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1、 第十讲 一笔画问题、分类数图形、错中求解1 1. .第一节 简单一笔画与一条线相连的点有与一条线相连的点有2 2. .3.归纳：n n把和一条、三条、五条等单数条线连的点叫做单数点；把和二条、四条、六条等双数条线连的点叫双数点。n n每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。4 4. .n n例题2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？5 5. .n n【分析】图（1）中有二个单数点，图（2）中有0个单数点，都能一笔画成；图（3）中有四个单数点，不能一笔画成。n n结论：一个图能不能一笔画成与它包含的单数点有关，有0个或2个单数点的图能够一笔画成，否则不能一笔画成。6 6. .n n例题3
2、 下图（图1）能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？7 7. .分析：n n通过观察发现图中所有的点都是双数点，根据前面的结论，所有的点都是双数点一定可以一笔画成。因此任何一个双数点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点。n n外圆为顺时针方向，正方形是顺时针方向，菱形是逆时针方向，中间两条线是顺时针方向。8 8. .n n例题4 下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画成？9 9. .1010. .例题例题例题例题5 5 下图是某新村小区主干道平面图，下图是某新村小区主干道平面图，下图是某新村小区主干道平面图，下图是某新村小区主干道平面图，甲乙两人分别从甲乙两人分别从甲乙两
3、人分别从甲乙两人分别从A A、B B出发，以相同的出发，以相同的出发，以相同的出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达速度走遍所有的主干道，最后到达速度走遍所有的主干道，最后到达速度走遍所有的主干道，最后到达C C，问谁能最先到达，问谁能最先到达，问谁能最先到达，问谁能最先到达C C？n n【思路导航】图中两人必须走完所有【思路导航】图中两人必须走完所有【思路导航】图中两人必须走完所有【思路导航】图中两人必须走完所有的主干道，最后到达的主干道，最后到达的主干道，最后到达的主干道，最后到达C C，而且两人必，而且两人必，而且两人必，而且两人必须以同样的速度走，很显然谁走的路须以同样的速度走，
4、很显然谁走的路须以同样的速度走，很显然谁走的路须以同样的速度走，很显然谁走的路少，谁肯定先到。通过观察可以发现，少，谁肯定先到。通过观察可以发现，少，谁肯定先到。通过观察可以发现，少，谁肯定先到。通过观察可以发现，图中有两个单数点，两个双数点，图中有两个单数点，两个双数点，图中有两个单数点，两个双数点，图中有两个单数点，两个双数点，A A、C C为单数点，这就是说甲可以从为单数点，这就是说甲可以从为单数点，这就是说甲可以从为单数点，这就是说甲可以从A A点出点出点出点出发，不重复走所有的主干道，最后到发，不重复走所有的主干道，最后到发，不重复走所有的主干道，最后到发，不重复走所有的主干道，最后
5、到达达达达C C；而；而；而；而B B点是双数点，从点是双数点，从点是双数点，从点是双数点，从B B点出发的点出发的点出发的点出发的乙不可能不重复走完所有的街道，因乙不可能不重复走完所有的街道，因乙不可能不重复走完所有的街道，因乙不可能不重复走完所有的街道，因此，甲走的路程正好等于所有主干道此，甲走的路程正好等于所有主干道此，甲走的路程正好等于所有主干道此，甲走的路程正好等于所有主干道的总和，而乙走的路程一定要比这个的总和，而乙走的路程一定要比这个的总和，而乙走的路程一定要比这个的总和，而乙走的路程一定要比这个总和多。所以甲比乙先到达总和多。所以甲比乙先到达总和多。所以甲比乙先到达总和多。所以
6、甲比乙先到达C C。C乙B（乙）A（甲）1111. .第二节 数图形1212. .分类数图形n n专题简析：n n分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。1313. .n n例例题题1 下面图形中有多少个正方形下面图形中有多少个正方形？32n n分析：图中的正方形的个数可以分分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有类数，如由一个小正方形组成的有63=18个，个，22的正方形有的正方形有52=10个，个，33的正方形有的正方形有41=4个。因此个。因此图中共有图中共有18104=32个正方形。个正方形。1414. .n n例例题
7、题2 2 下图中共有多少个三角形？下图中共有多少个三角形？1616分析分析 为了保证不漏数又不重复，我们可以分类为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。的个数相加。（1 1）图中共有）图中共有6 6个小三角形；个小三角形；（2 2）由两个小三角形组合的三角形有）由两个小三角形组合的三角形有3 3个；个；（3 3）由三个小三角形组合的三角形有）由三个小三角形组合的三角形有6 6个；个；（4 4）由六个小三角形组合的三角形有）由六个小三角形组合的三角形有1 1个。个。所以共有所以共有6 63 36 61=161=16个
8、三角形。个三角形。1515. .n n例题例题3 数出下图中所有三角形的个数出下图中所有三角形的个数。数。1616. .n分析 和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。17.n例题例题4 如下图，平面上有如下图，平面上有12个点，可任意取其个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？少个？18.（1）最小的正方形有6个；（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；（3）中间
9、还可围成2个正方形。所以共有622=10个。19.n例题例题5 数一数，下图中共有多少个三角形？分析数一数，下图中共有多少个三角形？分析 我我们可以分类来数：们可以分类来数：n1，单一的小三角形有，单一的小三角形有16个；个；n2，两个小三角形组合的有，两个小三角形组合的有10个；个；n3，四个小三角形组合的有，四个小三角形组合的有8个；个；n4，八个小三角形组合的有，八个小三角形组合的有2个。个。n所以，图中一共有所以，图中一共有161082=36个三角形。个三角形。20.找规律数图形n在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形
10、分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。21.n例例1：数一数下图中有多少个长方形？：数一数下图中有多少个长方形？22.数长方形可以用下面的公式：长边上的线段短边上的线段=长方形的个数分析与解答：图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有63=18个长方形。23.n例例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为个小方格是边长为1的正方形）的正方形）24.n经经进进一一步步分分析析可可以以发发现现，由由相
11、相同同的的nn个个小小方方格格组组成成的的几几行行几几列列的的正正方方形形其其中中所所含含的的正正方方形形总总数数为为：1122nn。 n分分析析与与解解答答：图图中中边边长长为为1个个长长度度单单位位的的正正方方形形有有33=9个个，边边长长为为2个个长长度度单单位位的的正正方方形形有有22=4个个，边边长长为为3个个长长度度单单位位的的正正方方形形有有11=1个个 。 所所 以以 图图 中中 的的 正正 方方 形形 总总 数数 为为 ：1+4+9=14个。个。25.n例例3：数一数下图中有多少个正方形？：数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为（其中每个小方格都是边长为1个长
12、度个长度单位的正方形）单位的正方形）26.规律：n经进一步分析可以发现，一般情况下，经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成如果一个长方形的长被分成m等份，等份，宽被分成宽被分成n等份（长和宽的每一份都是等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：相等的）那么正方形的总数为：mn+(m1)(n1)(m2)(n2)(mn1)nn分析与解答：边长是分析与解答：边长是1个长度单位的正方形有个长度单位的正方形有32=6个，边长是个，边长是2个长度单位的正方形有个长度单位的正方形有21=2个。所以，图中正方形的总数为：个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。个。27.n例例
13、4：从广州到北京的某次快车中途要停靠：从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？的票价？28.n分析与解答：这道题是数线段的方法在实分析与解答：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有这条铁路上共有10个站，共有个站，共有1+2+3+9=45条线段，因此要准备条线段，因此要准备45种种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的
14、车票，就不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有有多少种不同的票价，所以共有45种不同种不同的票价。的票价。29.第三节 错中求解3030. .错中求解（一）n n专题简析：n n解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。3131. .n n例题例题1 小马虎在做一道加法题时，小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的把一个加数十位的5错看成错看成2，另，另一个加数个位上的一个加数个位上的4错看成错看成1，结，结果计算的和为果计算的和为241。正确的和是。正确的和是多
15、少？多少？n n241+33=2743232. .n n例题例题2 小马虎在做一道减法时，小马虎在做一道减法时，把减数十位上的把减数十位上的2看作了看作了5，结果，结果得到的差是得到的差是342，正确的差是多，正确的差是多少？少？n n把减数十位上的把减数十位上的2看成了看成了5说明多说明多减了减了30，也就是差少了，也就是差少了30. 所以所以正确结果是正确结果是342+30=372 3333. .n n例题例题3 小马虎在计算一道题目时，小马虎在计算一道题目时，把某数乘把某数乘3加加20，误看成某数除，误看成某数除以以3减减20，得数是，得数是72。某数是多。某数是多少？正确的得数是多少？
16、少？正确的得数是多少？3434. .n n例题例题4 小马虎在做两位数乘两位小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的数的题时，把乘数的个位上的5看作看作2，乘得的结果是，乘得的结果是550，实际，实际应为应为625。这两个两位数各是多。这两个两位数各是多少？少？n n253535. .n n例题例题5 小林在计算有余数除法时，小林在计算有余数除法时，把被除数把被除数137当作当作173，结果商比，结果商比正确结果大了正确结果大了4，但余数恰好相，但余数恰好相同。正确的除法算式应是什么？同。正确的除法算式应是什么？n n1379=1523636. .错中求解 （二）n n例例1：小玲在计
17、算除法时，把除：小玲在计算除法时，把除数数65写成写成56，结果得到的商是，结果得到的商是13，还余，还余52。正确的商是多少？。正确的商是多少？n n5613+52=780n n78065=123737. .n n例例2：小芳在计算除法时，把除：小芳在计算除法时，把除数数32错写成错写成320，结果得到商是，结果得到商是48。正确的商应该是多少？。正确的商应该是多少？n n4803838. .n n例例3：小冬在计算有余数的除法：小冬在计算有余数的除法时，把被除数时，把被除数137错写成错写成173，这，这样商比原来多了样商比原来多了3，而余数正好，而余数正好相同。正确的商和余数是多少？相同。正确的商和余数是多少？3939. .n n例例4：小龙在做两位数乘两位数：小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字的题时，把一个因数的个位数字4错当作错当作1，乘得的结果是，乘得的结果是525，实际应为实际应为600。这两个两位数各。这两个两位数各是多少？是多少？4040. .n n例例5：方方和圆圆做一道乘法式：方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加题，方方误将一个因数增加14，计算的积增加了计算的积增加了84，圆圆误将另，圆圆误将另一个因数增加一个因数增加14，积增加了，积增加了168。那么，正确的积应是多少？那么，正确的积应是多少？4141. .
