函数极值与最值

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1、高高 等等 数数 学学第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用5 函数的极值与最值函数的极值与最值二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节函数的极值与 最大值最小值一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:在其中当时,(1) 则称 为 的极大点极大点 ,称 为函数的极大值极大值 ;(2) 则称 为 的极小点极小点 ,称 为函数的极小值极小值 .极大点与极小点统称为极值点极值点 .注意注意:为极大点为极小点不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.例如例如

2、为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” ,例例1. 求函数求函数的极值 .解解:1) 求导数2) 求极值可疑点令得令得3) 列表判别是极大点， 其极大值为是极小点， 其极小值为定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证证: (1)存在由第一判别法知(2) 类似可证 .例例2. 求函数的极值 . 解解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.定理定理3

3、 (判别法的推广判别法的推广)则:数 , 且1) 当 为偶数时,是极小点 ;是极大点 .2) 当 为奇数时,为极值点 , 且不是极值点 .当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .证证: 利用 在 点的泰勒公式 ,可得例如例如 , 例2中所以不是极值点 .极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的. 说明说明:当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .例如例如:为极大值 ,但不满足定理1 定理3 的条件.二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点(

4、2) 最大值最小值特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调单调时, 最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)例例3. 求函数在闭区间上的最大值和最小值 .解解: 显然且故函数在取最小值 0 ;在及取最大值 5.例例3. 求函数在闭区间上的最大值和最小值 .( k 为某一常数 )例例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使

5、货D 点应如何选取? 20解解: 设则令得 又所以 为唯一的极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问Km ,公路, 例例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .内容小结内容小结1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 :使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值(4) 判别法的推广