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1、2021/6/71 二项式定理二项式定理: :二项式展开的通项二项式展开的通项:温故而知新温故而知新2021/6/72题型题型1 利用利用 的二项展开式解题的二项展开式解题例例1 求求 的展开式的展开式.2021/6/73题型题型2 利用通项求符合要求的项或项的系数利用通项求符合要求的项或项的系数例例2. 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项.解解: :原式的有理项为原式的有理项为: :2021/6/74题型题型3 3 二项式定理的逆用二项式定理的逆用例例3. 3. 计算并求值计算并求值: :解解(1):(1):将原式变形将原式变形(2):将原式变形将原式变形2021/6/75逆向应用公式和
2、变形应用公式是高中数学的难点逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点, ,也也是重点是重点, ,只有熟练掌握公式的正用只有熟练掌握公式的正用, ,才能掌握逆向应用才能掌握逆向应用和变式应用和变式应用. .点评点评:2021/6/76题型题型4 4 求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项( (系数系数) )法（法（2）运用等比数列求和公式得：）运用等比数列求和公式得：的展开式中的展开式中, , 的系数等于的系数等于_. .2021/6/77例例5.5.求求 展开式中展开式中 的系数的系数. .2021/6/78求复杂的代数式的展开式中某项求复杂的代数式的展开式中某项( (某项的系
3、数某项的系数),),可以可以逐项分析求解逐项分析求解, ,常常对所给代数式进行化简常常对所给代数式进行化简, ,可以减可以减小计算量小计算量. .点评点评:2021/6/79题型题型5 5 求展开式中各项系数和求展开式中各项系数和展开式各项系数和为：展开式各项系数和为：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为为1 1. .例例6. 的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_.点评：点评：2021/6/710题型题型6 6：求奇数：求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和2021/6/711求二项展开式系
4、数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设二项式中的，设二项式中的字母为字母为1 1或或-1-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值，得到一个或几个等式，再根据结果求值. .点评点评:2021/6/712题型题型7 求乘积二项式展开式中特定的项求乘积二项式展开式中特定的项(特定特定 项的系数项的系数)例例8.8.求求 的展开式中的展开式中 项的系数项的系数. .由题意知由题意知解得解得2021/6/713对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算比较方便运算.点评点评:2021/6/714题型题型8 8 三项式转
5、化为二项式三项式转化为二项式2021/6/715括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项, ,合合并时要注意选择的科学性并时要注意选择的科学性. .也可因式分解化为乘积二也可因式分解化为乘积二项式项式. .点评：点评：2021/6/716题型题型9 9 求展开式中系数最大求展开式中系数最大( (小小) )的项的项解解: :设设 项是系数最大的项项是系数最大的项, ,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是2021/6/717例例16 16 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第解：设
6、系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为2021/6/718例例1717求求 的展开式中的展开式中数值数值最大的项最大的项解：设第解：设第 项是是数值最大的项项是是数值最大的项展开式中展开式中数值数值最大的项是最大的项是2021/6/719解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评2021/6/720题型题型10 10 整除或余数问题整除或余数问题例例1818解解: :前面各项均能被前面各项均能被100100整除整除. .
7、只有只有 不能被不能被100100整除整除余数为余数为正整数正整数注意2021/6/721(1)证明证明:9910-1能被能被1000整除整除(2)证明证明:32n+2-8n-9(nN*)能被能被64整除整除(3)9192除以除以100的余数是的余数是 (81)(92年三年三南高考南高考)(4)今天是星期日今天是星期日,再过再过290天是星期几天是星期几? (一一)(5)11100-1末尾连续零的个数是末尾连续零的个数是 个个 (3个个)2021/6/722整除性问题，余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑
8、成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前几项或后几项,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数常用技巧。余数要为正整数例题点评例题点评2021/6/723题型题型1 11 1 近似计算问题近似计算问题例例:计算计算(1)(0.997)3的近似值的近似值(精确到精确到0.001)(2)(1.009)5的近似值的近似值(精确到精确到0.001)2021/6/724例例. .某公司的股票今天的指数为某公司的股票今天的指数为2,2,以后每天的指以后每天的指 数都比上一天的指数增加数都比上一天的指数增加0.2%,0.2%,
9、则则100100天后这天后这 公司的股票股票指数为公司的股票股票指数为_(_(精确到精确到0.0010.001) )解解: :依题意有依题意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 100所以所以100100天后这家公司的股票指数约为天后这家公司的股票指数约为2.442.44点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项2021/6/725题型题型1 12 2 证明恒等式证明恒等式析析: :本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和. .因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加2021/6/726例题点评例题点评利用求和的方
10、法来证明组合数恒等式是一种利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法最常见的方法,证明等式常用下面的等式证明等式常用下面的等式2021/6/727例例2020证明证明： 证明证明通项通项所以所以题型题型1 13 3 证明不等式证明不等式2021/6/728例题点评例题点评利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式, ,将展开式将展开式进行合理放缩进行合理放缩2021/6/729巩固练习巩固练习一选择题一选择题1(041(04福建福建) )已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120, 其中实数其中实数 是常数是常数, ,则展开式中各项系数的和则展开式中各项系数的和
11、 是是( )( )C2 2 若若 展开式中含展开式中含 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于( )( )A 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系数为（ ） A0 B1 C2 D3A2021/6/730展开式中展开式中 的系数是的系数是_2 2 被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。 135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 或或二填空题二填空题4.4.设设 二项式展开式的各项系数的和为二项式展开式的各项系数的
12、和为P P； 二项式系数的和为二项式系数的和为S S，且且P+S=272P+S=272，则展开式则展开式 的常数项为的常数项为_1082021/6/731 1 1 求求 展开式中含展开式中含 一次幂的项。一次幂的项。 4545x x3 在在 的展开式中，求的展开式中，求： （1 1） 二项式系数最大的项；二项式系数最大的项； （2 2）系数绝对值最大的项；系数绝对值最大的项； （3 3）系数最大的项系数最大的项三计算题三计算题2021/6/732性质复习性质复习性质性质1 1: :在二项展开式中，与首末两端等距离的任在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等意两项的二项式系数相等. .性质性质2 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；数最大；性质性质3 3：性质性质4 4：( (a+b)a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和数的和等于偶数项的二项式系数和. .2021/6/733部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
