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1、第一章 插值方法插值方法的意义插值方法的应用对于早期的插值问题来说，对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已通常是已知函数，比如对数函数，指数函数，三角知函数，比如对数函数，指数函数，三角函数等，并且已经有了这些函数值列表，函数等，并且已经有了这些函数值列表，插值法可以用来计算那些不在表中的点处插值法可以用来计算那些不在表中的点处的的函数值。对于这一类问题来说，现在已函数值。对于这一类问题来说，现在已经不需要用插值方法来计算。经不需要用插值方法来计算。插值方法的应用对于现在的许多实际问题来说，我们并不对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可的具体形式，所
2、对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，出来的，f(x)只是一个数学概念意义下的只是一个数学概念意义下的函数。函数。（比如：图像的方法处理，天气预报，机（比如：图像的方法处理，天气预报，机床加工等方面）床加工等方面）泰勒插值条件：泰勒插值余项定定理理 1 假假设设 f（x）在在含含有有点点 x0的的区区间间a，b内内有有直直到到 n +1阶阶导导数数，则则当当 xa，b时时，对对于于由由式式（1）给给出的出的 pn（x），成立），成立式中式中 界于界于 x0与与 x之间，因而之间，因而 a，b.拉格朗日插值问题2 求作 n 次多项式 pn（
3、x），使满足条件pn（xi）= yi，i = 0，1，n （2） 这就是所谓拉格朗日（ Lagrange）插值. 线性插值(x0 ,y0)(x1 ,y1)P1(x)f(x)x0x1可见可见 P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 两点的直线。两点的直线。抛物线插值x0x1x2p2(x) f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。 插值问题的可解性设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为 可建立可建立关于系数关于系数 a0，a1，an的线性方程组的线性方程组 待定系数法待定系数法插值问题的可解性克莱姆
4、法则克莱姆法则范德蒙行列式范德蒙行列式多项式插值定理定理定理 (唯一性唯一性) 满足满足 的的 n 阶插值阶插值多项式是唯一存在的。多项式是唯一存在的。运用基函数法求拉格朗日问题基函数的一般形式基函数的一般形式要使得要使得则要求则要求依此类推要满足初始条件，所有基函数必须满足下列条件。依此类推要满足初始条件，所有基函数必须满足下列条件。基函数表构造基函数由已知条件，假设由已知条件，假设又因为又因为则则基函数的一般形式即即基函数插值的一般表达式插值余项在在a , b内存在内存在, 考察截断误差考察截断误差设节点设节点，且，且 f 满足条件满足条件 , 存在存在 使得使得 。且且推广：推广：若若使
5、得使得使得使得罗尔定理罗尔定理 : 若若 在在 连续，在连续，在 充分光滑，充分光滑，如何推导插值余项插值余项插值误差举例插值误差举例拉格朗日插值的几点问题 问题：问题：对于相同的插值公式，内插与外推哪一个的精度高。对于相同的插值公式，内插与外推哪一个的精度高。插值点越多得到插值公式的精度越高？插值点越多得到插值公式的精度越高？拉格朗日插值对于不同的初始函数，在相同点上的插拉格朗日插值对于不同的初始函数，在相同点上的插值公式也不同。值公式也不同。多项式插值是唯一的插值方式？多项式插值是唯一的插值方式？基函数的形式只和插值点的基函数的形式只和插值点的x坐标相关，和坐标相关，和y值无关。值无关。由
6、由n个点插值得到的基函数的次数必定是个点插值得到的基函数的次数必定是n-1次的多项次的多项式式特殊情况误差的事后估计基本假设与依据是基本假设与依据是假设假设 f（x）在）在a，b内改变不大内改变不大 事后估计法事后估计法埃特金算法的迭代原理埃特金算法1.5 牛顿插值公式提出的原因：提出的原因：1 拉格朗日插值每增加一个新点都要重新计拉格朗日插值每增加一个新点都要重新计算插值公式。算插值公式。2 埃特金算法虽具有承袭性，但算法是递推埃特金算法虽具有承袭性，但算法是递推型的，不便于进行理论上的分析型的，不便于进行理论上的分析3 牛顿公式具有承袭性并且理论推导严密牛顿公式具有承袭性并且理论推导严密插
7、商（均差）及其性质1差商（均差）的定义差商（均差）的定义定义定义1：设有函数设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等以及自变量的一系列互不相等的的x0, x1, xn （即在即在i j时时，x i xj）的值的值 f(xi) , 称称为为f (x)在点在点xi , xi处的处的一阶差商一阶差商，并记作并记作f xi , xj， 插商及其性质又称又称为为f (x)在点在点xi, xj, xk处的处的二阶差商二阶差商 插商及其性质称称 为为f (x)在点在点x0, x1, xn处的处的n阶差商阶差商。插商及其性质f (x0)f (x1)f (x2)f (xn 1)f (xn)f x0, x1f
8、 x1, x2 f xn 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xn xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1xi yi 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 n 阶差商阶差商 由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。x0x1x2xn-1xn插商（均差）的性质插商（均差）的性质插商（均差）的性质插商（均差）的性质插商（均差）的性质例题1已知插商形式的插值公式插商形式的插值公式插商形式的插值公式插商形式
9、的插值公式牛顿插值公式牛顿插值公式牛顿插值公式例题2例题3例题3例题3拉格朗日插值与牛顿插值的比较差分形式的插值公式向前差分向前差分 iiifff = = + +1ikikikikffff1111)( + + = = = = 向后差分向后差分 111 = = ikikikfffi 1iifff = = 中心差分中心差分 其中其中当节点当节点等距等距分布时分布时:差分的重要性质性质性质3：若：若 f (x)是是 m 次多项式，则次多项式，则 是是性质性质1：常数的差分等于零常数的差分等于零性质性质2：差分算子为线性算子差分算子为线性算子次多项式，且次多项式，且 性质性质4： 这个性质类比于这个性质类比于 差分的性质性质性质5： （类比于分部积分法则类比于分部积分法则 ）性质性质6：当节点当节点xk是等距时是等距时，差分差商存在着关系：差分差商存在着关系：
