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1、第五章第五章 和差和差 倍数问题倍数问题v一、和差问题一、和差问题v二、和倍、差倍问题二、和倍、差倍问题v三、年龄问题三、年龄问题第一节第一节 和差问题和差问题v问题问题5.1.1 84，48，？v问题问题5.1.2 两质数之和是两质数之和是28、之差是、之差是6，这两，这两质数各是多少？质数各是多少？v问题问题5.1.3 某日，白天比黑夜长某日，白天比黑夜长6小时，问这小时，问这一天白天、黑夜各有几小时？一天白天、黑夜各有几小时？ v这三个题目中数量关系的共同特征是这三个题目中数量关系的共同特征是 :已知已知两个数的和与差，求这两个数两个数的和与差，求这两个数. v类似这样的数学问题，称类似
2、这样的数学问题，称“和差问题和差问题”v和差问题的基本数量关系式如下：和差问题的基本数量关系式如下：v(和差和差)2大数大数v(和差和差)2小数小数v问题问题5.1.4 分数单位相同的甲、乙两数，分数单位相同的甲、乙两数，相加结果为相加结果为1，甲数比乙数多一个单位，甲数比乙数多一个单位1/3，这两个分数各是多少？，这两个分数各是多少？v问题问题5.1.5将等高不等底的两直角梯形纸板，将等高不等底的两直角梯形纸板，粘接成粘接成(无重叠部分无重叠部分)一块长一块长5分米、宽分米、宽3分米分米的长方形纸板的长方形纸板.已知小梯形纸板上下底的和比已知小梯形纸板上下底的和比大梯形上下底的和少大梯形上下
3、底的和少4分米，大、小梯形两纸分米，大、小梯形两纸板面积分别是多少平方分米？板面积分别是多少平方分米？v分析分析 :据条件知大、小两梯形上下底和的差，据条件知大、小两梯形上下底和的差，大、小两梯形上下底和的大、小两梯形上下底和的“和和”，即为长方，即为长方形的形的2个长，从而可分别求出大、小两梯形上、个长，从而可分别求出大、小两梯形上、下底的和；大、小两梯形的高，就是长方形下底的和；大、小两梯形的高，就是长方形的宽的宽. v问题问题5.1.6 小李和小王共储蓄小李和小王共储蓄2000元，如果元，如果小李借给小王小李借给小王200元，两人储蓄的钱恰好相元，两人储蓄的钱恰好相等，问两人各储蓄多少元
4、？等，问两人各储蓄多少元？v问题问题5.1.7 有有1元和元和5元的人民币共元的人民币共17张，合张，合计计49元，两种面值的人民币各有多少张？元，两种面值的人民币各有多少张？v分析分析:假设假设17张人民币全是张人民币全是5元的，总钱数则元的，总钱数则为为51785(元元)，比实际的，比实际的49元多出元多出854936(元元).多的原因是把多的原因是把1元的人民币假设元的人民币假设为为5元的人民币了元的人民币了.用数量关系式表示为：用数量关系式表示为：v根据这一数量关系式根据这一数量关系式,可先求出可先求出1元人民币的张数元人民币的张数:(51749) (5 1)=364=9(张张)v于是
5、可得于是可得5元人民币张数元人民币张数:17 9=8(张张)v也可以假设也可以假设17张人民币全是张人民币全是1元的，便可有另一解元的，便可有另一解法法: (49117)(51) = 8(张张)v问题问题5.1.6与问题与问题5.1.7的数量关系及其解答方法有什的数量关系及其解答方法有什么异同么异同?v都属和差问题都属和差问题,但问题但问题5.1.6中已知或未知的数量是中已知或未知的数量是同类量，可运用和差问题的数量关系式求解；而问同类量，可运用和差问题的数量关系式求解；而问题题5.1.7含三种有联系的不同类量含三种有联系的不同类量(票面值、总值、票面值、总值、钱的张数钱的张数)，且所求两数的
6、差难以确定，解答时须通，且所求两数的差难以确定，解答时须通过假设分析法过假设分析法(从假定的条件入手分析题意从假定的条件入手分析题意)，将和，将和差问题转化为差问题转化为“两个差问题两个差问题”(利用两个相关联的差利用两个相关联的差求未知数求未知数)求解求解. v问题问题5.1.8 100名师生参加植树，老师每人名师生参加植树，老师每人栽栽3棵，学生每棵，学生每2人栽人栽1棵，总共植树棵，总共植树100棵棵.问老师和学生各有多少人？问老师和学生各有多少人？v提示：可假设老师每人植树的棵树与学生提示：可假设老师每人植树的棵树与学生同样多同样多(学生每学生每2人植一棵人植一棵.即每人植即每人植12
7、0.5棵棵)，或假设学生每人植树与老师每人植，或假设学生每人植树与老师每人植树同样多树同样多. v问题问题5.1.9 两缸金鱼共两缸金鱼共46尾，若甲缸再放入尾，若甲缸再放入5尾，乙缸取出尾，乙缸取出2尾，这时乙缸仍比甲缸多尾，这时乙缸仍比甲缸多3尾，尾，甲、乙两缸原有金鱼多少尾？甲、乙两缸原有金鱼多少尾？v分析：这题的数量关系比较复杂，可先画线分析：这题的数量关系比较复杂，可先画线段图段图(图图111)，使其数量关系明朗化，使其数量关系明朗化. v解法解法1：46+（5+2+3） 2 =（46+10）2=56 2=28（尾）（尾）v462818(尾尾).v答：甲缸原有金鱼答：甲缸原有金鱼18
8、尾，乙缸原有尾，乙缸原有28尾尾.v解法解法2 ：原题告诉甲、乙两缸放入或取出金：原题告诉甲、乙两缸放入或取出金鱼后，乙缸仍比甲缸多鱼后，乙缸仍比甲缸多3尾尾.现在知放入或取现在知放入或取出后，两缸金鱼尾数之和及相差数出后，两缸金鱼尾数之和及相差数. (1)甲缸放入甲缸放入5尾后金鱼的尾数：尾后金鱼的尾数：(4652)3223(尾尾). (2)甲缸原有金鱼的尾数：甲缸原有金鱼的尾数： 23518(尾尾). (3)乙缸原有金鱼的尾数：乙缸原有金鱼的尾数：233228(尾尾).第二节第二节 和倍、差倍问题和倍、差倍问题 v问题问题5.2.1 小华和小瓜分别栽花和种瓜，小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共
9、一共88棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的棵数的3倍倍.小华栽了多少花？小瓜种了小华栽了多少花？小瓜种了多少瓜？多少瓜？v类似问题类似问题5.2.1，已知几个数的和，及相，已知几个数的和，及相互间的倍数关系，分别求这几个数的问互间的倍数关系，分别求这几个数的问题称为和倍问题题称为和倍问题.v问题问题5.2.2 一篮苹果比一篮梨少一篮苹果比一篮梨少21个，个，梨的数量是苹果的梨的数量是苹果的4倍倍.苹果和梨各多少苹果和梨各多少个？个？v类似问题类似问题5.2.2，已知几个数的差，及相，已知几个数的差，及相互间的倍数关系互间的倍数关系.分别求这几个数的问题分别求这几个数
10、的问题称为差倍问题称为差倍问题.v解答基本的解答基本的(只含两数间关系只含两数间关系)和倍、差和倍、差倍问题，先确定其中一数倍问题，先确定其中一数(通常定较小数通常定较小数比较方便比较方便)作为标准数作为标准数(1倍数倍数)，再找出，再找出两数的和两数的和(或差或差)，及与其相对应的倍数，及与其相对应的倍数关系，这样就可以求出这个标准数，随关系，这样就可以求出这个标准数，随之即可求出另一数之即可求出另一数(较大数较大数). 对应关系：对应关系： 较小数？较小数？1倍，倍， 较大数？较大数？几倍，几倍， (和和) (和和) 两数两数倍数倍数 (差差) (差差) 数量关系式：数量关系式： 较小数较
11、小数倍数较大数，倍数较大数， 或者或者:问题问题5.2.1 对应关系：对应关系： 种瓜的棵数？种瓜的棵数？1倍倍 栽花的棵数？栽花的棵数？3倍倍 棵数和棵数和88棵棵(31)倍倍解：解：88(31)22(棵棵)22366(棵棵).答：小华栽花答：小华栽花66棵，棵，小瓜种瓜小瓜种瓜22棵棵.问题问题5.2.2 v对应关系：对应关系：v苹果的数量？苹果的数量？1倍倍v梨的数量？梨的数量？4倍倍v数量差数量差21个个(41)倍倍v解：解：v21(41)7(个个)，v7428(个个).v答：一篮苹果答：一篮苹果7个，一个，一篮梨篮梨28个个.1.变换表述语变换表述语 v问题问题5.2.3 甲数是乙数
12、的甲数是乙数的10倍，两数相差倍，两数相差72，求这两数求这两数.v问题问题5.2.4 大数比小数多大数比小数多72，把大数个位上的，把大数个位上的0去掉，则与小数同样多，大、小数各是多少去掉，则与小数同样多，大、小数各是多少？v问题问题5.2.5 一个数的小数点向左移动一位，比一个数的小数点向左移动一位，比原数小原数小72，原数是多少？，原数是多少？2.隐蔽性表述隐蔽性表述 v问题问题5.2.6 两数相除，商两数相除，商3余余4；被除数、除数、；被除数、除数、商及余数的和是商及余数的和是43.求被除数和除数求被除数和除数.v提示：根据被除数除数四数之和提示：根据被除数除数四数之和(商商余数余
13、数)这一关系式，你知道：被除数与除数的这一关系式，你知道：被除数与除数的和是多少？两数间的倍数关系是多少？和是多少？两数间的倍数关系是多少？v问题问题5.2.7 在一个等腰三角形中，顶角的度数在一个等腰三角形中，顶角的度数是一个底角的是一个底角的2倍，顶角和底角各多少度？倍，顶角和底角各多少度？3.增加情节增加情节 问题问题5.2.8大、小两数之差为大、小两数之差为45，大数的，大数的1/3等于小数的等于小数的1/2，求这两个数。，求这两个数。 问题问题5.2.9 一个体育队，男队一个体育队，男队员的员的1/3与女队员的与女队员的1/2相相等，男队员比女队员多等，男队员比女队员多45人。男、女
14、队员各多少人人。男、女队员各多少人？解：解：45(32)45(人人)， 45290(人人)，453135(人人).答：男队员有答：男队员有135人，女队员有人，女队员有90人人.4.变换情节变换情节 v问题问题5.2.10 一块长方形的地，长是宽的一块长方形的地，长是宽的2倍，倍，周长是周长是108米，它的面积是多少平方米？米，它的面积是多少平方米？v问题问题5.2.11 两个物体的平均重量是两个物体的平均重量是27千克，千克，甲物体重量是乙物体重量的甲物体重量是乙物体重量的2倍，两物体各重倍，两物体各重多少千克？多少千克？v问题问题5.2.12 修一条修一条1.08千米长的隧道，甲、千米长的
15、隧道，甲、乙两队同时从两头向中间开凿，乙两队同时从两头向中间开凿，20天开通，天开通，甲队每天凿进的米数是乙队的甲队每天凿进的米数是乙队的2倍，甲、乙两倍，甲、乙两队每天各开凿多少米？队每天各开凿多少米？v观察与思考：观察与思考：v以上三道题的数量关系是否一样？，仅以上三道题的数量关系是否一样？，仅“和和”间接告诉而已间接告诉而已.各是多少各是多少?为什么为什么?v以上三道题的变化是什么？以上三道题的变化是什么？ 数量关系一致，只是题目内容运用的数数量关系一致，只是题目内容运用的数学知识点不同学知识点不同.5.扩展情节扩展情节 v问题问题5.2.13 甲水池有水甲水池有水100立方米，乙水池立
16、方米，乙水池有水有水20立方米立方米.现在以每分钟现在以每分钟15立方米的速度立方米的速度，把甲池的水抽入乙水池，使乙水池水的体，把甲池的水抽入乙水池，使乙水池水的体积是甲池水的积是甲池水的2倍，需抽多少分钟倍，需抽多少分钟 v引导思考：引导思考：v说出该题综合算式每步的意义：说出该题综合算式每步的意义： (10020)(21)220156.增加数量关系增加数量关系 v问题问题5.2.14 今年爸爸的年龄是小强的今年爸爸的年龄是小强的5倍，爷倍，爷爷的年龄比小强多爷的年龄比小强多9倍，比爸爸大倍，比爸爸大35岁岁.小强小强今年几岁？今年几岁？v分析：该题虽然含三数间的数量关系，但仍分析：该题虽
17、然含三数间的数量关系，但仍可以小强的年龄为可以小强的年龄为1倍数倍数.题中已告诉两数间题中已告诉两数间相差数，关键是找出与其对应的倍数差：爸相差数，关键是找出与其对应的倍数差：爸爸的年龄是小强的爸的年龄是小强的5倍，爷爷的年龄是小强的倍，爷爷的年龄是小强的(91)倍倍.那么可知，爷爷的年龄比爸爸多那么可知，爷爷的年龄比爸爸多(91)5倍倍. 第三节第三节 年龄问题年龄问题v每个人都有年龄，年龄里面包含着许许多多每个人都有年龄，年龄里面包含着许许多多有趣的数学问题，有的问题不是那么容易解有趣的数学问题，有的问题不是那么容易解决，确实还要好好动一番脑筋决，确实还要好好动一番脑筋.现在我们来看现在我
18、们来看一下几个简单的问题：一下几个简单的问题： v1.小明的爸爸去年比小明大小明的爸爸去年比小明大25岁，明年小明岁，明年小明的爸爸比小明大几岁？的爸爸比小明大几岁？v2.今年陈老师的年龄是王芳的今年陈老师的年龄是王芳的2倍，明年陈老倍，明年陈老师的年龄还是王芳的师的年龄还是王芳的2倍吗？倍吗？v3.前年红红和姐姐的年龄加起来正好前年红红和姐姐的年龄加起来正好30岁，岁，今年红红和姐姐的年龄之和为多少岁？今年红红和姐姐的年龄之和为多少岁？ v这三个问题也是关于年龄问题的三个基本问这三个问题也是关于年龄问题的三个基本问题，它告诉我们以下规律：题，它告诉我们以下规律： v(1)两人年龄的差是不变的
19、量；两人年龄的差是不变的量；v(2)两个年龄的倍数关系是变化的量；两个年龄的倍数关系是变化的量；v(3)每个人的年龄随着时间的增加都增加相等每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量的量.v问题问题5.3.1父亲年龄是女儿的父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女倍，三年前父女年龄之和是年龄之和是49岁，问父女现在各为多少岁？岁，问父女现在各为多少岁？ v分析：分析：因为三年前父女年龄之和为因为三年前父女年龄之和为49岁岁,因此因此今年父女年龄之和就应为今年父女年龄之和就应为 493255(岁岁). 又因为今年父亲的年龄是女儿的又因为今年父亲的年龄是女儿的4倍，所以女倍，所以女儿的年龄应为儿的年龄应为5
20、5(4l)11(岁岁). 父亲年龄为父亲年龄为 11444(岁岁).v问题问题5.3.2一家三口人，三人年龄之和是一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子岁，妈妈的年龄是儿子的的4倍，问三人各是多少岁？倍，问三人各是多少岁？ v分析：分析：假设爸爸同妈妈年龄一样大假设爸爸同妈妈年龄一样大.那么爸那么爸爸年龄也是儿子的爸年龄也是儿子的4倍，这时全家年龄之和倍，这时全家年龄之和为：为：74272(岁岁).v儿子年龄为：儿子年龄为： 72(441)8(岁岁).v妈妈年龄为：妈妈年龄为： 8432(岁岁).v爸爸实际年龄为：爸爸实际年龄为： 32234(岁岁
21、).v问题问题5.3.3已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为年龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好等于孙岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的子年龄的5倍，求祖孙三人各多少岁。倍，求祖孙三人各多少岁。v分析：分析：因祖父与父亲年龄的差等于父亲和孙因祖父与父亲年龄的差等于父亲和孙子年龄的差，我们作一示意图子年龄的差，我们作一示意图(图图131). v已知祖父和孙子年龄之和为已知祖父和孙子年龄之和为82岁，由图岁，由图中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的父
22、亲年龄的2倍，所以父亲年龄为：倍，所以父亲年龄为：822=41(岁岁).v又因为明年祖父年龄恰好等于孙子的又因为明年祖父年龄恰好等于孙子的5倍，而明年祖父和孙子年龄的和为倍，而明年祖父和孙子年龄的和为82+2=84(岁岁)，所以，明年孙子年龄为：，所以，明年孙子年龄为：84(5+1)=14(岁岁).v明年祖父年龄为：明年祖父年龄为： 145= 70(岁岁).v因此今年祖父因此今年祖父69岁，孙子岁，孙子13岁岁.v问题问题5.3.4 王军父亲的年龄是王军的王军父亲的年龄是王军的3倍，倍，12年后王军的年龄是父亲的一半，问现在王军年后王军的年龄是父亲的一半，问现在王军和他父亲各是多少岁？和他父亲
23、各是多少岁？v分析：分析：一般，甲的年龄是乙的一般，甲的年龄是乙的a倍，那么倍，那么n年后甲的年后甲的年龄是乙的年龄是乙的a倍少倍少n(a-1)岁岁.v题目条件是王军父亲现在年龄是王军的题目条件是王军父亲现在年龄是王军的3倍，那么倍，那么12年后，王军父亲和王军年龄都增加了年后，王军父亲和王军年龄都增加了12岁，因此岁，因此王军父亲年龄不再是王军的王军父亲年龄不再是王军的3倍了倍了.由此可见由此可见12年后年后王军父亲年龄是王军的王军父亲年龄是王军的3倍少倍少12(3-1)=24岁岁.又由又由已知条件已知条件12年后王军父亲是王军年龄的年后王军父亲是王军年龄的2倍，说明倍，说明24岁就相当于岁
24、就相当于1倍，也就是说王军倍，也就是说王军12年后的年龄为年后的年龄为24岁岁因此王军今年因此王军今年12岁，父亲今年岁，父亲今年36岁岁.问题问题5.3.5 陈辉问王老师今年有多少岁，王老师陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：说：“当我像你这么大时，你才当我像你这么大时，你才3岁；当你像我岁；当你像我这么大时，我已经这么大时，我已经42岁了岁了”.你能算出王老师有你能算出王老师有多少岁吗？多少岁吗？分析：分析：采用图示的方法，见图采用图示的方法，见图132：王老师与陈辉年龄之差应王老师与陈辉年龄之差应为：为：(42-3)3=393=13(岁岁)(线段线段 AB).陈辉年龄为：陈辉年龄为：13+3=16(岁岁).王老师年龄为：王老师年龄为：16+13=29(岁岁).
