得积分得：积分得：一阶非齐次线性方程的通解为：一阶非齐次线性方程的通解为： 三、一阶线性方程的解法
4、小结三、一阶线性方程的解法小结1一阶齐次线性方程的求解一阶齐次线性方程的求解方法一：直接用分式方法一：直接用分式方法二：采用分离变量法方法二：采用分离变量法 2一阶非齐次线性方程的求解一阶非齐次线性方程的求解方法一：直接用公式方法一：直接用公式注：常用到换底公式注：常用到换底公式 方法三：解的结构法方法三：解的结构法再求再求 的解的解 那么那么 的通解为的通解为 方法二：方法二： 采用常数变易法采用常数变易法先求：先求： 再设：再设： 代入方程，求出代入方程，求出C(x)即可。即可。 先求先求 的通解的通解 (含含C)；Y先介绍一阶线性方程求解之例。先介绍一阶线性方程求解之例。例例1、求方程、
5、求方程 的通解。的通解。 解一：（公式法这是标准的一阶线性解一：（公式法这是标准的一阶线性 四、例题（四、例题（）微分方程形式微分方程形式所以，原方程的通解为：所以，原方程的通解为：解二常数变易法先求解二常数变易法先求 的通解：的通解： 再设再设 的通解是的通解是 那么那么代入得：代入得： 所以，通解为：所以，通解为： 所以所以进而，我们有进而，我们有例例2求求 的通解。的通解。 分析：注意到分析：注意到x和和 都是一次幂。都是一次幂。 解：原方程化为解：原方程化为视视 这是关于函数这是关于函数 的一阶线性微分方程的一阶线性微分方程:故其通解为：故其通解为：例例3 如下图，平行于如下图，平行于
6、y轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 与与截下的线段截下的线段PQ之长之长度值等于阴影部分图形的面积值，求曲线：度值等于阴影部分图形的面积值，求曲线： 解：由题设有解：由题设有 两边对两边对 求导数，得求导数，得 即即这是一阶线性方程，其通解为：这是一阶线性方程，其通解为：将将 代入，得代入，得 c6故所求曲线为：故所求曲线为：五、贝努利方程及其求解五、贝努利方程及其求解伯努利伯努利Bernoulli方程的标准形式方程的标准形式当当n0，1时，方程为线性微分方程；时，方程为线性微分方程； 当当n0，1时，方程为非线性微分方程。时，方程为非线性微分方程。令令 ，那么，那么 代入得代入得这是一阶线性
7、微分方程，求出通解后，再将这是一阶线性微分方程，求出通解后，再将 代回即可。代回即可。 解法：当解法：当n0，1时，需经过变量代换化为时，需经过变量代换化为一阶线性微分方程求解；一阶线性微分方程求解；为此，两端除以为此，两端除以 得得 六、例题（六、例题（）下面介绍贝努利方程的求解之例。下面介绍贝努利方程的求解之例。 例例4求方程求方程 的通解。的通解。 解：这是贝努利方程，解：这是贝努利方程，n2；令令 ，那么，那么 方程变形为方程变形为代入并整理，得代入并整理，得 故该一阶线性方程的通解为：故该一阶线性方程的通解为：原方程的通解为原方程的通解为: 例例 求求 的通解的通解 解：原方程化为解
8、：原方程化为令令 ，那么，那么 代入并整理，得代入并整理，得 为所求通解。为所求通解。 所以，所以，七例题（七例题（）利用变量代换利用变量代换(因变量的变量代换或自变量因变量的变量代换或自变量的变量代换的变量代换),把一个微分方程化为可分离变量方把一个微分方程化为可分离变量方程、或齐次方程、或一程、或齐次方程、或一 阶线性方程、或其他已阶线性方程、或其他已知求解方法的方程，这是解微分方程常用的方法。知求解方法的方程，这是解微分方程常用的方法。 同时，我们指出同时，我们指出:求解一个微分方程的方法求解一个微分方程的方法并不是唯一的，我们要从中进行比较，尽量使用并不是唯一的，我们要从中进行比较，尽
9、量使用自己熟悉的、简单的方法去求解。自己熟悉的、简单的方法去求解。 下面我们再举几个有关变量代换的例题。下面我们再举几个有关变量代换的例题。 例例6 解方程解方程 解一、令解一、令 ，那么，那么 ,代入原方程，得代入原方程，得 ，或，或 分离变量，并两边积分，分离变量，并两边积分，得得为所求通解。为所求通解。 所以，所以，解二：原方程化为解二：原方程化为视视 ，这是线性方程解略）。，这是线性方程解略）。 例例7 解方程解方程 解：令解：令 那么那么 ，代入得，代入得 ，即，即 由分离变量法，得由分离变量法，得 所求通解为所求通解为 八、小结八、小结本节内容有：本节内容有： 1、一阶线性方程的求
10、解：、一阶线性方程的求解：（1公式法：通解公式法：通解 （2常数变易法。常数变易法。 2、贝努利方程的求解法：作变换：、贝努利方程的求解法：作变换： 化为一阶线化为一阶线性方程去求解。性方程去求解。 3、一些常见的变量代换：根据方程的特点，、一些常见的变量代换：根据方程的特点，灵活地作变量代换去求解一阶线性微分方灵活地作变量代换去求解一阶线性微分方 程。程。九、重点九、重点一阶非齐次线性方程的求解。一阶非齐次线性方程的求解。十、难点十、难点贝努利方程求解。贝努利方程求解。十一、主要题型十一、主要题型 1、一阶齐次线性方程求解；、一阶齐次线性方程求解； 2、一阶非齐次线性方程求解；、一阶非齐次线
11、性方程求解； 3、贝努利方程求解；、贝努利方程求解； 4、常见简单的变量代换。、常见简单的变量代换。1、熟记一阶线性方程的通解公式，也要、熟记一阶线性方程的通解公式，也要了解常数变量法；了解常数变量法； 2、记住贝努利方程化为一阶线性方程的、记住贝努利方程化为一阶线性方程的十二、学习方法建议十二、学习方法建议 变量代换变量代换 ：十三、课堂练习题十三、课堂练习题 1、解方程、解方程 2、解方程、解方程 十四、课堂练习题解十四、课堂练习题解 1、解一公式法这是一阶线性方程，、解一公式法这是一阶线性方程，其通解为：其通解为：先解对应的齐次线性方程先解对应的齐次线性方程 其通解为其通解为 再设再设
12、的通解是的通解是 那么那么 代入得代入得 原方程通解为：原方程通解为： 解二常数变易法）解二常数变易法）所以所以2、解、解 此为贝努利方程，此为贝努利方程，令令 那么那么 代入得代入得 原方程化为原方程化为 原方程通解为原方程通解为 十五、自测题十五、自测题1、解方程、解方程 3、解方程、解方程 4、解方程、解方程 5、解方程、解方程 求特解求特解2、解方程、解方程 1、解、解 将方程标准化将方程标准化十六、自测题解十六、自测题解2、解：将方程标准化、解：将方程标准化将将 代入以上通解，得代入以上通解，得 故所求特解为故所求特解为 3、解、解 ： 视视 原方程化为原方程化为 4、解、解 原方程化为原方程化为 这是贝努利方程，进一步化为：这是贝努利方程，进一步化为：令令 ，那么，那么 代入得代入得 变量还原后，得原方程通解为变量还原后，得原方程通解为 变量还原后，得原方程通解为：变量还原后，得原方程通解为：5、解、解 令令 ，那么，那么 代入得代入得
