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1、第七章第七章 弯曲变形弯曲变形第第7 7章章 弯曲变形弯曲变形 工程工程问题中的弯曲中的弯曲变形形 挠曲曲线的近似微分方程的近似微分方程 用用积分法求弯曲分法求弯曲变形形 用叠加法求弯曲用叠加法求弯曲变形形 简单静不定梁静不定梁 提高弯曲提高弯曲刚度的措施度的措施第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-1 7-1 概概 述述 在工程在工程实际中，中，对某些受弯构件，除要求具某些受弯构件，除要求具有足有足够的的强度外，度外，还要求要求变形不能形不能过大，即要求大，即要求构件有足构件有足够的的刚度，以保度，以保证构造或机器正常任构造或机器正常任务。一、工程一、工程实际中的弯曲中的弯曲变形形问题第七章第七
2、章 弯曲变形弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。的加工精度，甚至会出现废品。 F FF F第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,那么会使小车行走困难，那么会使小车行走困难，出现爬坡景象。出现爬坡景象。P PP P第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的任务需求。变形，以满足特定的任务需求。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓例如，车辆上的
3、板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆遭到的冲击和振动作用。解车辆遭到的冲击和振动作用。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形二、弯曲变形的根本概念二、弯曲变形的根本概念Fx xl lx xABl l描画截面上任一点的位移描画截面上任一点的位移:1 1、形心、形心轴的的线位移位移 挠度度 v v2 2、截面、截面绕形心形心轴的角位移的角位移 转角角 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ABF二、弯曲变形的根本概念二、弯曲变形的根本概念x xl lx xl lF 变弯的形心轴 挠曲线F 挠度随坐标变化的方程 挠曲线方程F 忽略剪切变形 + 梁的转角普通很小 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-2 7-2 梁梁挠
4、曲曲线的近似微分方程的近似微分方程中性中性层曲率表示的弯曲曲率表示的弯曲变形公式形公式由高等数学知由高等数学知识 挠曲曲轴微分方程微分方程 推行到非纯弯纯弯纯弯第七章第七章 弯曲变形弯曲变形正正负号确定号确定确定坐确定坐标系系:v 向上为正向上为正, 逆时针为正逆时针为正.方程简化方程简化小变形时：小变形时：xv vxv v第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-3 7-3 用用积分法求弯曲分法求弯曲变形形F C、D为积分常数，它由位移边境与延续条件确定。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形边境条件：梁截面的知位移条件境条件：梁截面的知位移条件 延延续条件：分段条件：分段处挠曲曲轴应满足的延足的延续、光滑
5、条件、光滑条件延延续: :光滑光滑: :ACDMFB$ $ 挠曲曲线在在B B、C C点延点延续且且光滑光滑第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 可动铰:自在端：无位移自在端：无位移边境条件境条件固定端固定端: : 延延续条件：条件：边境条件：境条件：ABCDFE 例例1：写出梁的：写出梁的挠曲曲轴方程的方程的边境条件和延境条件和延续条件条件第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例2 2：知梁的抗弯刚度为：知梁的抗弯刚度为 EI EI。试求图示简支梁在均布载荷。试求图示简支梁在均布载荷q q作作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max max 和和 vmax vmax。
6、l l第七章第七章 弯曲变形弯曲变形l lx xx xy y解：解：由由边境条件：境条件：得：得：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形l lx xx xy y梁的梁的转角方程和角方程和挠曲曲线方程分方程分别为：最大最大转角和最大角和最大挠度分度分别为：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例3：知梁的抗弯刚度为：知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力。试求图示悬臂梁在集中力 P 作作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和和 vmax。x xy yABPl lx x解：解：由由边境条件：境条件：得：得：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形x xy yABPl lx x
7、梁的梁的转角方程和角方程和挠曲曲线方程分方程分别为：最大最大转角和最大角和最大挠度分度分别为：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形x xy y例例4：知梁的抗弯刚度为：知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力。试求图示简支梁在集中力 P 作用下作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和和 vmax 。ABPCx x第七章第七章 弯曲变形弯曲变形x xy y解：解：AC段段:ABPCx x由由对称条件：称条件：由由边境条件：境条件：得：得：得：得：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形x xy yABPCx xAC段梁的段梁的转角方程和角方程和挠曲曲线方程分方程分别为：最
8、大最大转角和最大角和最大挠度分度分别为：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形画挠曲线的大致外形画挠曲线的大致外形ADBC+_Q+MF 根据弯矩图定凹凸性，F 弯矩图过零点处为拐点，F 支座限定支座处的位移。凹凹凸凸凹凹直线直线大致外形大致外形第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-4 7-4 用叠加法求弯曲用叠加法求弯曲变形形一、用叠加法一、用叠加法计算梁的算梁的变形形 当梁上同当梁上同时作用几个作用几个载荷荷时，各个，各个载荷所引起的荷所引起的变形形是各自独立的，互不影响。假是各自独立的，互不影响。假设计算几个算几个载荷共同作用下荷共同作用下在某截面上引起的在某截面上引起的变形，那么可分形，那么可分别计
9、算各个算各个载荷荷单独作独作用下的用下的变形，然后叠加。形，然后叠加。 在在资料服从胡克定律、且料服从胡克定律、且变形很小的前提下形很小的前提下,载荷与它所引起的荷与它所引起的变构成构成线性关系。性关系。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形MP例例例例5 5：用叠加法求：用叠加法求：用叠加法求：用叠加法求 vC vC、A A、 B B 。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形PM第七章第七章 弯曲变形弯曲变形PM第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例6：假：假设图示梁示梁B 端的端的转角角 B=0，那么力偶矩，那么力偶矩 M 等于多少？等于多少？PMABa aCa aMABCPABC解：解：第七章第七章 弯曲变
10、形弯曲变形例例7: 7: 求求图示外伸梁示外伸梁 C C 点的点的挠度和度和转角。角。仅思索思索BCBC段段变形形( (刚化化AB,AB,可可视BCBC为悬臂梁臂梁) )ABC静定梁或静定梁或刚架的任一横架的任一横截面的截面的总位移，等于各位移，等于各梁段梁段单独独变形形 (其他梁段其他梁段刚化化)在在该截面引起的位截面引起的位移的代数和或矢量和移的代数和或矢量和ABC第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ABCABC仅思索思索ABAB段段变形形( (刚化化BC)BC)ABCqaqa2/2第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例8：知：知 E 为常数，常数，I2=2I1，求，求 WC，C。FABC第七章第七
11、章 弯曲变形弯曲变形FABC刚化化AB段：段：ABCF仅思索思索 BC BC 段段变形：形：刚化化BC段：段：F仅思索思索 AB AB 段段变形：形：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形FABCABCFF第七章第七章 弯曲变形弯曲变形FABCEFABCEFABCEFABC对称性在变形分析中的运用对称性在变形分析中的运用F/2CFB例例9：知：知 E 为常数，常数，I2=2I1，求，求 WC，B。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例10：利用：利用对称性求下面梁中点称性求下面梁中点挠度与度与转角角 反反对称称, 挠度度为0(弯矩弯矩为0, 拐点拐点)对称称, 转角角为0qACBBACq/2ACq/2第七
12、章第七章 弯曲变形弯曲变形反对称反对称, 挠度为挠度为0(弯矩为弯矩为0, 拐点拐点)ACq/2Cq/2第七章第七章 弯曲变形弯曲变形二、梁的二、梁的刚度度计算算刚度条件：度条件：v、 是构件的答是构件的答应挠度和度和转角，它角，它们决决议于构件于构件正常任正常任务时的要求。的要求。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形CL9TU40例例11：图示工字钢梁，：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚。试根据梁的刚度条件，确定梁的答应载荷度条件，确定梁的答应载荷 P，并校核强度。，并校核强度。Pz zI2
13、0aI20a第七章第七章 弯曲变形弯曲变形解：由解：由刚度条件度条件:因此因此满足足强度要求度要求第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-5 7-5 用用变形比形比较法解静不定梁法解静不定梁静不定度与多余静不定度与多余约束束多余多余多余多余约约束束束束 凡是多余凡是多余凡是多余凡是多余维维持平衡所必需的持平衡所必需的持平衡所必需的持平衡所必需的约约束束束束多余反力多余反力多余反力多余反力 与多余与多余与多余与多余约约束相束相束相束相应应的支反力或支力偶矩的支反力或支力偶矩的支反力或支力偶矩的支反力或支力偶矩静不定度静不定度静不定度静不定度 支反力力偶数有效平衡方程数支反力力偶数有效平衡方程数支反力力
14、偶数有效平衡方程数支反力力偶数有效平衡方程数静不定度多余静不定度多余约束数束数5-3=2 5-3=2 度静不定度静不定6-3 = 3 6-3 = 3 度静不定度静不定第七章第七章 弯曲变形弯曲变形相当系相当系统：受力与原静不：受力与原静不定梁一定梁一样的静定梁，相当的静定梁，相当系系统的的选择不是独一的。不是独一的。相当系相当系统1 1相当系相当系统2 2相当系相当系统qABAFBqABABMA第七章第七章 弯曲变形弯曲变形总结：分析方法与分析步：分析方法与分析步骤1 1、 判判别静不定度确定多余静不定度确定多余约束数；束数；2 2 、解除多余、解除多余约束，建立相当系束，建立相当系统；3 3
15、 、列出多余、列出多余约束束处的的变形形协调条件条件( (位移位移边境条件境条件) )； 4 4、 结合平衡方程，求多余支反力。合平衡方程，求多余支反力。解除多余解除多余约束，代之以支反力；束，代之以支反力；分析相当系分析相当系统，使多余，使多余约束点束点处满足位移足位移边境条件境条件F 静定基相当系统不独一，普通选择求解起来最简单的一种。方法：方法：方法：方法：步步步步骤骤：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形AB静定基静定基: :相当系相当系统：AB静定基与相当系统的选取：静定基与相当系统的选取：qABFBqABABMA第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例12：求：求图示梁的支反力。示梁的支反力。
16、qABFBqAB解：解：1.解除多余解除多余约束，束，2. 建立相当系建立相当系统。2. 建立建立变形形协调条件条件3. 联立求解立求解第七章第七章 弯曲变形弯曲变形qAB解解2：1.解除多余解除多余约束，束，2. 建立相当系建立相当系统。2. 建立建立变形形协调条件条件3. 联立求解立求解ABMA第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例13：为了提高悬臂梁：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁的强度和刚度，用短梁CD加固。加固。设二梁设二梁EI一样，试求：一样，试求： (1) 二梁接触处的压力；二梁接触处的压力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后
17、加固前后B点挠度的比值。点挠度的比值。a aa aA AB BC CD DP P第七章第七章 弯曲变形弯曲变形A AB BC CD DP PFDFD解：解：(1)变形形协调条件条件第七章第七章 弯曲变形弯曲变形解：解：(2) 加固前后加固前后AB梁的最大弯矩梁的最大弯矩A AB BP PP PA AB BFDFD第七章第七章 弯曲变形弯曲变形解：解：(3) 加固前后加固前后B点点挠度度A AB BP PP PA AB BFDFD第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ABAB存在装配误差的静不定问题分析存在装配误差的静不定问题分析第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例: : 直径直径为d d 的的圆截面梁截
18、面梁, ,支座支座 B B 下沉下沉 ， max=?max=?AB解：解：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-6 7-6 提高弯曲提高弯曲刚度的措施度的措施根据根据 对比强度问题对比强度问题 或或让资料料远离截面中性离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面，例如例如工字形与盒形薄壁截面与梁的合理强度设计类似点与梁的合理强度设计类似点 与 的比较合理安排合理安排约束与加束与加载方式分散方式分散载荷等荷等第七章第七章 弯曲变形弯曲变形合理安排约束与加载方式合理安排约束与加载方式l lqqFq=F/l第七章第七章 弯曲变形弯曲变形1 1强度是部分量，度是部分量，刚度是整体量度是整体量积分分. . 辅
19、梁、等梁、等强度梁是合理度梁是合理强度度设计的有效手段，提高梁的的有效手段，提高梁的刚度度须整体加整体加强 小孔小孔显著影响著影响强度，但度，但对刚度度影响甚微影响甚微与梁的合理强度设计的不同点与梁的合理强度设计的不同点第七章第七章 弯曲变形弯曲变形(2)(2)强度与资料强度与资料 和和 相关相关, ,刚度与刚度与E E 相关相关高强度钢普通不提高高强度钢普通不提高E E钢与合金钢钢与合金钢:E =200 220GPa:E =200 220GPa铝合金铝合金:E =70 72GPa:E =70 72GPa(3)(3)刚度对梁的跨度更敏感刚度对梁的跨度更敏感F第七章第七章 弯曲变形弯曲变形跨度微小改动，将导致挠度显著改动跨度微小改动，将导致挠度显著改动例如例如 l 缩短缩短 20，dmax 将减少将减少 48.8%梁跨度的合理选取梁跨度的合理选取F3max l d d第七章第七章 弯曲变形弯曲变形
