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1、西南财经大学西南财经大学经济数学学院经济数学学院孙疆明孙疆明高等数学高等数学精金财第二讲第二讲 极限极限数列的极限数列的极限函数极限函数极限极限的性质极限的性质函数极限的存在性函数极限的存在性四则运算定理四则运算定理复合函数的极限定理复合函数的极限定理极限举例极限举例无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量示例示例极限存在准则极限存在准则引例引例人口问题人口问题. .人口是一项重要经济指标人口决定着劳动人口是一项重要经济指标人口决定着劳动力，加速资源消耗，增加消费促进生产力，加速资源消耗，增加消费促进生产如果人口以固定增长率如果人口以固定增长率 k 增长，人口会如何？增长，人口会如何？k每单位人口
2、在单位时间内可以增长的人数每单位人口在单位时间内可以增长的人数.银行连续复利计算问题银行连续复利计算问题. .问问 题题企业计算资产增值都要考虑与银行利率企业计算资产增值都要考虑与银行利率相相比较比较. 连续复利计算就是任何时刻都以同连续复利计算就是任何时刻都以同样的利率样的利率 r 计算下一时刻的资产总值计算下一时刻的资产总值Y(t).r一元钱每单位时间产生利息额；设一元钱每单位时间产生利息额；设 r 以年以年为时间单位为时间单位(注意：并非一年后利息为注意：并非一年后利息为 r).要连续计算复利，就要要连续计算复利，就要m不断增大不断增大. 高等数学研究函数的一个重要情形，就是要高等数学研
3、究函数的一个重要情形，就是要考察函数在自变量一个无限变化过程下的结果考察函数在自变量一个无限变化过程下的结果. 函数在自变量一个无限变化过程中，函数在自变量一个无限变化过程中，什么叫无限趋什么叫无限趋向一个常数向一个常数 如果函如果函数值可以无限地趋向一个常数，就叫作函数在这数值可以无限地趋向一个常数，就叫作函数在这个过程中有极限；个过程中有极限； 如果不能趋向一个常数，就叫如果不能趋向一个常数，就叫作在这个过程中无极限作在这个过程中无极限(或极限不存在或极限不存在).首先首先,与常数与常数a越来越近越来越近,不是无限趋近不是无限趋近a.其次其次,与常数与常数a一会近，一会远仍可无限趋向一会近
4、，一会远仍可无限趋向a. 无限无限(趋向趋向)只能用有限来说明只能用有限来说明.1数列的极限数列的极限(一一) 数列数列1. 数列就是整标函数（定义域为自然数集）数列就是整标函数（定义域为自然数集）2. 子数列子数列例如例如数列极限的概念数列极限的概念或或1. 定义：定义： 注意注意11 注意注意2 2 注意注意3 3 数列极限定义是描述性的定义数列极限定义是描述性的定义. . 只能用于验证某数是不是其极限只能用于验证某数是不是其极限, ,不能不能用于求极限用于求极限. . 注意注意4 4 极限是一个数极限是一个数极限是什麽？极限是什麽？ 注意注意5 5 数列极限的几何意义数列极限的几何意义或
5、或例例1 （2）用定义证明）用定义证明（1）猜加试算）猜加试算（3）关键在解不等式）关键在解不等式1 12 23 34 45 56 67 78 89 9-1-10.20.20.60.60.7650.7650.8460.8460.8920.8920.920.920.9380.9380.9510.951证毕证毕怎样克服这个困难？怎样克服这个困难？技巧就在是不是要真的解这个不等式呢？技巧就在是不是要真的解这个不等式呢？适当放大适当放大更严格地说更严格地说例例2 （2）用定义证明）用定义证明（1）算算看）算算看适当放大适当放大n1 110101001001000100010000100001 11.2
6、591.2591.0471.0471.0071.0071.0011.001证毕证毕例例3 设设是给定的实数是给定的实数, 用定义证明用定义证明证明证明证毕证毕例例4 用定义证明用定义证明证明证明注意到注意到对于任意给定的对于任意给定的要使要使只须使只须使或或故取故取则有则有,对于任意给定的对于任意给定的存在自然数存在自然数只要只要就有就有证证毕毕注意注意函数的极限函数的极限自变量实数，无限变化方式复杂：自变量实数，无限变化方式复杂：实数变量除趋向无穷大无限变化外实数变量除趋向无穷大无限变化外,还可以趋向还可以趋向有限数有限数x0 无限变化无限变化(这是因为稠密这是因为稠密).称趋向称趋向x0
7、.函数在无穷远的极限函数在无穷远的极限定义定义1:定义定义2定义定义3定义定义1：函数在一点的极限函数在一点的极限注意注意为什麽要考虑空心邻域？为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。例例定义定义2： （右极限）（右极限）怎样定义单侧极限？怎样定义单侧极限？定义定义3：（左极限）（左极限）观察图形观察图形因为因为所以所以定理定理函数极限几何意义函数极限几何意义( )(
8、) 按极限定义，要说明数按极限定义，要说明数A是函数某个过程的是函数某个过程的极限，就必须说明对任意给定的正数极限，就必须说明对任意给定的正数，存在变，存在变化过程中的一个化过程中的一个“时刻时刻” (通常与通常与有关有关)，在此，在此时刻后，有任意自变量对应的函数值与常数时刻后，有任意自变量对应的函数值与常数A的的距离都小于正数距离都小于正数.例例观察知观察知证证证毕证毕例例 用定义证明用定义证明证明证明不妨设不妨设证毕证毕例例 用定义证明用定义证明证证:极限的性质极限的性质性质性质1:（唯一性）（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的函数极限如果存在，则一定是唯一的.性质性质2:（有界性
9、）（有界性）函数极限如果存在，则函数一定有界函数极限如果存在，则函数一定有界 (局部局部).性质性质3:（保号性）（保号性）注意注意:f(x)0推不出极限推不出极限A0.性质性质4: （函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系）证明证明 必要性必要性根据假设根据假设证毕证毕观察图形观察图形显然显然从而从而证明证明证毕证毕性质性质5无穷小的性质无穷小的性质性质性质1性质性质2四则运算定理四则运算定理证证:复合函数的极限定理复合函数的极限定理要证什麽？要证什麽？注注看证明，从理论上，非此不行！看证明，从理论上，非此不行！看例子：看例子：例例极限计算极限计算解解例例解解解解例例(2) 遇
10、到遇到开方可以有理化分离趋向开方可以有理化分离趋向0因子因子.解解例例解解例例解解例例两个极限的存在定理两个极限的存在定理(准则准则)1.1.夹逼定理夹逼定理: :证证：应用极限定义：应用极限定义. .第一个重要极限第一个重要极限考虑能否找到考虑能否找到一个不等式？一个不等式？即由（1）式知将（1）式与（2）式结合起来，得到亦即所以2.2.单调有界定理单调有界定理: :证证 只证在只证在(a , x0上单调增加有上界情形上单调增加有上界情形. 证毕证毕证法证法2证法证法1证法证法3猜想：猜想：an单调增加单调增加再证有上界再证有上界.e 这个数是定义出来！这个数是定义出来！当当n=100000
11、时，由时，由an计算计算 e 的近似值为：的近似值为：2.718268237e综上所述，我们得到综上所述，我们得到例：银行连续复利计算问题例：银行连续复利计算问题. .企业计算资产增值都要考虑与银行利率企业计算资产增值都要考虑与银行利率相比较相比较. 连续复连续复利计算就是任何时刻都以同样的利率利计算就是任何时刻都以同样的利率 r 计算下一时刻的计算下一时刻的资产总值资产总值Y(t).r一元钱每单位时间产生利息额；设一元钱每单位时间产生利息额；设 r 以年为时间以年为时间单位单位(注意：并非一年后利息为注意：并非一年后利息为 r).定义定义1 1：在某个变化过程中：在某个变化过程中, ,极限为
12、零的极限为零的 变量变量, ,称之为在此变化过程中的称之为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）。无穷小量、无穷大量及其无穷小量、无穷大量及其“阶阶”（一）定义（一）定义例如：例如：注： 无穷小量是极限 为零的变量！ 即，绝对值无限变小 的变量。无穷小量无穷小量不是不是 绝对值很小的数！绝对值很小的数！定义定义2 2：在某个变化过程中：在某个变化过程中, ,绝对值无限变绝对值无限变 大的变量大的变量, ,称之为在此变化过程中称之为在此变化过程中 的的无穷大量（无穷大）无穷大量（无穷大）, ,记为记为。例例无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理定理11110.0010.0010.0000010.10.0000010.0000010.0000000000010.0110- -910-9-910-18-1810-3-3无穷小量的比较无穷小量的比较(无穷小量的阶无穷小量的阶)定义：定义：等价无穷小量的性质性质性质1：性质性质2：等价代换等价代换几个常用的等价无穷小量例例解解解解解解例例 解解 例例7所以证明证明只须证明什麽？只须证明什麽？利用牛顿二项式定理利用牛顿二项式定理, 有有返回根据单调有界数列定理知根据单调有界数列定理知返回根据证明过程可知根据证明过程可知返回星期二3-4节教室F204补课证证（3）要证什麽？要证什麽？从而有从而有
