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1、第十一章第十一章 概率与统计概率与统计【复习目标】【复习目标】1.了解了解随机变量随机变量,离散型随机变量的离散型随机变量的意义意义,会求会求出某些简单的离散型变量的出某些简单的离散型变量的分布列分布列.2.了解了解离散型随机变量的期望、方差的离散型随机变量的期望、方差的意义意义，会会根据根据离散型随机变量的离散型随机变量的分布列求出期望和方差分布列求出期望和方差.3.会用会用简单随机抽样简单随机抽样、系统抽样系统抽样、分层抽样分层抽样方方法从总体中抽取样本法从总体中抽取样本.4.会会用样本用样本频率分布频率分布估计总体估计总体分布分布.5.了解正态分布的了解正态分布的意义意义及及主要性质主要
2、性质.*6.了解线性回归的了解线性回归的方法方法和和简单应用简单应用.1.随机变量概念随机变量概念 如果随机试验的如果随机试验的_可以用一个可以用一个_来表来表示，那么这样的变量叫做示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量. 随机变量随机变量常用希腊字母常用希腊字母 等表示等表示. (2)离散型随机变量离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按对于随机变量可能取的值，可以按_，这样的随机变量叫做，这样的随机变量叫做-. 随机变量可取随机变量可取_，这样的，这样的变量叫做变量叫做连续型随机变量连续型随机变量.(3)连续型随机变量连续型随机变量 11.1离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布
3、列2. 2. 离散型随机变量的分布列：离散型随机变量的分布列：为随机变量为随机变量 的分布列的分布列. . p (1)(1)设离散型随机变量设离散型随机变量 _ _为为 取每一个值取每一个值 xi 的的_为为 ，则称，则称(2)(2)离散型随机变量离散型随机变量 的分布列具有两个性质：的分布列具有两个性质：记作记作_，其中，其中n，p为参数，为参数，3.常见特殊的离散随机变量分布列：常见特殊的离散随机变量分布列： 在在_中，事件中，事件 A 发生的次发生的次数数是一个随机变量，其所有可能取的值为是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3,0,1,2,3,n, ,并且并且 (其中其中k=0
4、,1,2,=0,1,2,n，q=1-=1-p)(1)二项分布：二项分布：01knp于是得到于是得到的概率分布列如下：的概率分布列如下：我们称这样的随机变量我们称这样的随机变量服从二服从二项分布，分布，离散型分布列性质当然成立离散型分布列性质当然成立(2)几何分布几何分布 在在n项独立重复试验中项独立重复试验中,某事件某事件_时时所作的试验的次数所作的试验的次数.“=k” 表示在表示在_独立重独立重复试验时事件复试验时事件_,且且P(=k)=qk-1p,(其中其中p+q=1k=1,2,3,), 则称则称服从几何分布，服从几何分布，记作记作服从几何分布，并记服从几何分布，并记 1 2 3 k P
5、p qp q2p qk-1p 4.求离散型随机变量的概率分布的步骤：求离散型随机变量的概率分布的步骤：(1)找出随机变量找出随机变量的的_xi(i=1,2,3)(2)求出各取值的概率求出各取值的概率P(=xi)=Pi(3)_(1)(1)若离散型随机变量若离散型随机变量的分布列为的分布列为: : 1.期望期望 p pn n p p3 3 p p2 2 p p1 1 P P x xn n x x3 3 x x2 2 x x1 1 则称则称E=_为为的的数数学期望学期望,简称期望简称期望.(或或平均数、均值平均数、均值) (2)离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量离散型随机变量的期望反映了离散型
6、随机变量 取值的取值的_. (3)数学期望的性质：数学期望的性质： E(c)=_, E(a+b)=_ (a, b, c为常数为常数)11.2离散型随机变量的期望和方差离散型随机变量的期望和方差(1)(1)若离散型随机变量若离散型随机变量的分布列为的分布列为: : 2.期望期望 p pn n p p3 3 p p2 2 p p1 1 P P x xn n x x3 3 x x2 2 x x1 1 (2)离离散型随机变量的方差反映了散型随机变量的方差反映了取值的取值的_. (3)方方差的性质差的性质: 设设a, b为常数，则为常数，则D(a+b)=_; D(a)=_标准差标准差:标准差用来描述标准
7、差用来描述的分散程度的分散程度.称为随机变量称为随机变量的方差。的方差。 D= 3.二项分布、几何分布的期望与方差二项分布、几何分布的期望与方差 (1)若若B(n, p)，则，则E=_，D=_ (2)若若服从几何分布，则服从几何分布，则 (其中其中p+q=1)4.离散型随机变量的分布列、期望、方差之间联系离散型随机变量的分布列、期望、方差之间联系(1)计算顺序：计算顺序：_(2)概念的联系：期望和方差是从整体和全概念的联系：期望和方差是从整体和全局的层面分别描述随机变量取值的平均水平局的层面分别描述随机变量取值的平均水平和平均偏离程度和平均偏离程度,它们却离不开概率的思想它们却离不开概率的思想
8、._1.简单随机抽样简单随机抽样一一般般地地, ,设设一一个个总总体体的的个个体体数数为为N,N,如如果果通通过过_抽抽取取的的方方法法从从中中抽抽取取一一个个样样本本, ,且且_时时各各个个个个体体被被抽抽到到的的概概率率相相等等, ,就就称称这这样样的的抽抽样样为为简简单随机抽样。单随机抽样。(1) 简单随机抽样的概念简单随机抽样的概念:(2)简单随机抽样的方法：简单随机抽样的方法：_(3)用随机数表进行抽样的三个步骤：用随机数表进行抽样的三个步骤：第一步第一步:将总体中的个体将总体中的个体_；第二步第二步:_；第三步第三步:获取样本号码获取样本号码.一、随机抽样、系统抽样和分层抽样一、随
9、机抽样、系统抽样和分层抽样11.3抽样方法、总体分布的估计抽样方法、总体分布的估计2，系统抽样，系统抽样当总体中的个体数当总体中的个体数_时时,将总体将总体分成均衡分成均衡的几个的几个部分部分,然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取_,得到所需要的样本得到所需要的样本,这种抽样叫做这种抽样叫做系统抽样系统抽样.(1) 系统抽样的概念系统抽样的概念:(2)系统抽样的步骤可概括为：系统抽样的步骤可概括为：采用随机的方式将总体中的个体采用随机的方式将总体中的个体_。将整个的编号进行将整个的编号进行_。在第在第1段用段用_确定起始的个体编号确定起始的个体编号l.按
10、照事先确定的规则抽取样本。按照事先确定的规则抽取样本。通常是将通常是将l加上间隔加上间隔k，再加间隔，再加间隔k,直到取够样本。直到取够样本。3.分层抽样分层抽样当已知总体由当已知总体由_的几部分组成时的几部分组成时,为了使样为了使样本更充分地反映总体的情况本更充分地反映总体的情况,常将总体常将总体_,然后按照各部分所占的然后按照各部分所占的_进行抽样进行抽样,这种抽样叫这种抽样叫做做分层抽样分层抽样,其中所分成的各部分叫做其中所分成的各部分叫做层层4.分层抽样分层抽样与与简单随机抽样简单随机抽样,系统抽样系统抽样的联系在于：的联系在于：将总体分成几个层后进行抽样时，采用将总体分成几个层后进行
11、抽样时，采用的是简单随机抽样或系统抽样的是简单随机抽样或系统抽样(1) 分层抽样的概念分层抽样的概念:(2)分分层抽样的抽取步骤：层抽样的抽取步骤：根据总根据总体与样本容量确定体与样本容量确定_。确确定各层抽取的定各层抽取的_。各层中采用各层中采用_或或_的方法抽取。的方法抽取。类别类别共同点共同点各自特点各自特点相互关系相互关系适用范围适用范围简单随简单随机抽样机抽样系统系统抽样抽样分层分层抽样抽样5.三种抽样方法的比较三种抽样方法的比较抽样过抽样过程中每程中每个个体个个体被抽到被抽到的概率的概率相等相等从总体中从总体中逐个抽取逐个抽取将总体均分几部分，将总体均分几部分，按事先确定的规则在按
12、事先确定的规则在各部分抽取各部分抽取1个个将总体分成几层，将总体分成几层，分层进行抽取分层进行抽取在起始部分在起始部分抽样时采用抽样时采用简单抽取简单抽取各层抽样时采各层抽样时采用简单随机抽用简单随机抽样或系统抽样样或系统抽样二、利用样本频率估计总体分布二、利用样本频率估计总体分布频率分布表频率分布表: :由所取的样本的由所取的样本的_及相应的及相应的_表表示示, ,其几何表示就是相应的条形图其几何表示就是相应的条形图. .由于总体分布通常不易知道由于总体分布通常不易知道, ,我们往往是用我们往往是用_分布分布去估计去估计_._.一般地一般地,_,_越大越大, ,估计就越精确估计就越精确. .
13、数出落在各小组内的数据的个数，即频数，数出落在各小组内的数据的个数，即频数，每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率，每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率，算出各小组的频率，填入表中，这个表叫做频率分布表算出各小组的频率，填入表中，这个表叫做频率分布表. .(2)求一组数据的频率分布求一组数据的频率分布,分三步进行：分三步进行：(1)频率分布条形图：频率分布条形图：适用适用：当总体中的个体取不同数值很少时当总体中的个体取不同数值很少时.结果结果 正面向上正面向上0反面向上反面向上1频数频数 3612435964频率频率 0.50110.4989图1-1频率分布表或频率分布条形图
14、频率分布表或频率分布条形图抽取的容量为抽取的容量为72088频率分布条形图频率分布条形图XX条形图条形图横轴表示事件横轴表示事件DABC阴影面积没有意义阴影面积没有意义纵轴表示事件的某项纵轴表示事件的某项(xx)水平水平为了将频率分布表中的结果直观形象地表示出来，常画为了将频率分布表中的结果直观形象地表示出来，常画出频率分布直方图，画图时，应以出频率分布直方图，画图时，应以横轴表示横轴表示_，纵轴纵轴表示表示_的比值的比值，以每个组距为以每个组距为_，以各频率除以各频率除以组距的商为以组距的商为_分别画成矩形分别画成矩形，这样得到的直方图就是，这样得到的直方图就是频率分布直方图频率分布直方图.
15、图中每矩形的面积等于相应组的频率图中每矩形的面积等于相应组的频率,即即 组距组距=频率频率，各组频率的和等于，各组频率的和等于_，因此，各小矩，因此，各小矩形的面积的和等于形的面积的和等于1.(3)频率分布直方图：频率分布直方图：46横轴表示横轴表示_变量变量阴影面积表示阴影面积表示_纵轴表示纵轴表示_直方图直方图例：已知例：已知100件零件的尺寸统计如下：件零件的尺寸统计如下：画频率分布直方图的步骤：画频率分布直方图的步骤：2.计算最大值与最小值的差计算最大值与最小值的差:25.56-25.24=0.32 (极差极差) 3.决定组距与组数决定组距与组数:4.列出频率分布表列出频率分布表5.画
16、出频率分布图画出频率分布图P27当数据在当数据在100个以内时，按数据多少常分个以内时，按数据多少常分5-12组。组。分分 11个组，个组，1,决定数据的分点决定数据的分点使分点比数据多使分点比数据多1位小数位小数,并且把第一组的起点稍并且把第一组的起点稍微减少一点微减少一点 (通常是取半通常是取半) ,后面新分点加组距得后面新分点加组距得到到.46以以25.355，25.385）为例）为例从实际意义看；从实际意义看；长长宽宽 = =面积面积对一组数据进行整理对一组数据进行整理,可以得到它的频率分布可以得到它的频率分布,如果这组数据是从一个总体中抽取的一个样本如果这组数据是从一个总体中抽取的一
17、个样本,那么这个频率分布又称为那么这个频率分布又称为_.通常可通常可以根据以根据样本的频率分布估计总体分布样本的频率分布估计总体分布,当样本容当样本容量无限增大量无限增大,频率分布直方图就会趋近于一条光频率分布直方图就会趋近于一条光滑曲线滑曲线,即总体分布的概率密度曲线即总体分布的概率密度曲线.(4)用样本频率分布估计总体分布用样本频率分布估计总体分布图图12表明表明:总体越大总体越大设想样本容量无限增大，分组组距无限缩小，设想样本容量无限增大，分组组距无限缩小，则直方图无限接近一条光滑曲线则直方图无限接近一条光滑曲线-总体密度曲线总体密度曲线频率越接近概率频率越接近概率需要样本容量越大需要样
18、本容量越大分组越多分组越多46总体密度曲线：反映了各个范围内取值的概率；面积总体密度曲线：反映了各个范围内取值的概率；面积=1离散型通过分布列反映总体；离散型通过分布列反映总体；连续型通过密度曲线反映总体；连续型通过密度曲线反映总体；样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于各组取值的概率设想样本容量无限越接近于各组取值的概率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线这条曲线叫做叫做总体密度曲线总体密度曲线 离散型随机变量的概
19、率分布是通过离散型随机变量的概率分布是通过_反映的。反映的。连续型随机变量的概率分布是通过连续型随机变量的概率分布是通过_反映的。反映的。总体密度曲线总体密度曲线Oxy频率频率组距组距11.4正态分布正态分布中间高，两头低，中间高，两头低，左右对称左右对称 总体密度曲线一般可用下面函数近似表示：总体密度曲线一般可用下面函数近似表示：这是生活中许多随机现象都服从这是生活中许多随机现象都服从或近似服从的分布或近似服从的分布-正态分正态分布布式中的式中的实数数 、 ( 0)是参数，分是参数，分别表示表示总体体平均数平均数与与标准差准差，其中其中是圆周率；是圆周率；e2.71828是自然对数的底；是自
20、然对数的底；x是随机变量的取值；是随机变量的取值； 正态分布由参数正态分布由参数 、 唯一确定，正唯一确定，正态分布常记作态分布常记作N( 、 2)。函数函数f(x)称为称为正态函数正态函数，f(x)的图象称为的图象称为正态曲线正态曲线 这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布正态分布。(2) =0, =1时时(3) =1, =2时时(1) =- -1, =0.5时时例例1:根据给出的均值根据给出的均值 和标准差和标准差写出正态总体写出正态总体的函数表达式。的函数表达式。(1) =- -1, =0.5时时(2) =0, =1时时(3) =1,
21、 =2时时(1)曲线在曲线在x轴的轴的上方上方，与，与x轴轴不相交不相交(2)曲线关于直线曲线关于直线x= 对称对称(3)当当x= 时，曲线位于时，曲线位于最高点最高点(4)当当x 时，曲线下降时，曲线下降(减减函数函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以以x轴为轴为渐近线。渐近线。(5) 一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由 确定确定 越大越大，曲线越，曲线越“矮胖矮胖”，总体分布，总体分布越分散越分散； 越小越小，曲线越，曲线越“瘦高瘦高”，总体分布，总体分布越集中。越集中。 正态曲线的性质：正态曲线的性质：其相其相应的曲的曲线称称为标准正准正态曲曲
22、线。 标准正态曲线标准正态曲线: 当当 =0=0、 =l=l时，正态总体称为时，正态总体称为标准正态总体标准正态总体，其相应的函数表示式是：，其相应的函数表示式是：小结：小结：标准正态总体标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占在正态总体的研究中占有重要的地位有重要的地位.任何正态分布的概率问题任何正态分布的概率问题均可均可转化成标准正态分布转化成标准正态分布的概率问题。的概率问题。 专门制作了专门制作了“标准正态分布表标准正态分布表” P65。例：在标准正态总体例：在标准正态总体N(0N(0，1)1)中中, , (x0)指总体取指总体取值小于值小于x0的概率，即的概率，即0.9788怎样
23、查表？怎样查表？由于标准正态曲线关于由于标准正态曲线关于y轴对称，轴对称，(3) 任意区间任意区间(x1,x2)内取值的概率内取值的概率？ 怎样查表？怎样查表？练习：练习：P37练习题练习题11,利用正态分布表，求利用正态分布表，求标准正态总体标准正态总体在下面区在下面区间的概率。间的概率。一般的正态总体一般的正态总体N(, ,2 2)均可以化成标准正态均可以化成标准正态总体总体N(0,1)来进行研究来进行研究.例：对于正态总体例：对于正态总体N(1,4)，取小于，取小于3的概率的概率?练习：练习：P37练习题练习题22.利用标准正态分布表，求正态总体利用标准正态分布表，求正态总体N(2,22
24、)在下面区间的概率在下面区间的概率例例3. 若若xN(0,1),求求(1)P( 2.32x1.2)(2)P(x 2).例例4. 服从正态分布服从正态分布N(1,4)，试求，试求 P(2 0)是参数，分是参数，分别表示表示总体体平均数平均数与与标准差准差，其中其中是圆周率；是圆周率；e2.71828是自然对数的底；是自然对数的底；x是随机变量的取值；是随机变量的取值； 正态分布由参数正态分布由参数 、 唯一确定，正唯一确定，正态分布常记作态分布常记作N( 、 2)。函数函数f(x)称为称为正态函数正态函数，f(x)的图象称为的图象称为正态曲线正态曲线 这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做这
25、个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布正态分布。(2) =0, =1时时(3) =1, =2时时(1) =- -1, =0.5时时例例1:根据给出的均值根据给出的均值 和标准差和标准差写出正态总体写出正态总体的函数表达式。的函数表达式。(1) =- -1, =0.5时时(2) =0, =1时时(3) =1, =2时时(1)曲线在曲线在x轴的轴的上方上方，与，与x轴轴不相交不相交(2)曲线关于直线曲线关于直线x= 对称对称(3)当当x= 时，曲线位于时，曲线位于最高点最高点(4)当当x 时，曲线下降时，曲线下降(减减函数函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，并且当曲线向左、右两边无限
26、延伸时，以以x轴为轴为渐近线。渐近线。(5) 一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由 确定确定 越大越大，曲线越，曲线越“矮胖矮胖”，总体分布，总体分布越分散越分散； 越小越小，曲线越，曲线越“瘦高瘦高”，总体分布，总体分布越集中。越集中。 正态曲线的性质：正态曲线的性质：其相其相应的曲的曲线称称为标准正准正态曲曲线。 标准正态曲线标准正态曲线: 当当 =0=0、 =l=l时，正态总体称为时，正态总体称为标准正态总体标准正态总体，其相应的函数表示式是：，其相应的函数表示式是：小结：小结：标准正态总体标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占在正态总体的研究中占有重要的地位有重要的地位.任何
27、正态分布的概率问题任何正态分布的概率问题均可均可转化成标准正态分布转化成标准正态分布的概率问题。的概率问题。 专门制作了专门制作了“标准正态分布表标准正态分布表” P65。例：在标准正态总体例：在标准正态总体N(0N(0，1)1)中中, , (x0)指总体取指总体取值小于值小于x0的概率，即的概率，即0.9788怎样查表？怎样查表？由于标准正态曲线关于由于标准正态曲线关于y轴对称，轴对称，(3) 任意区间任意区间(x1,x2)内取值的概率内取值的概率？ 0.0080=0.8185怎样查表？怎样查表？练习：练习：P37练习题练习题11,利用正态分布表，求利用正态分布表，求标准正态总体标准正态总体
28、在下面区在下面区间的概率。间的概率。一般的正态总体一般的正态总体N(, ,2 2)均可以化成标准正态均可以化成标准正态总体总体N(0,1)来进行研究来进行研究.例：对于正态总体例：对于正态总体N(1,4)，取小于，取小于3的概率的概率?练习：练习：P37练习题练习题22.利用标准正态分布表，求正态总体利用标准正态分布表，求正态总体N(2,22)在下面区间的概率在下面区间的概率=l 0.9772=0.0228.例例3. 若若xN(0,1),求求(1)P( 2.32x1.2)(2)P(x 2).解：解：(1)P( 2.32x1.2)= (1.2) ( 2.32)= (1.2) 1 (2.32)=0.8849 (1 0.9898)=0.8747(2)P(x 2)=1 P(x2)=1(2)例例4. 服从正态分布服从正态分布N(1,4)，试求，试求 P(2 5)=0.9772 0.6915=0.2857= (2)(0.5)巩固练习巩固练习
