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1、第三讲 函数及其图象函数及其图象一一. .知识解读知识解读 函数及其图象是中学数学的重要内容，是初中数学知识的深化与提高，是众多基础知识的综合，在新课程体系中函数的思想贯穿着整个中学数学的许多方面，函数及其图象也是展示学生知识综合能力的重要方面.函数及其图象的知识与方程、不等式、多边形、圆等知识联系紧密，是综合类题型的知识基础，因此，函数及其图象不仅是中考命题中重点考查的内容之一，也是各省市中考压轴题出现频率最高的内容之一，所以函数及其图象是我们中考数学复习的核心与重点，必须很好的掌握这一部分的内容.二二. .知识结构知识结构 函数及其图象主要包含四大部分内容，变量与函数和位置的确定及函数图象
2、、一次函数及其图象性质与应用、反比例函数及其图象性质与应用、二次函数及其图象性质与应用和三类函数的综合应用. 二二. .知识结构知识结构函 数 及 其 图 象平面直角坐标系 坐标平面内点的坐标 函 数 一次函数 一次函数的定义 平面直角坐标系的概念 特殊位置点的坐标 函数的概念 函数关系的表示方法 解析法 函数自变量的取值范围 列表法 图象法 正比例函数的定义 一次函数的图象与性质 一次函数的应用 待定系数法确定解析式 两直线的位置 二二. .知识结构知识结构函 数 及 其 图 象反比例函数 反比例函数的定义 与直线的位置关系 反比例函数的图象与性质 反比例函数的应用 二次函数 二次函数的定义
3、 待定系数法确定解析式 二次函数的图象 二次函数的性质 抛物线的特征与系数的关系 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线的特殊位置与系数关系抛物线的平移规律 对称轴 开口方向 增减性顶点坐标 待 定 系数 法 确定 函 数解 析式 顶点式一般式 两根式三三. .考点透视考点透视 1考点要求：变量与函数部分变量与函数部分： 会举出函数的实例，能分辨常量与变量、自变量与因变量（函数）；掌握函数的三种表示方法，能用适当方法的刻画某些实际问题中变量之间的函数关系；对解析式只含有一个自变量的简单的函数，会确定它们的自变量取值范围和求它们的函数值； 会画直角坐标系，并根据坐标确定点和由点求出坐标；会用描点法
4、画函数的图象；会求平面内一点关于x轴、y轴、原点的对称点； 能结合图象对简单的实际问题中的函数关系进行分析，尝试对变量的变换规律进行预测.三三. .考点透视考点透视 1考点要求：一次函数部分一次函数部分： 理解一次函数、正比例函数的概念，会画出它们的图象，能根据图象理解相关问题； 会用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式； 会解有关一次函数的应用问题； 能根据一次函数的图象求二元一次方程的近似值. 三三. .考点透视考点透视1考点要求：反比例函数部分：反比例函数部分： 理解反比例函数的定义：形如 ；会画它的图象； 明确反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别分布在两个象限，明确其增减性；
5、 理解反比例函数中 的比例系数 k 的几何意义.三三. .考点透视考点透视 1考点要求：二次函数部分二次函数部分： 对给定的二次函数，会确定其自变量取值的范围和建立简单的函数关系，用描点法画出其图象； 会求二次函数的解析式、开口方向、顶点坐标、对称轴和与坐标轴的交点； 会解有关二次函数的应用题，包括简单的最值问题，有关函数问题与一元二次方程、不等式、三角形、四边形、多边形、圆等知识结合的题目，多数成为的压轴题.三三. .考点透视考点透视2应用方法：变量与函数部分：变量与函数部分： 深入理解函数的概念，掌握求函数自变量取值范围和函数值的方法； 理解平面直角坐标系的有关定义、构成方法，以及平面内点
6、的坐标特征； 紧密联系现实生活，随时注意身边的数学. 三三. .考点透视考点透视2应用方法：一次函数部分：一次函数部分： 掌握一次函数、正比例函数的定义、图象和性质。会利用待定系数法求一次函数的解析式.三三. .考点透视考点透视2应用方法：反比例函数部分：反比例函数部分： 明确定义，能用待定系数法求解析式，画反比例函数图象的方法； 能用反比例函数的性质解决问题； 能用 确定矩形面积，解决相关问题. 三三. .考点透视考点透视2应用方法：二次函数部分：二次函数部分： 会用描点法画二次函数的图象，会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴； 会用待定系数法求函数的解析式； 会利用已有的知识构建几何图形，提
7、高综合能力来解决问题.三三. .考点透视考点透视3命题方向：变量与函数部分：变量与函数部分： 这一部分内容多以选择题、填空题的形式出现，属于低挡题，有时在综合题中也有所涉及，属于基本知识； 主要考查平面直角坐标系内点的坐标的求法及平面内点的坐标特征的问题，以填空题、选择题为主； 联系生活实际，描述预测事物的变化规律，反映函数关系是一个重要的考查内容. 三三. .考点透视考点透视3命题方向：一次函数部分：一次函数部分： 这部分节是中考考查的重要知识点，题型多样、新颖、灵活，有应用题、开放探索题、阅读题，也有图表阅读理解题.常与方程、不等式、几何等联系综合命题，且有加强的趋势.三三. .考点透视考
8、点透视3命题方向：反比例函数部分反比例函数部分： 近几年来中考题中主要考查求正、反比例函数解析式； 利用图象及性质解决问题这两方面进行考查，多以填空题、选择题的形式出现； 运用知识进行能力方面的考查略有加强，多数为中、高档试题，以解答题为主.三三. .考点透视考点透视3命题方向：二次函数部分二次函数部分： 二次函数的概念常为中档题，主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等，题型多样； 二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点，综合类题型较多； 抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面积较大，而且这些内容的综合题一般来说都较难些，在解答题中出现.
9、 四四. .例题精讲例题精讲例1 （2006年益阳）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是_ （2006年德州）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90到点B，则点B的坐标是_. 四四. .例题精讲例题精讲思路分析：由平行四边形的性质可得，AD/BC且ADBC，再由平移的性质，因为B（-3，-1），C（1，-1），所以BC4，所以把A（-2，1）水平向右平移4个单位长度，得到D的坐标是（2， 1）；根据题意得AOB90且 ， 相当于将AOC绕原点O顺时针旋转90得到BOD，如图1所示，可得点B的坐
10、标是（1，3）. 四四. .例题精讲例题精讲知识考查：在常见的几何图形中的顶点的表示方法以及直角坐标系中图形平移及旋转的点的坐标变化关系.解：（2， 1）；（1，3）.四四. .例题精讲例题精讲例2 （2006年山西）代数式 有意义时，字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 四四. .例题精讲例题精讲思路分析：使代数式有意义，要求组成代数式的各部分都要意义，所以根据题意有 ，所以 ， 故选D.知识考查：求函数自变量的取值范围及其方法步骤.解：D.四四. .例题精讲例题精讲例3（2006年重庆）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于 的二元一次方程组的
11、解是 . 四四. .例题精讲例题精讲思路分析：本题在考查利用图象法求解二元一次方程组，利用函数图象两条直线的交点坐标（4，2），即为此方程组的解.因此，方程组的解为 .知识考查：图象法解二元一次方程组和一次函数与二元一次方程的关系.解： . 四四. .例题精讲例题精讲例4（2006年浙江）已知一次函数的图象经过（2，5）和（1，1）两点.（1）在给定的坐标系中画出这个函数的图象；（2）求这个一次函数的解析式.四四. .例题精讲例题精讲思路分析：（1）一次函数的图象是一条直线，利用（2，5）和（1，1）两点坐标可画出函数的图象；（2）根据两点坐标利用待定系数法求一次函数的解析式.知识考查：一次函
12、数的解析式和图象.四四. .例题精讲例题精讲解：（1）如图所示，图象就是过（2，5）和（1，1）两点的一条直线.（2）设该一次函数解析式为y=kx+b，根据题意，有 ，解得 ，函数解析式为y=2x+1.四四. .例题精讲例题精讲例5（2006年湘西自治区）如图，直线OQ的函数解析式为y=x下表是直线a的函数关系中自变量x与函数y的部分对应值设直线a与x轴交点为B，与直线OQ交点为C，动点P(m，0)(0m3)在OB上移动，过点P作直线l与x轴垂直四四. .例题精讲例题精讲例5（2006年湘西自治区）（1）根据表所提供的信息，请在直线OQ所在的平面直角坐标系中画出直线a的图象，并说明点 (10，
13、10)不在直线a的图象上；（2）求点C的坐标；（3）设OBC中位于直线左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；（4）试问是否存在点P，使过点P且垂直于x轴的直线l平分OBC的面积，若有，求出点P坐标；若无，请说明理由. 四四. .例题精讲例题精讲思路分析：（1）根据表格的信息，利用（2，2）和（3，0）两点坐标可画出直线a的图象；根据两点坐标利用待定系数法求直线a的解析式并判断(10，10)的位置；（2）点C的坐标就是直线OQ和直线a的解析式组成的方程组的解；（3）要明确OBC中位于直线左侧部分的图形形状，然后依此和已知条件确定S与m之间的函数关系式；（4）结合图形和已知条件，存在这样
14、的点P.知识考查：一次函数的解析式和图象的综合应用，应用一次函数知识解决相关的几何问题.四四. .例题精讲例题精讲解：（1）由表中信息可知点 (2，2)，(3，0)在直线a上，描点连线得直线a的图象，如图 由待定系数法可求得直线a的解析式为 y=2x+6 点(10，10)的坐标不满足y=2x+6，所以点(10，10)不在直线a图象上；（2）解方程组，得x=y=2， 故点C的坐标为(2，2)； 四四. .例题精讲例题精讲解：（3）当 时， ； 当 时， ；（4）若有这样的P点，使直线l平分OBC的面积，很显然 .由于OBC面积等于3，故当l平分OBC面积时， ， ， 解得 ，故存在这样的P点，使
15、直线l平分OBC的面积点P的坐标为 四四. .例题精讲例题精讲例6（2006武汉）如图，已知点A是一次函数y=x图象与反比例函数 的图象在第一象限内的交点，点B 在 x 轴的负半轴上，且OA=OB，那么AOB的面积为（ ）. A. 2 B. C. D. 四四. .例题精讲例题精讲思路分析：这是反比例函数与一次函数的综合. 如图，过点A作ACx 轴于点C，可知点 A的坐标为 （ ， ），所以 ，则有OA=OB2，因此 ，故选C.知识考查：考查反比例函数和一次函数的综合应用.解：C.四四. .例题精讲例题精讲例7（2006年泉州）如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线上的一点.(1
16、)求k的值；(2)过双曲线上的点P作PBx 轴于B，连接OP，若RtOPB的两直角边的比值为 ，试求点P的坐标.(3)分别过双曲线上的两点P1、P2，作P1B1x 轴于B1，作P2B2x 轴于B2，连接OP1、OP2. 设RtOP1B1、RtOP2B2的周长分别为l1、l2，内切圆的半径分别为r1、r2，若 ，试求 的值. 四四. .例题精讲例题精讲思路分析：这是反比例函数的综合应用.对(1)的条件可直接求出 k 的值 k=48；对(2)设P(m，n)，于是有 mn =48，根据RtOPB的两直角边的比值为 ，可得 ，解得 ， 或 ， ，因此 或 ；对(3)根据内切圆与三边之间的关系列等式，从
17、而根据周长与半径的关系求出 的值.知识考查：考查反比例函数图象及性质与相关数学知识的综合应用. 四四. .例题精讲例题精讲解：(1)根据题意，得 ，所以k=48； (2) 由(1)得，双曲线的解析式为 ，设P(m，n)，则有 mn=48 ，当 时，即 ，由得 ，所以 （舍去负值），所以 ，因此 ；当 时，同理可求得 ；四四. .例题精讲例题精讲解：(3) 由(1)得，双曲线的解析式为 ，如图在RtOP1B1中，设OB1 a1，P1B1b1，OP1c1，则P1的坐标为P1（a1，b1），所以a1b148；在RtOP2B2中，设OB2 a2，P2B2b2， OP2c2，则P2的坐标为P2（a2，b
18、2），所以a2b248；由三角形面积公式可得， ， 又 ， ， ，即 ，又 ， ，即 .四四. .例题精讲例题精讲例8（2006年青海）如图，已知y=x2ax+a+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0，8)，直线CD平行于x轴，交抛物线于另一点C.动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CD运动.同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AB运动.连接PQ、CB，设点P的运动时间t秒.(0t2)(1)求a的值；(2)当t为何值时，PQ平行于y轴；(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值.四四. .例题精讲例题精讲思路分析：这是二次函数在几何问题中的综合应用.对(1)抛物
19、线与y轴交于点D(0，8)，代入y=x2ax+a+2，可得 a=6，y=x26x+8；对(2)PQ平行于y轴，P、Q的纵坐标相同，又可得C(6，8)，A(2，0)，B(4，0)， CP=2 t ，AQ= t ，P(62 t，8)、Q(2t，8)，62 t2t，得 ；对(3)由面积可得t1.5.知识考查：考查二次函数有关性质在几何问题中的综合应用 .四四. .例题精讲例题精讲解：(1)抛物线与y轴交于点D(0，8)，代入y=x2ax+a+2，可得 a=6；(2)当a=6时，抛物线的解析式为y=x26x+8，当y=8时， x26x+8=8，得x1=2，x2=6,C(6，8)，当y=0时， x26x
20、+8=0，得x1=2，x2=4，A(2，0)，B(4，0)，CP=2 t ，AQ= t ，PQ平行于y轴，P、Q的纵坐标相同，P(62 t，8)、Q(2t，8)，62 t2t，得 ；当 时，PQ平行于y轴；四四. .例题精讲例题精讲解：(2) ，4 t814，得t1.5，当t1.5时，四边形PQBC的面积等于14.四四. .例题精讲例题精讲例9（2006年河北）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨
21、售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.(1)当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”.你认为对吗？请说明理由.四四. .例题精讲例题精讲思路分析：这是二次函数的性质在实际问题中的应用.根据题意，列出二次函数的关系式，配方后，运用二次函数性质解题.知识考查：考查二次函数在实际问题中的应用. 四四. .例题精讲例题精讲解：(1)由题意得， 45（260240）7.510=60(t)；(2)根据题意得， ，化简，得 ；(3) 配方，得： ，利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定价为每吨210元； 四四. .例题精讲例题精讲解:(4)我认为，小静说的不对.理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说，当x为160元时，月销售额W最大.当x为210元时，月销售额W不是最大，小静说的不对.方法二：当月利润最大时，x为210元，此时月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元，1732518000，当月利润最大时，月销售额W不是最大，小静说的不对. 再 见！
