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1、高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系1.8 1.8 函数的连续性函数的连续性现实世界中，事物的变化呈现连续性，如气温现实世界中，事物的变化呈现连续性，如气温的变化，时间的变化，植物的生长变化，社会的变的变化，时间的变化，植物的生长变化，社会的变化化正是因为事物变化的连续性，才使自然、社会正是因为事物变化的连续性，才使自然、社会变得有序，人类得以生存和发展变得有序，人类得以生存和发展现实世界中事物的连续性，往往通过函数来表现实世界中事物的连续性，往往通过函数来表达，函数的连续性是指自变量变化很小时，因变量达，函数的连续性是指自变量变化很小时，因变量变化也很小
2、变化也很小函数连续性是高等数学最重要的概念，高等数函数连续性是高等数学最重要的概念，高等数学研究内容基本上是建立在连续函数基础上的，它学研究内容基本上是建立在连续函数基础上的，它主要研究函数的局部问题和整体问题主要研究函数的局部问题和整体问题一、函数连续的概念一、函数连续的概念定义定义1 1 设函数设函数在在点的某一个邻域上点的某一个邻域上则称函数则称函数在在点点连续连续有定义，若有定义，若函数函数在在连续用连续用语言定义，语言定义，可表述如下：可表述如下：在在点连续的点连续的，时，有时，有当当由函数由函数在在点连续的定义可知，函数点连续的定义可知，函数在在必须满足如下三个缺一不可的必须满足如
3、下三个缺一不可的点连续，点连续，基本条件基本条件:(1) 在在(2) 点有定义点有定义;(3) 现在引入变量的改变量或增量现在引入变量的改变量或增量:称为自变量称为自变量在在点的改点的改变量或增量，变量或增量，称为函数称为函数在在的的改变量或增量改变量或增量我们有如下结论：我们有如下结论：显然显然，定理定理1 在在点连续点连续函数在函数在点连续，也可定义为点连续，也可定义为若若，在在点右连续点右连续在在点左连续点左连续定理定理2 函数函数在在点连续点连续函数函数在在点左右连续点左右连续利用函数极限定义，我们得到利用函数极限定义，我们得到，易知函数易知函数，在在上任意点连续上任意点连续例例1 1
4、 证明函数证明函数在在点连续点连续证明证明即可即可，要使，要使只要只要取取则当则当时，时，对对有有例例2 讨论函数讨论函数 在在点的连续性点的连续性点是否左右连续即可点是否左右连续即可讨论其在讨论其在解解 由于由于所以所以在在点左右连续，点左右连续，在点在点故故连续连续二、函数间断点的分类二、函数间断点的分类函数的间断点即是函数的不连续点前面我们已讨论，函数的间断点即是函数的不连续点前面我们已讨论，在在点连续，必需满足下列三个缺一点连续，必需满足下列三个缺一在在点有定义点有定义;存在存在;函数函数（1）不可的条件不可的条件: :（2）（3）三个条件有一个条件三个条件有一个条件不满足，函数在不满
5、足，函数在点一定间断点一定间断 如果不考虑函数如果不考虑函数在在第一类间断点第一类间断点:是指函数是指函数在在间断，间断，点左右极限点左右极限与与第一类间断点可分为第一类间断点可分为可去间断点可去间断点与与跳跃间断点跳跃间断点是否有定义，可以是否有定义，可以将函数的间断点分为两类将函数的间断点分为两类:但在但在存在存在(1)可去间断点：可去间断点：若若，极限存在极限存在, 则称则称点是函数点是函数的的可去间断点可去间断点即即如函数如函数在点在点是可去间断点是可去间断点因为因为,所以所以,但如果将函数但如果将函数在在定义改为定义改为，连续连续函数在函数在点点可见，如果函数可见，如果函数在在点是可
6、去间断点，可通过点是可去间断点，可通过在在点的函数值，使点的函数值，使在在点连续点连续改变改变(2) 跳跃间断点：跳跃间断点：若若，则称，则称是函数是函数的的跳跃间断点跳跃间断点称为函数在称为函数在如函数如函数点点点的点的跃度跃度点是函数的跳跃间断点点是函数的跳跃间断点. . 第二类间断点第二类间断点:非第一类间断点我们称为第二类间断点，非第一类间断点我们称为第二类间断点，与与至少有一个不存在至少有一个不存在即即第二类间断点分为第二类间断点分为无穷间断点无穷间断点与与震荡间断点震荡间断点(1) 无穷间断点：无穷间断点：即即如函数如函数在在又又所以，所以，是函数是函数的无穷间断点的无穷间断点.点
7、无定义，是间断点点无定义，是间断点(2) 振荡间断点：振荡间断点：非无穷间断点的第二类间断点非无穷间断点的第二类间断点，在，在点无定义，是间断点点无定义，是间断点是第二类间断点是第二类间断点如函数如函数当当，当当时，函数时，函数值在值在-1与与+1之间变动无限多次之间变动无限多次, 就是振荡间断点就是振荡间断点 例例3 求函数求函数的间断点，并判断间断点的类型的间断点，并判断间断点的类型解解 时，时，;时，时，无定义无定义函数函数在在，点间断点间断(1)当当时时是函数是函数的第一类可去间断点的第一类可去间断点.是函数是函数第二类无穷间断点第二类无穷间断点例例3 求函数求函数的间断点，并判断间断
8、点的类型的间断点，并判断间断点的类型(2）当）当时时,点为函数点为函数的第一类可去间断点的第一类可去间断点当当取何值时，函数取何值时，函数解解 因为因为要使要使，则需要，则需要故当且仅当故当且仅当时，函数时，函数在在点连续点连续在在处连续处连续补充例题补充例题三、函数连续的性质与初等函数的连续性三、函数连续的性质与初等函数的连续性函数函数在在点连续，实际就是函数在点连续，实际就是函数在点极限存在且极限值等于点极限存在且极限值等于点的函数值点的函数值函函数数连连续续具具有有与与函函数数极极限限同同样样的的性性质质，即即局局部部有有界界性性，局局部部保保号号性性，四四则则运运算算的的封封闭闭性性，
9、复复合合函函数数连连续性续性如如,， ，在在上每一点连续，由连续函数四则运算的上每一点连续，由连续函数四则运算的在其定义域上每一点都是连续的在其定义域上每一点都是连续的封闭性，知封闭性，知对于复合函数对于复合函数,由于由于，上连续上连续在在连续，复合函数连续，复合函数在在上连续上连续,即即在在上上关于反函数的连续性我们有如下定理关于反函数的连续性我们有如下定理:定理定理1 如果函数如果函数在区间在区间且连续，那么它的反函数且连续，那么它的反函数在区间在区间（或（或）上单调递增（）上单调递增（或递减或递减）上单调递增上单调递增（或递减或递减）且连续且连续(证明略证明略)例如，由于例如，由于在闭区
10、间在闭区间且连续，所以，它的反函数且连续，所以，它的反函数在区间在区间上也单调递增且连续上也单调递增且连续上单调递增上单调递增同样函数同样函数，的反函数的反函数，在区间在区间，上连续上连续（二）初等函数的连续性（二）初等函数的连续性基本初等函数在其定义域上是连续的基本初等函数在其定义域上是连续的所有初等函数在其定义域上都是连续的所有初等函数在其定义域上都是连续的利用初等函数的连续性使求函数极限十分方便利用初等函数的连续性使求函数极限十分方便例例4 4 求求( (利用初等函数的连续性可求利用初等函数的连续性可求) )函数函数在在处有定义处有定义解解 例例5 求求函数函数可转化为在可转化为在有定义
11、的初等函数求极限有定义的初等函数求极限例例6 求求函数函数不是初等函数，但可转化为初等函数求极限不是初等函数，但可转化为初等函数求极限在在上连续，上连续，在在连续，连续，解解 一般的一般的, 对形如对形如的幂指数函数，如果的幂指数函数，如果 例例7 求求解解 例例8 求求 解解 令令 ，则，则 ，且，且 时，有时，有，故，故(本题可通过变量替换转化为例本题可通过变量替换转化为例7方法求方法求)等价无穷小量：等价无穷小量：四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质如果函数如果函数在开区间在开区间上每一点连续，在上每一点连续，在处左连续，在左端点处左连续，在左端点处右连续，处右连续，在在
12、上连续上连续上连续函数全体组成的集合记为上连续函数全体组成的集合记为右端点右端点则称则称闭区间闭区间闭闭区区间间上上连连续续函函数数具具有有重重要要性性质质，这这些些性性质质有有很很多多重重要要应应用用，由由于于这这些些性性质质的的证证明明还还需需比比较较深深入入的的数数学学知知识识，我我们们仅仅以以定理形式陈述这些性质并做一些必要的解释，不予证明定理形式陈述这些性质并做一些必要的解释，不予证明定理定理4（有界性）（有界性）若函数若函数在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则在在上有界上有界定理定理4是指是指如果在如果在上连续，则上连续，则使对使对 ， ，定理定理2 （最大值与最小值）（最大值与
13、最小值）若函数若函数在闭区间在闭区间上连续，则上连续，则在在与最小值与最小值上一定能取得最大值上一定能取得最大值定理定理2是指，如果是指，如果在在上连续，在上连续，在上至少存在一点上至少存在一点使得使得是是在在上的上的，同样在同样在上至少存在一点上至少存在一点，是是在在上的上的最小值最小值，即，即，最大值最大值，即，即；使得使得注：如果注：如果在开区间在开区间上连续，则上连续，则在开区间在开区间上不一定有界，也不一定能上不一定有界，也不一定能在开区间在开区间上连续，但在上连续，但在上无界且不存在上无界且不存在取得最大值与最小值，如函数取得最大值与最小值，如函数最大值和最小值最大值和最小值.如果
14、如果，则称，则称点为函数点为函数的的零点零点定理定理6 (零点定理零点定理) 设函数设函数在闭区间在闭区间上连续，且上连续，且，则至少存在一点，则至少存在一点，使得，使得定理6的结论从连续函数的图像即可看出几何解释几何解释:定理定理3 (零点定理零点定理) 设函数设函数在闭区间在闭区间上连续，且上连续，且，则至少存在一点，则至少存在一点，使得，使得定理定理7（介值定理）（介值定理）设函数设函数在闭区间在闭区间上连续，且上连续，且 ，则在，则在与与之间的之间的，至少在一点，至少在一点，使得，使得任意一个常数任意一个常数定理定理7的证明的证明: 设辅助函数设辅助函数，由，由在在上上,介于介于与与之
15、间可知之间可知在在上连续，上连续，使点，使点，即，即由由零点定理零点定理可知至少在一点可知至少在一点介值定理的几何意义是：连续曲线介值定理的几何意义是：连续曲线与水平直线与水平直线在在内至少有一个交点内至少有一个交点.MBCAmab例例1 证明方程证明方程在在本例实际上是证明函数本例实际上是证明函数在在上存在零点上存在零点，显然，显然在在上连续，且上连续，且 ，由零点定理知，至少由零点定理知，至少，使得，使得即即 是方程是方程的实根的实根上至少上至少有一个实根有一个实根证明证明 设设定义定义1 设函数设函数在区间在区间上有定义，如果对上有定义，如果对，对任何，对任何，当，当时，时，那么称函数，
16、那么称函数在区间在区间上一致连续上一致连续由以上定义易知，在区间上一致连续，一定有在区间上连续由于函数一致连续性刻划了函数在区间上的整体变化情况，而函数连续性只是刻划了函数的局部变化在区间上连续，不能推出在区间上一致连续 情况，因此，函数定理定理8 (一致连续性一致连续性) 若函数若函数在闭区间在闭区间上连续，则上连续，则上一致连续上一致连续在在例如例如在在上连续但在上连续但在上不一致连续上不一致连续 但如果区间是闭区间，情况就不同了，我们但如果区间是闭区间，情况就不同了，我们有如下定理：有如下定理：问题讨论问题讨论2若函数若函数在点在点处无定义，则处无定义，则点是函数点是函数的第一类间断点，
17、还是第二类间断点的第一类间断点，还是第二类间断点?5求函数极限可有哪些方法（通过全章学习思考）求函数极限可有哪些方法（通过全章学习思考）1函数函数在点在点处有定义，有极限，连续三处有定义，有极限，连续三个结论有什么区别与联系个结论有什么区别与联系，在分段点，在分段点3分段函数分段函数一定是间断点吗？一定是间断点吗？4举几个非初等函数的例子举几个非初等函数的例子本本节节给给出出了了函函数数连连续续的的定定义义，间间断断点点的的两两类类划划分分方方法法, 连连续续函函数数基基本本性性质质,初初等等函函数数在在定定义义域域上上的的连连续续性性和和闭闭区区间间连连续续函函数数的的性性质质间间断断点点的
18、的分类研究是本节的难点分类研究是本节的难点左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型在点在点连续的等价形式连续的等价形式为其为其无穷无穷间断点间断点 . .为其为其振荡振荡间断点间断点 . .为为可去可去间断点间断点 . .例如例如: :显然显然为其为其可去可去间断点间断点 . .(4)(4)(5) (5) 为其为其跳跃跳跃间断点间断点 . .1. 讨论函数讨论函数x = 2 是第二类是第二类无穷无穷间断点间断点 .间断点的类型间断点的类型.答案答案: x = 1 是第一类是第一类可去可去间断点间断点 ,2.2. 讨论函数讨论函数在在处的连续性。处的连续性。解：解：右连续但不左连续右连续但不左连续, ,故函数故函数在点在点不连续。不连续。3.3. 讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别 习题习题1 19 9 3 3（2 2）为跳跳跃间断点断点. . 解：解：间断点的类型间断点的类型.解解: : 间断点间断点为无穷间断点为无穷间断点; ;故故为跳跃间断点为跳跃间断点. . 4. 4. 确定函数确定函数
