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1、物理竞赛辅导物理竞赛辅导 力力 学学 () 参参 考考 资资 料料1.教材教材2.大学物理学大学物理学 (5册册) 张三慧主编张三慧主编 清华大学出版社清华大学出版社3. 历年考题历年考题参赛组参赛组: 非物理类非物理类A 组组补补 充充 知知 识识 质质 心心质心质心 ( Center of Mass)对于对于N个粒子组成的系统，定义系个粒子组成的系统，定义系统的质量中心，其位矢统的质量中心，其位矢一、质心的位置一、质心的位置xyzmiOC对连续分布的物体，质心的位矢为对连续分布的物体，质心的位矢为xyzmiO二、质心系二、质心系质心在其中静止的平动参照系。质心在其中静止的平动参照系。Cyx
2、OzyxxyzmiCOOz质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量守恒定律适用，而且，守恒定律适用，而且，总动量总动量 为零为零。质心系中质点质心系中质点 mi 的速度的速度:（零动量参照系）（零动量参照系）质心系中质心系中三、质心运动定律三、质心运动定律质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。质点系的动量为质点系的动量为对于质点系：对于质点系：质心运动定理质心运动定理补补 充充 知知 识识 角角 动动 量量质点系的质点系的角动量守恒定律角动量守恒定律内力矩内力矩合合外力矩为零外力矩为零，质点系总角动量守恒
3、。，质点系总角动量守恒。i jo为零为零合外力矩合外力矩零零零零zyxxyzmiCOOzyxxyzmiCOO质心系中：质心系中：yxxyzmiCOOz例：（例：（ 18th, 9分分 ）均匀细杆）均匀细杆AOB 的的A 端、端、B 端和中央位置端和中央位置O处各有处各有1个光滑的小孔。先让杆在光滑的水平大桌面上绕个光滑的小孔。先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔孔以角速度以角速度 w w0 作顺时针方向旋转，如图（图平面为大桌面）。作顺时针方向旋转，如图（图平面为大桌面）。今将一光滑的细杆迅速插入今将一光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平孔，棍在插入前后无任何水平方向的移动，稳定
4、后，在迅速拔方向的移动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入如前所述插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时，棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入将另一光滑细棍如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细孔。试求：最终稳定后，细杆杆AOB 绕绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。孔旋转方向和旋转角速度的大小。 解：解：AOB m , l 插入插入A孔前后孔前后AOB m , l 插入插入 B 孔前后孔前后w wB反向转了反向转了 再次插入再次插入O孔前后孔前后AOB m , l逆时针转逆时针转最终稳定后，细杆最终稳定后
5、，细杆AOB 绕绕O 孔旋转角速度的大小孔旋转角速度的大小角速度的方向：垂直纸面向外。角速度的方向：垂直纸面向外。例（例（25届届17题，题，10分）半径同为分）半径同为R，质量分别为，质量分别为m1=m 和和m2=3m/2 的两个匀质圆盘，边缘部分分别用长为的两个匀质圆盘，边缘部分分别用长为R和和 2R 的轻杆固定地连接的轻杆固定地连接后，挂在高度差为后，挂在高度差为R的两块天花板下，可以无摩擦地左右摆动。的两块天花板下，可以无摩擦地左右摆动。开始时两个摆静止在图示位置，质量为开始时两个摆静止在图示位置，质量为m1的摆盘自由释放后，将的摆盘自由释放后，将以角速度以角速度w w0 与质量为与质
6、量为m2 的静止摆盘发生弹性碰撞。试求碰撞后的静止摆盘发生弹性碰撞。试求碰撞后瞬间，两个摆盘的右向摆动的角速度瞬间，两个摆盘的右向摆动的角速度w w1和和w w2 （均带正负号）。（均带正负号）。m2NNN1RRR2Rm1m2RO1O2 w0 RRR2Rm1RO1O2 w1 w2 利用角动量方程，对于摆利用角动量方程，对于摆1 相对于相对于O1 点点(以垂直屏幕向外为正以垂直屏幕向外为正) NDt 2R = I1 w1 I1 w0NDt 3R = I2 w2对于弹性碰撞有，对于弹性碰撞有，NNN1RRR2Rm1RO1O2 w1 w2 w0 摆摆2 相对于相对于O2 点点(以垂直屏幕向外为正以垂
7、直屏幕向外为正)解解1 ： NDt =整理方程组得到整理方程组得到化简方程化简方程对于对于m1， 利用动量定理。以向右为正利用动量定理。以向右为正N1Dt NDt=mw12R mw02R =2mR(w1 w0)利用角动量方程，对于利用角动量方程，对于O2 点点(以垂直屏幕向外为正以垂直屏幕向外为正)摆摆1：N1Dt R NDt 3R = (IC1 w1+3R mw12R) (IC1 w0+3R mw02R) 摆摆2：NDt 3R = I2 w2对于弹性碰撞有，对于弹性碰撞有，NNN1RRR2Rm1RO1O2 w1 w2 w0 解解2 ：N1Dt NDt=2mR(w1 w0)N1Dt 3NDt
8、=整理方程组得到整理方程组得到化简方程化简方程例：例：（25th, 13分分）长为）长为 L 的均匀软绳静止对称地挂在光滑固定的均匀软绳静止对称地挂在光滑固定的细钉上，的细钉上， 如图如图1所示。后因扰动，所示。后因扰动， 软绳朝右侧滑下，某时刻软绳朝右侧滑下，某时刻左侧绳段长度记为左侧绳段长度记为 x， 如图如图2所示。所示。（1） x (xL/2) 达何值时，细钉为软绳提供的向上的支持力达何值时，细钉为软绳提供的向上的支持力N 恰好为零？恰好为零？（2） N 恰好为零时，突然将细钉撤去，再经过多长时间恰好为零时，突然将细钉撤去，再经过多长时间t，软，软绳恰好处于伸直状态？绳恰好处于伸直状态
9、？L/2L/2图1 解：解： 根据机械能守恒定律根据机械能守恒定律初态质心处为势能零点初态质心处为势能零点:末态质心位置末态质心位置:图2 CxLxL/4根据质心运动定理：根据质心运动定理：Nmg = m ac ，质心的动量大小为质心的动量大小为由机械能守恒：由机械能守恒：N=0, ac = g= g 解得：解得：xLxNmgC 解得：解得：(2)撤去钉子后，软绳质心的加速度为撤去钉子后，软绳质心的加速度为g, 方向向下。方向向下。撤去钉子后瞬间，左（右）侧绳子的速率为撤去钉子后瞬间，左（右）侧绳子的速率为撤去钉子后瞬间，绳子质心的速率为撤去钉子后瞬间，绳子质心的速率为此时，左侧绳子下端此时，
10、左侧绳子下端A点与质心点与质心C的距离为的距离为x0Lx0CAxcL/4绳子一旦伸直，绳子一旦伸直， A点与质心点与质心C的距离为的距离为 L/2 。选择坐标系选择坐标系S， 它以它以g大小的加速度相对大小的加速度相对地面向下加速运动，且在撤去钉子后瞬地面向下加速运动，且在撤去钉子后瞬间相对于地面速度大小为间相对于地面速度大小为x0Lx0CASS系中，撤去钉子后，左侧绳子的速率为系中，撤去钉子后，左侧绳子的速率为方向向上。方向向上。S系中，撤去钉子后，绳子质心的速率为系中，撤去钉子后，绳子质心的速率为方向向上。方向向上。S系中系中A点与质心点与质心C的速率差为的速率差为v左左SvcS撤去钉子后
11、瞬间，左侧绳子下端撤去钉子后瞬间，左侧绳子下端A点与质心点与质心C的距离为的距离为绳子一旦伸直，绳子一旦伸直， A点与质心点与质心C的距离为的距离为 L/2 。x0Lx0CASS系中系中A点与质心点与质心C的速率差为的速率差为绳子伸长所用的时间为绳子伸长所用的时间为v左左SvcS例例（19th,4分分 ）质量分别为）质量分别为 m1 和和 m2 的的 两物块与劲度系数为两物块与劲度系数为 k 的的 轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为水平外力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系。物体静止。将
12、右侧外力撤去，系统质心统质心 C 可获得的最大加速度为可获得的最大加速度为 ，可获得的最大，可获得的最大速度值为速度值为 。 m1 m2 k解：解：F m1N f fF m2质心质心 的最大加速度的最大加速度撤去外力的瞬间，系统所受的撤去外力的瞬间，系统所受的合外力最大。合外力最大。质心的最大速度质心的最大速度 m1 m2 kF 弹簧恢复原长时弹簧恢复原长时 m2 的速度为：的速度为：= 0 加速度为零时，质心的速度最大。此时弹簧恰为原长。加速度为零时，质心的速度最大。此时弹簧恰为原长。例例:（16th，13分）分）长为长为 l ，质量为，质量为m 的匀质细杆，置于光滑的匀质细杆，置于光滑水平
13、面上，可绕过杆的中点水平面上，可绕过杆的中点 O 的光滑固定竖直轴转动，初始的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度时杆静止。有一质量与光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度 v 飞来，与杆碰撞并粘在杆端点上，如图。（飞来，与杆碰撞并粘在杆端点上，如图。（1）定量分析系统）定量分析系统碰撞后的运动状态。（碰撞后的运动状态。（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，再）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。求系统碰撞后的运动状态。 v m m C解：解： （1）角动量守恒）角动量守恒 以以 3v /2l 为角速度做匀角速转动。为角速度做匀角速转动。 O v
14、 m C去掉固定轴，杆中点不固定去掉固定轴，杆中点不固定质心质心的平动的平动绕质心绕质心的转动的转动杆小球系统，动量守恒杆小球系统，动量守恒杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒，杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒， C新质心新质心C位置位置对新质心对新质心C O v m C C对新质心对新质心C（平行轴定理）（平行轴定理）系统的质心以系统的质心以 v / 2 速度平动，速度平动，系统绕过质心的轴以系统绕过质心的轴以 w w 6 v /5l 为角速度做匀角速为角速度做匀角速转动。转动。例例（19th,9）如图所示。表面光滑的）如图所示。表面光滑的 刚体无转动地竖直下落。图刚体无转动地竖直下落。图中
15、虚线对应过刚体唯一地最低点部位中虚线对应过刚体唯一地最低点部位P1 的水平切平面。图中竖直的水平切平面。图中竖直虚线虚线P1 P2 对应着过对应着过 P1 点的铅垂线，点的铅垂线， C 为刚体的为刚体的 质心。设质心。设C与与铅垂线铅垂线P1 P2确定的平面即为铅垂面，将确定的平面即为铅垂面，将C 到到P1 P2 的距离记为的距离记为 d ，刚体质量为，刚体质量为 m 。刚体相对于过。刚体相对于过 C 点且与图平面垂直的水平转点且与图平面垂直的水平转轴的轴的 转动惯量为转动惯量为 IC . 设设 ICm d 2。已知刚体与水平地面将发生。已知刚体与水平地面将发生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力
16、，试在刚体中找出这样的点的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，大小不变。大小不变。CdP1P2v0解：解：CdP1P2 yvc解：解：CdP1P2 yP0例例:(15th,11) 两个质量相同的小球两个质量相同的小球A 、B, 用长为用长为 2a 的无弹性且的无弹性且的不可伸长的绳子联结。开始时的不可伸长的绳子联结。开始时A、B 位于同一竖直线上，位于同一竖直线上， B在在A 的下方，的下方， 相距为相距为a，如图所示。今给，如图所示。今给A 一水平初速度一水平
17、初速度v0 ， 同时静同时静止释放止释放B ，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：经过多长时间，经过多长时间，A、B 恰好在同一水平线上？恰好在同一水平线上？ a v0AB解：解：选择质心系，角动量守恒选择质心系，角动量守恒CAB2 a绳子拉紧前，绳子拉紧前， A 、B相对与质心的速度大相对与质心的速度大小为小为绳子拉紧后，绳子拉紧后， A 、B相对于质心做圆周运动，角速度设为相对于质心做圆周运动，角速度设为 w w从释放到绳子拉直所用时间从释放到绳子拉直所用时间30CB vt t0解：对于质心有解：对于质心有Mc = 030例：例：
18、某惯性系中有两个质点某惯性系中有两个质点A、B， 质量分别为质量分别为 m1、 m2 ，它，它们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距 l0，质点，质点A静止，静止，质点质点B 沿连线方向的初速度为沿连线方向的初速度为 v0 。为使质点。为使质点 B 维持速度维持速度v0不变，不变，可对质点可对质点 B 沿连线方向施一变力沿连线方向施一变力 F，试求：（，试求：（1）两质点的最大）两质点的最大间距，及间距为最大时的间距，及间距为最大时的 F 。（。（2）从开始时刻到间距最大的）从开始时刻到间距最大的过程中，变力过程中，变力 F 作的功（相对惯性系）。作的
19、功（相对惯性系）。（G为引力常数）为引力常数）l0 v0m1m2AB解：解： 以以 m2 为为 S系系SSm1l0 v0m1m2ABSS解：解：（1）以）以 m2 为为 S 系系m1机械能守恒机械能守恒l0 v0m1m2ABS（2）S系中系中当当 l = lmax 时，时，m1的速度的速度v = v0由动能定理，对（由动能定理，对（m1+ m2 ）m1例：（例：（11th,9）质量为）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平面为代表的光
20、滑水平面后，令质量为面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平面上从的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度缺口处以速度 v 进入框内，图中进入框内，图中v方向的角方向的角 = 45= 45 ，设小球与框架，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将通过发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将通过缺口离开框架。（）框架每边长为缺口离开框架。（）框架每边长为a，则小球从进入框架到离开，则小球从进入框架到离开框架，相对于水平面的位移为：框架，相对于水平面的位移为： 解：（解：（ 1 ） （2） 小小 球在框架内运动的时间为球在框架内运动的时间为 T在在 T
21、 时间间隔内，质心的位移为时间间隔内，质心的位移为 例：例：（8th,12）小滑块小滑块A 位于光滑水平桌面上，小滑块位于光滑水平桌面上，小滑块 B 处于处于位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量均是位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量均是 m ，用长为，用长为 L ，不可伸长、无弹性的轻绳连接。开始时不可伸长、无弹性的轻绳连接。开始时A、B 间的距离为间的距离为 L/ 2, A、B 间的连线与小槽垂直（如图间的连线与小槽垂直（如图 ）。今给滑块一冲击，使）。今给滑块一冲击，使之获得平行于槽的速度之获得平行于槽的速度v0 ，求滑块，求滑块 B 开始运动时的速度。开始运动时的速度。 y解：滑块解：
22、滑块A和和B组成的系统在组成的系统在 y 方向动量守恒。方向动量守恒。A、B组成的系统组成的系统 对原对原B所在处角动量守恒，所在处角动量守恒， B Aq qL 以以 B 为参照系，为参照系，A 相对于相对于B 的运动为以的运动为以 B 中心的圆，中心的圆， A 相相对于对于B 的速度为的速度为 y B Aq qL12 A Bq qL例例:(16th,13) 两个上下水平放置的相同的均匀薄圆盘两个上下水平放置的相同的均匀薄圆盘A、B，盘的半，盘的半径为径为 R ，质量为，质量为 M，两圆盘的中心都在同一竖直轴上，两圆盘的中心都在同一竖直轴上, B 盘与轴盘与轴固定，固定，A 盘与轴不固定。先使
23、盘与轴不固定。先使A 盘转动，盘转动，B 盘不动，然后盘不动，然后A盘下落盘下落到到 B 盘，并与之粘在一起，共同转动。设盘，并与之粘在一起，共同转动。设A 盘将要盘将要 落到落到B 盘上时盘上时的角速度为的角速度为w w0 0 , ,并假设空气对盘表面任意点附近单位面积的摩擦力，并假设空气对盘表面任意点附近单位面积的摩擦力，正比于盘在该处的线速度正比于盘在该处的线速度, , 比例常数为比例常数为 K K，轴与轴承间的摩擦忽略，轴与轴承间的摩擦忽略不计求，不计求，A A、B B 粘在一起后能转多少圈？粘在一起后能转多少圈？解：解： A、B 相互作用时间极短，忽略阻力矩，角动量守恒相互作用时间极
24、短，忽略阻力矩，角动量守恒w w1 d f rABMMRABMMR例：例：( 23th 13分分) 如图所示，如图所示， 水平轻绳跨过固定在质量为水平轻绳跨过固定在质量为m1 的水的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下联结质量为平物块的一个小圆柱棒后，斜向下联结质量为m2的小物块，设系的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放后，假设两物块的运统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放后，假设两物块的运动方向如图所示，即绳与水平桌面的动方向如图所示，即绳与水平桌面的a a 夹角始终不变，试求夹角始终不变，试求a a ，a1和和a2。a aa1a2a1m1m2 m2g Ta aa aTT m1
25、gN y x解：解： T(1 cosa a ) = m1 a1对于对于m1 ，x 轴方向有轴方向有 对于对于m2 ， x 轴方向有轴方向有 Tcosa a = m2 (a1 a2 cosa a ) m2g Tsina a = m2 a2 sina a a1 = a2 = a y 轴方向有轴方向有 T(1 cosa a ) = m1 a1 Tcosa a = m2 (a1 a2 cosa a ) m2g Tsina a = m2 a2 sina a a1 = a2 = acos2a a (k+2)cosa a +1= 0a1 = a2 = a = g cosa a例：例：26届届 （20分）静止
26、于惯性系分）静止于惯性系S的飞船，主体（不包含燃料）的飞船，主体（不包含燃料）质量为质量为M0，携带的燃料质量为，携带的燃料质量为MR ，某时刻发动机点火使飞船开，某时刻发动机点火使飞船开始沿直线方向朝前加速运动。已知单位时间燃烧的燃料质量为始沿直线方向朝前加速运动。已知单位时间燃烧的燃料质量为m0，燃料全部生成物的喷射速度（生成物相对飞船朝后速度）为，燃料全部生成物的喷射速度（生成物相对飞船朝后速度）为常量常量u，在一直到燃料烧尽的全过程中，试求：，在一直到燃料烧尽的全过程中，试求：(1)飞船加速度的最小值飞船加速度的最小值amin和最大值和最大值amax;(2) 飞船的末速度飞船的末速度v
27、e;(3) 初始时刻飞船发动机提供的功率（单位时间燃料在燃烧过程初始时刻飞船发动机提供的功率（单位时间燃料在燃烧过程中释放的内能，也就是单位时间内系统动能的增量）中释放的内能，也就是单位时间内系统动能的增量）Pi 和全过程和全过程时间内的平均功率时间内的平均功率Pav；(4) 发射效率（飞船获得的动能占发动机释放的全部燃料内能之发射效率（飞船获得的动能占发动机释放的全部燃料内能之比）比）h h；(5) a a = = MR / M0为何值（给出为何值（给出1位有效数字）时，位有效数字）时， h h取极大值。取极大值。解解: (1)tt + dtdmxtt + dtdm初态动量初态动量xP0 =
28、 MV末态动量末态动量火箭火箭P1 = （Mdm）(V+dV)气体气体P2 = dm(V+dV u)P0 = P1 + P2MV=（Mdm）(V+dV)+ dm(V+dV u)MV= MVVdm + MdV dmdV+Vdm +dmdV udm MdV = udmdm = dM MdV = udM M dV = u dM t = 0时，火箭速度为时，火箭速度为0, 质量为质量为 M0 MRM=M0 MR m0t t = 0 ,(2)飞船的末速度飞船的末速度ve 末态飞船内燃料耗尽末态飞船内燃料耗尽 M=M0 (3) 在在tt+dt 时间间隔内，系统动能的增量为时间间隔内，系统动能的增量为tt + dtdmx(4) 飞船的末动能飞船的末动能 达到末态所需的时间为达到末态所需的时间为释放的全部燃料内能为释放的全部燃料内能为所求的效率为所求的效率为 （5） a a =4, h h= = h h max= 65%
