清华大学计算固体力学第三次连续介质力学ppt课件

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1、非非线性有限元性有限元第第3章章 延延续介介质力力学学 计算固膂力学计算固膂力学第第2 2讲 延延续介介质力学力学 1 1引言引言2 2变形和运动变形和运动3 3应变度量应变度量4 4应力度量应力度量5 5守恒方程守恒方程6 6LagrangianLagrangian守恒方程守恒方程7 7极分解和框架不变性极分解和框架不变性1 引言引言 延续介质力学是非线性有限元分析的基石。延续介质力学是非线性有限元分析的基石。 从描画变形和运动开场。在刚体的运动中从描画变形和运动开场。在刚体的运动中着重于转动的描画。转动在非线性延续介质力着重于转动的描画。转动在非线性延续介质力学中扮演了中心的角色，许多更加

2、困难和复杂学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂的非线性延续介质力学问题都是源于转动。的非线性延续介质力学问题都是源于转动。 1 1 引言引言 非非线线性性延延续续介介质质力力学学中中的的应应力力和和应应变变，有有多多种种方方式式定义。在非线性有限元程序中运用最频繁的是：定义。在非线性有限元程序中运用最频繁的是： 应变度量：应变度量：GreenGreen应变张量和变形率。应变张量和变形率。 应应力力度度量量：CauchyCauchy应应力力、名名义义应应力力和和第第二二PiolaPiolaKirchhoffKirchhoff应力，简称为应力，简称为PK2PK2应力。应力。 还有有许多多其其它

3、它的的度度量量，过多多的的应力力和和应变度度量量是是了了解解非非线性性延延续介介质力力学学的的妨妨碍碍之之一一。一一旦旦了了解解了了这一一领域域，就就会会认识到到这么么多多的的度度量量没没有有添添加加根根底底的的东西西，也也许只是学只是学术过量的一种量的一种显示。示。 我我们只只用用一一种种应力力和和应变度度量量的的方方式式进展展讲授授，也也涉及到其它的方式，以便可以了解文献和涉及到其它的方式，以便可以了解文献和软件。件。1 1 引言引言 守守恒恒方方程程，通通常常也也称称为为平平衡衡方方程程，包包括括质质量量、动动量量和和能能量量守守恒恒方方程程。平平衡衡方方程程是是在在动动量量方方程程中中

4、当当加加速速度度为为零零时时的的特特殊殊情情况况。守守恒恒方方程程既既从从空空间间域域也也从从资资料料域中推导出来。域中推导出来。 推推导导并并解解释释极极分分解解原原理理，检检验验CauchyCauchy应应力力张张量量的的客客观观率率，也也称称作作框框架架不不变变率率。解解释释了了率率型型本本构构方方程程要要求求客客观观率率的的缘缘由由，然然后后表表述述了了几几种种非非线线性性有有限限元元中中常常用的客观率。用的客观率。 2 变形和运动变形和运动 它它们的的属属性性和和呼呼应可可以以用用空空间变量量的的平平滑滑函函数数来来表表征征，至至多多具具有有有有限限个个不不延延续点点。它它忽忽略略了

5、了非非均均匀匀性性，诸如如分分子子、颗粒粒或或者者晶晶体体构构造造。晶晶体体构构造造的的特特性性有有时也也经过本本构构方方程程出出如如今今延延续介介质模模型型中中，但但是是假假定定其其呼呼应和和属属性性是是平平滑滑的的，只只具有有限个不延具有有限个不延续点。点。 延延续介介质力力学学的的目目的的就就是是提提供供有有关关流流体体、固固体体和和组织构构造的宏造的宏观行行为的模型。的模型。 Kinematic description: 应变应变是如何度量的？是如何度量的？Kinetic description: 应应力是如何度量的？力是如何度量的？Mesh description: 网格挪网格挪动动

6、如何如何联络联络延延续续体的运体的运动动？2 2 变形和运动变形和运动 在初始域和当前域在初始域和当前域域之间的映射域之间的映射 初始构形初始构形 当前构形当前构形 资料点的位置矢量资料点的位置矢量 ei 直角坐标系的单位基矢量，直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。位置矢量的分量。 2 2 变形和运动变形和运动 运动描画运动描画空间坐标空间坐标 当当参参考考构构形形与与初初始始构构形形一一致致时时，在在 t t0 0 时时辰辰恣恣意意点点处处的的位置矢量位置矢量 x x 与其资料坐标一致与其资料坐标一致 一致映射一致映射 为 常常 数数 值 的的 线 被被 蚀 刻刻 在在 资 料料

7、中中 ， 恰恰 似似Lagrangian网网格格；它它们随随着着物物体体变形形，当当在在变形形构构形形中中察察看看时，这些些线就就不不再再是是Cartesian型型。这种种察察看看方方式式下下的的资料料坐坐标被被称称为流流动坐坐标。但但是是，当当我我们在在参参考考构构形形中中察察看看资料料坐坐标时，它它们不不随随时间改改动。建建立立的的方方程程，是是在在参参考考构构形形上上察察看看资料料坐坐标，因因此此以以固固定定的的Cartesian坐坐标系系推推导方方程程。另另一一方方面面无无论怎怎样察察看，空看，空间坐坐标系都不随系都不随时间变化。化。 资料坐料坐标2 2 变形和运动变形和运动 运动描画

8、运动描画 在在流流膂膂力力学学中中，根根据据参参考考构构形形来来描描画画运运动动通通常常是是不不能能够够的的，并并且且没没有有必必要要。在在固固膂膂力力学学中中，应应力力普普通通依依赖赖于于变变形形和和它它的的历历史史，所所以以必必需需指指定定一一个个未未变变形形构构形形，普普遍遍采采用用LagrangianLagrangian描描画画，独独立立变量是资料坐标变量是资料坐标X X 和时间和时间t t。位移位移速度速度加速度加速度速度是速度是资料点的位置矢量的料点的位置矢量的变化率化率资料料时间导数数 2 变形和运动变形和运动 运动描画运动描画独立变量是空间坐标独立变量是空间坐标x x 和时间和

9、时间t t，称为空间或，称为空间或EulerianEulerian描画描画 经过链规那么得到资料时间导数经过链规那么得到资料时间导数 空间时间导数空间时间导数 对流项、迁移项对流项、迁移项 矢量场的左梯度矢量场的左梯度 空空间间变变量量 x x 和和时时间间 t t 的的任任何何函函数数的的资资料料时时间间导导数数可可以以经过链规那么得到经过链规那么得到和和张量函数量函数其资料时间导数给出为其资料时间导数给出为对于于标量函数量函数2 变形和运动变形和运动 运动描画运动描画左梯度矩阵左梯度矩阵 变形梯度是运动函数的变形梯度是运动函数的Jacobian矩阵矩阵 2 变形和运动变形和运动 第一个目的

10、代表运第一个目的代表运动，第二个目的代表偏，第二个目的代表偏导数数 资料坐标左资料坐标左梯度的转置梯度的转置 直角坐标系下二维的变形梯度给出为直角坐标系下二维的变形梯度给出为F F 的行列式用的行列式用J J 表示，称作表示，称作JacobianJacobian行列式或变形梯度行列式行列式或变形梯度行列式2 变形和运动变形和运动 变形梯度变形梯度将当前构形和参考构形上的积分联络起来将当前构形和参考构形上的积分联络起来 二维域二维域 Jacobian行列式的资料时间导数给出为行列式的资料时间导数给出为左散度左散度2 变形和运动变形和运动 运动条件运动条件除了在有限数量的零度量集合上，假设描画运动

11、和物体变形的映射除了在有限数量的零度量集合上，假设描画运动和物体变形的映射满足以下条件：满足以下条件： 延延续可微，一可微，一对一一F可逆，可逆，J 0 这这些些条条件件保保证证函函数数足足够够平平滑滑以以致致于于满满足足协协调调性性，即即在在变变形形物物体体中中不不存存在在缝缝隙隙和和重重叠叠。运运动动及及其其导导数数可可以以是是非非延延续续或或者者在在零零尺尺度度集集合合上上具具有有非非延延续续的的导导数数如如裂裂纹纹，所所以以它它是是分分段段延延续续可可微微的的。添添加加不不包包括括零零尺尺度度集集合合的的附附加加条条件件以以解解释释裂裂纹纹构构成成的的能能够够性性。在在构构成成裂裂纹纹

12、的的外外表表上上，上上述述条条件件不不满满足足。零零尺尺度度集集合合在在一一维维情情况况中中是是点点，在在二二维维中中是是线线，三三维维中中是是平平面面，由由于于一一个个点点具具有有零零长长度度，一一条条线线具具有零面积，一个外表具有零体积。有零面积，一个外表具有零体积。 2 2 变形和运动变形和运动 运动条件运动条件 变变形形梯梯度度通通常常在在资资料料的的界界面面上上是是非非延延续续的的。在在某某些些景景象象中中，例例如如扩扩展展裂裂纹纹，运运动动本本身身也也是是非非延延续续的的。要要求求在在运运动动及及其其导导数数中中非非延延续续的的数数量量是是有有限限的的。实实践践上上发发现现，有有些

13、些非非线线性性解解答答能能够够拥拥有有无无限限数数量量的的非非延延续续。然然而而，这这些些解解答答非非常常稀稀有有，不不能能被被有有限限元元有有效地处置，所以将不关注这些解答。效地处置，所以将不关注这些解答。 第第二二个个条条件件，即即运运动动为为一一对对一一的的，要要求求对对于于在在参参考考构构形形上上的的每每一一点点，在在当当前前构构形形上上有有独独一一的的点点与与之之对对应应，反反之之亦亦然然。这这是是F F规规那那么么的的必必要要充充分分条条件件，即即F F是是可可逆逆的的。当当变变形形梯梯度度F F是是正正常常的的，那那么么 ，由由于于当当且且仅仅 当当时时F F的的逆逆才才存存在在

14、。因因此此，第第二二个个条条件件和和第第三三个个条条件件是是有有联联络络的的。更更强强的的条条件件是是J J 必必需需为为正正而而不不仅仅是是非非零零，在在第第3.5.43.5.4节节可可以以看看到到这这遵遵照照了了质质量量守守恒恒。这这个个条条件件在在零零尺尺度度集集合合上上也也可可以以违违背背。例例如如，在在一一个个裂裂纹纹的的外外表表上上，每每一一个个点点都都成为了两个点。成为了两个点。 运动条件运动条件 一个Lagrangian网格的刚体转动，显示在参考(初始、未变形)构形和当前(变形)构形中察看到的资料坐标。 转转动动是是正正交交变变换换的的一一个个例例子子，R R是是正正交交矩矩阵

15、阵。一一个个矩矩形形单单元元的的LagrangianLagrangian网网格格的的刚刚体体转转动动，如如下下图图。可可以以看看出出，在在刚刚体体转转动动中中单单元元的的边边发发生生转转动动，但但是是边边与与边边之之间间的的夹夹角角坚坚持持不不变变。单单元元的的边边是是X X 或或Y Y 坐坐标标为为常常数数的的直直线线，所所以以在在变变形形构构形形中中察察看看时时，当物体转动时资料坐标也转动。当物体转动时资料坐标也转动。 一一个个刚刚体体的的运运动动包包括括平平动动和和绕绕原原点点的的转转动动，刚刚体体转转动动和和坐坐标标转换的关系为转换的关系为 2 2 变形和运动变形和运动 二二维问题 角

16、速度角速度 空空间坐坐标 角速度张量或角速度矩阵角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量偏对称张量也称作反对称张量 二二维问题 动力学教材中的刚体运动方程动力学教材中的刚体运动方程 例例3.13节点三角形有限元，设节点的运动为节点三角形有限元，设节点的运动为求解求解变形梯度和形梯度和Jacobian行列式行列式为时间的函数，的函数，当当Jacobian行列式行列式坚持常数持常数时求出求出a和和b的的值。2 2 变形和运动变形和运动 (1) 三角形三角形3节点线性位移单元的构形节点线性位移单元的构形 解：解：在初始构形中，在初始构形中，t = 0 面积坐标面积坐标 2 变形和运动变形和

17、运动 (2) 将未变形构形中的节点坐标代入上式将未变形构形中的节点坐标代入上式 在初始构形中，在初始构形中，t = 0 得到三角形坐标与资料坐标之间的关系得到三角形坐标与资料坐标之间的关系 即即 得到运动的表达式得到运动的表达式 变形梯度为变形梯度为 2 变形和运动变形和运动 将将 (1) 和和 (3) 代入代入 (2) (3) 在在单单元元中中的的位位移移是是资资料料坐坐标标的的线线性性函函数数，变变形形梯梯度度仅仅为为时时间间函数，假设给定时间，函数，假设给定时间，F F 为常数。为常数。JacobianJacobian行列式给出为行列式给出为变形梯度为变形梯度为 当当 J的行列式为常数，

18、的行列式为常数，这种运动是没有变形的转动；这种运动是没有变形的转动； 当当 一一个个剪剪切切变变形形和和一一个个转转动动，其其中中单单元元的的面面积积坚坚持持常常数数。这这种种类类型型的变形称为等体积变形；不可紧缩资料的变形就是等体积变形。的变形称为等体积变形；不可紧缩资料的变形就是等体积变形。2 变形和运动变形和运动 J行列式也坚持常数，这种情况对应于行列式也坚持常数，这种情况对应于例例3.3 一一个个单单位位正正方方形形4 4节节点点单单元元，其其中中3 3个个节节点点固固定定。求导致求导致JacobianJacobian行列式等于零时节点行列式等于零时节点3 3位置的轨迹。位置的轨迹。

19、除节点除节点3 3之外一切节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场给出之外一切节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场给出2 2 变形和运动变形和运动 沿着由节点沿着由节点1 1和和2 2以及节点以及节点1 1和和4 4所定义的边境上位移场为零，运动为所定义的边境上位移场为零，运动为 变形梯度变形梯度 那么那么Jacobian行列式为行列式为检验什么时候检验什么时候Jacobian行列式为零，只需思索单元未变形构形中资料点行列式为零，只需思索单元未变形构形中资料点的的Jacobian行列式，即单位正方形行列式，即单位正方形 显然显然 且且J是最小是最小 当当 对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定

20、对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定 节点节点3 3越过未变形单元的对角线越过未变形单元的对角线 2 2 变形和运动变形和运动 例例3.4小变形情况下一个扩展裂纹周围的位移场给出为小变形情况下一个扩展裂纹周围的位移场给出为 初始未开裂的构形和裂纹沿轴扩展的两个随后构形 2 2 变形和运动变形和运动 这这个个位位移移场场对对应应于于沿沿着着X X轴轴的的开开口口裂裂纹纹，且且裂裂尖尖速速度度为为c c。求求出出沿沿着着直直线线 上上的的位位移移延延续续。并并问问这这个个位位移移场场能能否满足运动延续性要求？否满足运动延续性要求？ 解：解：2 2 变形和运动变形和运动 运动为运动为 ， 。位移场

21、的延续是在公式中关于位移场的延续是在公式中关于 和和 的差值：的差值：所以位移的腾跃或延续为所以位移的腾跃或延续为其它任何地方的位移场都是延续的。其它任何地方的位移场都是延续的。 这这个个运运动动满满足足第第1414页页所所给给出出函函数数延延续续性性准准那那么么，由由于于不不延延续续仅仅仅仅发发生生在在一一条条线线上上，在在二二维维中中这这是是一一个个零零尺尺度度的的集集合合。从从图图中中可可以以看看出出，在在这这个个运运动动中中裂裂纹纹尖尖端端后后面面的的线线被被分分成成两两条条线线。在在设设计计运运动动时时也也能能够够该该线线并并不不分分别别，只只是是在在切切线线位位移移场场上上发发生生

22、延延续续。如如今今这这两两种种运运动动都都经经常常运运用用在在非线性有限元分析中。非线性有限元分析中。3 3 应变度量应变度量1.1.GreenGreen应变应变E E2.2.变形率张量变形率张量D D 许多多应变和和应变率率度度量量出出如如今今延延续介介质力力学学的的文文献献中中；然然而而，在在有有限限元元方方法法中中运运用用最最普普遍遍的的是是上上面面两两种种度度量量。在在描描画画本本构构方方程程时，假，假设需求，有需求，有时运用其它度量更加有利。运用其它度量更加有利。 对于于任任何何刚体体运运动( (含含刚体体转动) )，应变度度量量必必需需为零零。假假设在在刚体体转动中中应变度度量量不

23、不为零零，预示示着着有有非非零零应变，结果果导致致非非零零应力。下面看一个例子力。下面看一个例子3.63.6。一个一个单元元绕着原点着原点转动了了角。角。计算算线性性应变 例例3.6取它们对资料坐标求导取它们对资料坐标求导 假假设较大，伸大，伸长应变不不为零。零。 对对于于任任何何刚刚体体运运动动( (含含刚刚体体转转动动) )，应应变变度度量量必必需需为为零零。这这就就是是为为什什么么在在非非线线性性实实际际中中放放弃弃普普通通的的线线性性应应变变位位移移方方程程的的关关键要素。键要素。3 3 应变度量应变度量3 3 应变度量应变度量 下下面面将将看看到到在在刚体体转动中中E E和和D D为

24、零零。应变度度量量也也应该满足足其其它它的的准准那那么么，比比如如，当当变形形增增大大时它它也也相相应的的增增大大，等等等等。然然而而，可可以以表表示示刚体体运运动是是至至关关重重要要的的，并并且且指指明明什什么么时候候运运用用几几何何非非线性性实际。究竟多么大的究竟多么大的转动需求需求进展非展非线性分析？性分析？ 阐明明在在转动中中线性性应变的的误差差是是二二阶的的，线性性分分析析的的适适用用性性在于允在于允许误差的量差的量级，最，最终取决于感取决于感兴趣的趣的误差大小。差大小。因此，因此，线性性应变张量不能用于大量不能用于大变形形问题。 线性性分分析析的的适适用用性性那那么么在在于于可可以

25、以允允许误差差的的量量级，最最终取取决决于于感感兴趣趣的的应变的的大大小小。假假设感感兴趣趣的的应变量量级是是10-210-2，那那么么1 1的的误差差是是可可以以接接受受的的几几乎乎总是是这样。假假设感感兴趣趣的的应变卦卦小小，可可接接受受的的转动更更小小，对于于10-410-4量量级的的应变，为满足足1 1的的误差，差，转动必需是必需是10-3 10-3 弧度量弧度量级的。的。 这些些指指点点数数据据假假设平平衡衡解解答答是是稳定定的的，即即不不能能够发生生屈屈曲曲。然然而而，屈屈曲曲是是能能够的的，即即使使是是在在很很小小的的应变下下，所所以以当当能能够发生屈曲生屈曲时，应该运用能合运用

26、能合顺应付大付大变形的度量。形的度量。 3 3 应变度量应变度量3 3 应变度量应变度量GreenGreen应变张量定义应变张量定义 资资料料矢矢量量dXdX长长度度平平方方的的变变化化。GreenGreen应应变变度度量量了了当当前前( (变变形形) )构构形形和和参参考考( (未未变变形形) )构构形形中中一一个个微微小小段段长长度度的的平平方方的的差差。利利用用变变形形梯度公式梯度公式, ,将公式左边重新写成为矩阵方式将公式左边重新写成为矩阵方式 整理上面公式为整理上面公式为提出一样的项得到提出一样的项得到 对于任何对于任何dXdX都成立都成立3 3 应变度量应变度量GreenGreen

27、应变张量应变张量E E以位移的方式运用目的写法以位移的方式运用目的写法 代入上式，表示为位移梯度的方式代入上式，表示为位移梯度的方式 3 3 应变度量应变度量 在在任任何何刚体体运运动中中，GreenGreen应变张量量为零零，满足足了了应变度度量量的的一个重要要求。一个重要要求。 思索刚体运动思索刚体运动 由变形梯度由变形梯度F F 定义，绕原点纯转动时，给出为定义，绕原点纯转动时，给出为F FR R 证明见例证明见例3.2)3.2)式中转动张量满足正交性，式中转动张量满足正交性，R是正交矩阵是正交矩阵 GreenGreen应变张量应变张量E E第二个运动度量第二个运动度量D D，称为速度应

28、变，称为速度应变, , 是变形的率度量是变形的率度量, , 定义速度梯度定义速度梯度 3 3 应变度量应变度量变形率张量变形率张量D D速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为 令令变形率变形率( (对称对称) )转动转动( (反对称反对称) ) 二阶张量或方阵的规范分解：以上面的方式，任何一个二阶张量二阶张量或方阵的规范分解：以上面的方式，任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和反对称部分的和都可以表示为它的对称部分和反对称部分的和 所以所以没有没有变形，形，转动张量和角速度量和角速度张量相等：量相等：W。由速度梯度定由速度梯度定义，在，在刚

29、体运体运动中中变形率形率D0，所以，所以LW ，积分分其中其中xT和和vT是积分常数，对比刚体动力学公式：是积分常数，对比刚体动力学公式：得到得到 在在刚刚体体转转动动中中，转转动动和和角角速速度度张张量量是是一一样样的的。当当刚刚体体除除了了转动之外还有变形时，转动张量普通区别于角速度张量。转动之外还有变形时，转动张量普通区别于角速度张量。3 3 应变度量应变度量变形率张量变形率张量D D变形率是微小资料线段长度的平方的变化率度量变形率是微小资料线段长度的平方的变化率度量 证明在刚体运动中变形率证明在刚体运动中变形率D03 应变度量应变度量变形率张量变形率张量D3 3 应变度量应变度量变形率

30、的变形率的GreenGreen应变率方式应变率方式 将将变变形形率率与与GreenGreen应应变变张张量量的的率率联联络络起起来来，首首先先得得到到速速度度场场的的资料梯度，并经过链规那么表示为空间梯度的方式资料梯度，并经过链规那么表示为空间梯度的方式 取变形梯度取变形梯度 的资料时间导数的资料时间导数 运用运用链规那么展开恒等式那么展开恒等式得到 代入上面公式，有代入上面公式，有3 3 应变度量应变度量变形率的变形率的GreenGreen应变率方式应变率方式将变形率与将变形率与Green应变张量的率联络起来应变张量的率联络起来将变形率将变形率D前面点积前面点积FT，后面点积，后面点积F，得

31、到，得到 这两种度量是两种度量是对待一待一样过程的两种方式：程的两种方式：Green应变率是在参率是在参考构形中表达的，考构形中表达的，变形率是在当前构形中表达的。形率是在当前构形中表达的。 两种方式的性两种方式的性质的区的区别是，在例是，在例3.7中将会看到中将会看到Green应变率率对时间积分是与途径无关的，而分是与途径无关的，而变形率形率对时间积分是与途径有关的。分是与途径有关的。逆变换得到逆变换得到 前推运算前推运算后拉运算后拉运算例例3.5 3.5 拉伸和转动结协作用下的应变度量拉伸和转动结协作用下的应变度量 思索运动思索运动 其中其中a和和b是正常数。计算作为时间函数的变形梯度是正

32、常数。计算作为时间函数的变形梯度F，Green应变应变和变形率张量，并验证在和变形率张量，并验证在t0与与t1时的值。定义时的值。定义计算算变形梯度形梯度F 以以上上变形形包包括括同同时沿沿着着X和和Y轴资料料线的的拉拉伸伸和和单元元转动。在在任任何何时辰辰在在单元元中中的的变形形梯梯度度是是常常数数，应变度度量量也也是是常常数数。得得到到Green应变张量，由公式量，由公式给出出F，这样得到：得到：得到得到Green应变张量应变张量当当t0时，有时，有xX和和E0， 计算变形率，先获得速度，取运动的资料时间导数计算变形率，先获得速度，取运动的资料时间导数 在在t0时，时，xX，yY，c1，s

33、0，AB1，速度梯度在，速度梯度在t0时为时为 例例3.5 3.5 拉伸和转动结协作用下的应变度量拉伸和转动结协作用下的应变度量 为了确定变形率的时间历史，计算变形梯度的时间导数和逆为了确定变形率的时间历史，计算变形梯度的时间导数和逆 等式右边的第一项为哪一项变形率，由于它是速度梯度的对称部分，等式右边的第一项为哪一项变形率，由于它是速度梯度的对称部分，而第二项是转动，它是反对称部分。变形率在而第二项是转动，它是反对称部分。变形率在t1时给出为时给出为因此，当在中因此，当在中间步步骤中，剪切速度中，剪切速度应变是非零的，是非零的，在在t1时辰的构形中只需伸辰的构形中只需伸长的速度的速度应变是非

34、零的。是非零的。当当t1时辰的辰的Green应变率率经过对变形率后拉运算形率后拉运算给出出例例3.5 3.5 拉伸和转动结协作用下的应变度量拉伸和转动结协作用下的应变度量 一一个个单单元元阅阅历历了了图图示示的的变变形形阶阶段段。在在这这些些阶阶段段之之间间的的运运动动是是时时间间的的线线性性函函数数。计计算算每每一一阶阶段段的的变变形形率率张张量量D D，对对于于回回到到未未变形构形的整个变形循环，获得变形率的时间积分。变形构形的整个变形循环，获得变形率的时间积分。 例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 假假定定变变形形的的每每个个阶阶段段都都发发生生在在一一个个单单

35、位位时时间间间间隔隔内内。时时间间标定与结果无关，从构形标定与结果无关，从构形1 1到构形到构形2 2的运动为：的运动为：确定变形梯度确定变形梯度得到速度梯度和变形率为得到速度梯度和变形率为 例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 这这样样，变变形形率率就就是是一一个个纯纯剪剪切切，即即两两个个拉拉伸伸分分量量都都为为零零。由由公公式式(3.3.5)(3.3.5)得到得到GreenGreen应变为：应变为：比较上面两式，比较上面两式，E22E22非零，而非零，而D22D220 0，当，当a a为小量时，为小量时，E22E22也小。也小。从构形从构形2 2到构形到构形3 3

36、剪切与剪切与y y向拉伸的结合运动：向拉伸的结合运动：例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 从构形从构形3 3到构形到构形4 4纯剪切运动：纯剪切运动：从构形从构形4 4到构形到构形5 5y y向拉伸紧缩运动：向拉伸紧缩运动：在在构构形形5 5中中的的GreenGreen应应变变为为零零，由由于于在在t=4t=4时时的的变变形形梯梯度度是是单单位位张张量，量，F FI I。变形率对时间的积分给出为。变形率对时间的积分给出为例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 变变形形率率在在回回到到初初始始构构形形终终了了的的整整个个循循环环上上的的积积分分不不

37、为为零零。这这个个问问题题的的最最后后构构形形对对应应于于未未变变形形构构形形，所所以以应应变变的的度度量量应应该该为零，变形率的积分不为零，变形率的积分是途径相关的。为零，变形率的积分不为零，变形率的积分是途径相关的。 对对于于第第5 5章章描描画画的的次次弹弹性性资资料料，这这是是一一个个重重要要的的诠诠释释。它它同同时时也也暗暗示示变变形形率率的的积积分分不不是是整整个个应应变变的的一一个个很很好好的的度度量量。必必需需留留意意到到D D在在一一个个循循环环上上的的积积分分结结果果是是表表征征变变形形的的二二阶阶常常数数，所所以以只只需需这这些些常常数数非非常常小小，误误差差是是可可以以

38、忽忽略略不不计计的的。GreenGreen应应变变率率在在任任何何闭闭合合循循环环上上的的积积分分等等于于零零，由由于于它它是是GreenGreen应应变变E E的的时时间间导导数。换句话说，数。换句话说，GreenGreen应变率的积分是途径无关的。应变率的积分是途径无关的。 4 4 应力度量应力度量1 Cauchy应应力，力，2 名名义应义应力力张张量，量，P3 PK2应应力力张张量，量，S法向矢量通常在左边法向矢量通常在左边 以以Cauchy应应力力的的方方式式表表示示面面力力，称称为为Cauchy定定理理，或或者者Cauchy假假定定。它它包包括括当当前前外外表表的的法法线线和和面面力

39、力每每单单位位面面积积上上的的力力，称称为为物物理理应应力力或真实应力。例如，或真实应力。例如，Cauchy应力的迹，应力的迹， 这是是流流膂膂力力学学中中普普遍遍运运用用的的真真实压力力p。应力力度度量量P和和S的的迹迹没没有有给出出真真实压力力，由由于于它它们参参考考未未变形形的的面面积。运运用用商商定定，在在拉拉伸伸中中Cauchy应力力的的法向分量法向分量为正，由公式，在正，由公式，在紧缩时压力是正的。力是正的。 在角在角动量守恒中将看到，量守恒中将看到，Cauchy应力力张量是量是对称的，即称的，即T。4 4 应力度量应力度量1 Cauchy应应力，力，2 名名义应义应力力张张量，量

40、，P3 PK2应应力力张张量，量，S4 4 应力度量应力度量 名义应力名义应力P表示是在参考外表上的面积和法线，即未变形外表，表示是在参考外表上的面积和法线，即未变形外表，它的定义类似于它的定义类似于Cauchy应力的定义。名义应力是非对称的。应力的定义。名义应力是非对称的。名义应力的转置称作为名义应力的转置称作为PK1(第一第一Piola-Kirchhoff)应力。应力。 PK2应力为对称的，它和应力为对称的，它和Green应变率在功率上是共轭的。应变率在功率上是共轭的。PK2应力被广泛运用于途径无关资料，如橡胶应力被广泛运用于途径无关资料，如橡胶 (势能。势能。 在在Nanson关系中，当

41、前法线与参考法线经过下式联络起来关系中，当前法线与参考法线经过下式联络起来 为了阐明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以为了阐明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以Cauchy应力的方式建立名义应力的表达式。应力的方式建立名义应力的表达式。 经过经过Nanson关系关系4 4 应力度量应力度量由于上式对于恣意的n0都成立，所以有对于恣意的对于恣意的n0都成立，有都成立，有作矩阵变换作矩阵变换从公式可以看到，从公式可以看到， PPT (FFT)， 即名即名义应力力张量是非量是非对称的。称的。 Cauchy应应力，力，PK2应应力，名力，名义应义应力的关系力的关系 后拉后拉 前推前推 参考

42、构形参考构形S和和之之间间的关系，只依的关系，只依赖赖于于变变形梯度形梯度F和和J行列式行列式Jdet(F)只需只需变变形知，形知，应应力形状力形状总总可以表示可以表示为为 、P或者或者S的方式。的方式。可以看出，假可以看出，假设设Cauchy应应力力对对称，那么称，那么S也是也是对对称：称：SST 。在在物物体体中中的的每每个个点点都都构构造造了了一一个个坐坐标系系。这个个坐坐标系系随随着着资料料或或单元元一一同同转动。经过将将这些些张量量表表达达在在一一个个随随资料料而而转动的的坐坐标系中，很容易系中，很容易处置构造置构造单元和各向异性元和各向异性资料。料。 旋转应力和变形率旋转应力和变形

43、率 4 4 应力度量应力度量在旋在旋转方法中，用基矢量方法中，用基矢量变形率也表示形率也表示为其旋其旋转分量的方式，分量的方式，它可以从它可以从总体分量中得到，也可以直接从速度体分量中得到，也可以直接从速度场中得到。中得到。 4 4 应力度量应力度量旋转应力和变形率旋转应力和变形率 变形率也可以表示形率也可以表示为旋旋转分量分量现实上，速度现实上，速度v的正确梯度是的正确梯度是 旋转方法经常迷惑一些有阅历的力学任务者，他们把它解释为一种旋转方法经常迷惑一些有阅历的力学任务者，他们把它解释为一种用基矢量用基矢量 的曲线坐标系统，是的曲线坐标系统，是x的函数，从而会给出一个矢量的函数，从而会给出一

44、个矢量 错误地以为速度错误地以为速度v的梯度是的梯度是 每个点能够有不同的旋转系统每个点能够有不同的旋转系统 旋转旋转Cauchy应力和旋转变形率定义为应力和旋转变形率定义为4 4 应力度量应力度量旋转应力和变形率旋转应力和变形率 旋转旋转Cauchy应力张量与应力张量与Cauchy应力是同一个张量，应力是同一个张量，但是它被表示为随资料而转动的坐标系的分量方式。但是它被表示为随资料而转动的坐标系的分量方式。严厉的讲，一个张量不依赖于表示它的分量的坐标系。严厉的讲，一个张量不依赖于表示它的分量的坐标系。“戴帽子的那个坐戴帽子的那个坐标系是随着系是随着资料或料或单元运元运动的，的，有限元中普通定

45、有限元中普通定义三套坐三套坐标系系统：总体，体，单元，元，节点点例例3.8 平面问题平面问题 设给定初始形状的设给定初始形状的Cauchy应力和运动方式为应力和运动方式为应力嵌入在资料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动，应力嵌入在资料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动， 计算初始构形以及算初始构形以及t/2时构形的构形的PK2应力，名力，名义应力和旋力和旋转应力。力。 在初始形状，在初始形状，FI，有，有在在t/2时的的变形构形中，形构形中，变形梯度形梯度给出出为4 4 应力度量应力度量例：平面问题例：平面问题 由于由于应力是嵌入在力是嵌入在资料中，在料中，在转动t/2构形中的构形中的应力

46、形状力形状为由于由于这个个问题中的映射中的映射为纯刚体体转动，RF，所以当，所以当t/2时 在纯转动中，在纯转动中，PK2应力是不变的；应力是不变的；PK2应力行为好似是被嵌入在资料中。应力行为好似是被嵌入在资料中。资料坐标随着资料转动，而资料坐标随着资料转动，而PK2应力的分量一直与资料坐标的取向坚持关联。应力的分量一直与资料坐标的取向坚持关联。 5 5 守恒方程守恒方程假设假设 知识预备知识预备 是是C1延续的，且对于延续的，且对于 的任何子域的任何子域有有 那么在那么在上，上，对于任何于任何 有有 1. 1. 质量守恒质量守恒2. 2. 线动量守恒，常称为动量守恒线动量守恒，常称为动量守

47、恒3. 3. 能量守恒能量守恒4. 4. 角动量守恒角动量守恒5 5 守恒方程守恒方程1 1 质量守恒质量守恒 质量量守守恒恒要要求求恣恣意意资料料域域的的质量量为常常数数，没没有有穿穿过资料料域域的的边境境，不不思思索索质量到能量的量到能量的转化。根据能量守恒原理，化。根据能量守恒原理，m()的的资料料时间导数数为零，即零，即 资料域料域的的质量量为对上式运用上式运用Reynold转换定理得到定理得到由于上式由于上式对于恣意的子域于恣意的子域都成立，可以得到都成立，可以得到质量守恒方程，称其为延续性方程，是一阶偏微分方程。质量守恒方程，称其为延续性方程，是一阶偏微分方程。 5 5 守恒方程守

48、恒方程ReynoldReynold转换定理转换定理 一一个个积积分分的的资资料料时时间间导导数数是是在在资资料料域域上上积积分分的的变变化化率率。资资料料域域随随着着资资料料而而运运动动，在在边边境境上上的的资资料料点点一一直直坚坚持持在在边边境境上上，且且不不发发生生质质量量流流动动跨跨过过边边境境。资资料料域域类类似似于于Lagrangian网网格格；对对于于资资料料时时间间导导数数的的各种积分方式称为各种积分方式称为Reynold转换定理。转换定理。 将右边的两个积分转换到参考域上将右边的两个积分转换到参考域上 t是同一是同一资资料点在料点在t时时辰所占据的空辰所占据的空间间域。域。 积

49、分域经过这种变换，积分域经过这种变换，f 成为资料坐标的函数。成为资料坐标的函数。 积分域如今是分域如今是时间独立，将极限运算拉入独立，将极限运算拉入积分内分内进展，取极限得到展，取极限得到5 5 守恒方程守恒方程1 1 质量守恒质量守恒 独立的空间变量是资料坐标，被积函数中对时间的偏导数是资料时间导数独立的空间变量是资料坐标，被积函数中对时间的偏导数是资料时间导数 将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为Eulerian描画，给出描画，给出Reynold转换定理一种方式转换定理一种方式5 5 守恒方程守恒方程1 质量守恒质量守恒 Rey

50、nold转换定理另一种方式转换定理另一种方式对上式右边的第二项运用对上式右边的第二项运用GaussGauss定理定理 质量守恒方程质量守恒方程质量守恒方程的几种特殊方式质量守恒方程的几种特殊方式 5 5 守恒方程守恒方程(1) (1) 当资料不可紧缩时，密度的资料时间导数为零当资料不可紧缩时，密度的资料时间导数为零, , 即速度场的散度为零即速度场的散度为零 (2) (2) 对于对于LagrangianLagrangian描画，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程描画，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程 将上式左边的积分转换到参考域将上式左边的积分转换到参考域 代代数数方方程

51、程经经常常运运用用于于LagrangianLagrangian网网格格中中以以保保证证质质量量守守恒恒( (固固膂膂力力学学), ), 在在EulerianEulerian网网格格中中质质量量守守恒恒的的代代数数方方式式不不能能运运用用，经经过过偏偏微微分分方方程程，即即延续性方程保证质量守恒延续性方程保证质量守恒( (流膂力学流膂力学) )。5 5 守恒方程守恒方程2 2 线动量守恒线动量守恒 从线动量守恒原理得出的方程是非线性有限元程序中的一个关键方程。从线动量守恒原理得出的方程是非线性有限元程序中的一个关键方程。线动量守恒等价于线动量守恒等价于NewtonNewton第二运动定律，它将作

52、用在物体上的力与它的第二运动定律，它将作用在物体上的力与它的加速度联络起来。这个原理通常称为动量守恒原理，或动量平衡原理。加速度联络起来。这个原理通常称为动量守恒原理，或动量平衡原理。称称为为动动量量方方程程；也也称称为为线线动动量量平平衡衡方方程程。左左边边的的项项代代表表动动量量的的变变化化，称称为为惯惯性性或或运运动动项项。根根据据应应力力场场的的散散度度，右右边边的的第第一一项项为为哪哪一一项项每每单单位位体体积积的的净合内力。这种方式的动量方程均适用于净合内力。这种方式的动量方程均适用于LagrangianLagrangian格式和格式和EulerianEulerian格式。格式。

53、平衡方程平衡方程 平衡过程是静态的平衡过程是静态的, , 荷载缓慢施加到物体上，不包括加速度。荷载缓慢施加到物体上，不包括加速度。 动量和平衡方程都是张量方程动量和平衡方程都是张量方程, , 代表了代表了NSDNSD个标量方程。个标量方程。5 5 守恒方程守恒方程3 3 角动量守恒角动量守恒 用用位位置置矢矢量量x x叉叉乘乘相相应应的的线线动动量量原原理理中中每每一一项项，得得到到角角动动量量守恒的积分方式守恒的积分方式式中式中 角角动动量量守守恒恒方方程程要要求求CauchyCauchy应应力力为为对对称称张张量量。所所以以，在在二二维维问问题题中中CauchyCauchy应应力力张张量量

54、代代表表着着3 3个个不不同同的的相相关关变变量量，在在三三维维问问题题中中为为6 6个个。当当运运用用CauchyCauchy应应力力时时，角角动动量量守守恒恒不不会会产产生生任任何何附附加的方程。加的方程。 4 4 能量守恒能量守恒 5 5 守恒方程守恒方程 思思索索热力力学学过程程，仅有有的的能能量量源源为机机械械功功和和热量量。能能量量守守恒恒原原理理，即即能能量量平平衡衡原原理理，阐明明整整个个能能量量的的变化化率率等等于于膂膂力力和和面面力力做做的的功功加加上上由由热流量和其它流量和其它热源源传送到物体中的送到物体中的热能。能。 每每单位体位体积的内能用的内能用wintwint表示

55、，其中表示，其中wintwint是每是每单位位质量的内能。量的内能。 每每单位面位面积的的热流用矢量流用矢量q q表示，其量表示，其量纲是功率除以面是功率除以面积， 每每单位体位体积的的热源用源用ss表示。表示。 能能量量守守恒恒那那么么要要求求在在物物体体中中总能能量量的的变化化率率，包包括括内内能能和和动能能，等于所施加的力和在物体中由等于所施加的力和在物体中由热传导和任何和任何热源源产生的能量的功率。生的能量的功率。 5 5 守恒方程守恒方程4 4 能量守恒能量守恒 在域内由体在域内由体积力力, ,和在外表上由面力做的功率和在外表上由面力做的功率为在物体中在物体中总能量的能量的变化率化率

56、为 由由热源源s s和和热流流q q提供的功率提供的功率为 其中其中热流一流一项的符号是的符号是负的，由于正的的，由于正的热流是向物体外面流出的流是向物体外面流出的 能量守恒能量守恒 5 守恒方程守恒方程4 能量守恒能量守恒 即即物物体体内内总总能能量量的的变变化化率率包包括括内内能能和和动动能能等等于于外外力力的的功功率率和和由由热热流流及及热能源提供的功率。这是知的热力学第一定律。热能源提供的功率。这是知的热力学第一定律。 内内能能的的支支配配依依赖赖于于资资料料。在在弹弹性性资资料料中中，它它以以内内部部弹弹性性能能的的方方式式存存储储起起来来，并并在在卸卸载载后后完完全全恢恢复复；在在

57、弹弹塑塑性性资资料料中中，部部分分内内能能转转化化为为热热，部部分分由由于于资资料料内内部构造的变化而耗散了。部构造的变化而耗散了。 运运用用ReynoldReynold定定理理将将求求导导数数移移入入积积分分内内，然然后后将将面面积积分分转转换换为为域域积分积分 5 5 守恒方程守恒方程4 4 能量守恒能量守恒 将将CauchyCauchy定律和定律和GaussGauss定理运用于面力边境积分，得到定理运用于面力边境积分，得到 代入能量守恒公式，对热流积分运用代入能量守恒公式，对热流积分运用GaussGauss定理，并整理各项得到定理，并整理各项得到 动量方程量方程, ,为0 0 5 5 守

58、恒方程守恒方程4 4 能量守恒能量守恒 由域的恣意性由域的恣意性, ,得到能量守恒的偏微分方程得到能量守恒的偏微分方程 当没有热流和热源时，即为一个纯机械过程，能量方程成为当没有热流和热源时，即为一个纯机械过程，能量方程成为 这不不再再是是一一个个偏偏微微分分方方程程，它它以以应力力和和应变率率度度量量的的方方式式，定定义了了给予予物物体体单位位体体积的的能能量量变化化率率；称称为内内能能变化化率率或或内内部部功功率率。由由变形形率率和和CauchyCauchy应力的力的缩并并给出内部功率。出内部功率。变形率和形率和CauchyCauchy应力在功率上是耦合的。力在功率上是耦合的。 功功率率上

59、上的的耦耦合合有有助助于于弱弱方方式式的的建建立立：在在功功率率上上耦耦合合的的应力力和和应变率率的的度度量量可可以以用用于于构构造造虚虚功功原原理理或或虚虚功功率率原原理理，即即动量量方方程程的的弱弱方方式式。在在功功率率上上耦耦合合的的变量量也也可可以以说在在功功或或者者能能量量上上是是耦耦合合的的，但但是是经常常运运用用功功率率耦耦合合的的说法法，由于它更加准确。由于它更加准确。 5 守恒方程守恒方程6 Lagrangian6 Lagrangian守恒方程守恒方程 以以应力力和和应变的的LagrangianLagrangian度度量量方方式式，在在参参考考构构形形中中直直接接建建立立守守

60、恒恒方方程程是是有有益益的的。在在延延续介介质力力学学的的文文献献中中，这些些公公式式称称为LagrangianLagrangian描描画画，而而在在有有限限元元的文献中，的文献中，这些公式称些公式称为完全的完全的LagrangianLagrangian格式。格式。 对 于于 完完 全全 的的 LagrangianLagrangian格格 式式 ， 总 是是 运运 用用LagrangianLagrangian网网格格。在在LagrangianLagrangian框框架架中中的的守守恒恒方方程程与与刚刚建建立立的的守守恒恒方方程程根根本本上上是是一一致致的的；它它们只只是是以以不不同同的的变量量

61、表表示示。实践践上上将将看看到到，可可以以经过框框3.23.2中中的的转换关系和关系和链规那么得到它那么得到它们。 6 Lagrangian6 Lagrangian守恒方程守恒方程 在在完完全全的的LagrangianLagrangian格格式式中中，独独立立变量量是是资料料坐坐标X X和和时间t t。主主要要的的相相关关变量量是是初初始始密密度度0(X0(X，t)t)，位位移移u(Xu(X，t)t)以以及及应力和力和应变的的LagrangianLagrangian度量。度量。 运运用用名名义应力力P(XP(X，t)t)作作为应力力的的度度量量。这导致致动量量方方程程与与EulerianEul

62、erian描描画画的的动量量方方程程(3.5.33)(3.5.33)惊惊人人的的类似似，所所以以非非常常容容易易记忆。变形将形将经过变形梯度形梯度F(XF(X，t)t)描画。描画。 对于于构构造造本本构构方方程程，运运用用成成对的的P P和和F F不不是是特特别有有用用的的，由由于于F F在在刚体体运运动中中不不为零零，而而P P是是不不对称称的的。因因此此，本本构构方方程程通通常常表表示示为PK2PK2应力力S S和和GreenGreen应变E E的的方方式式。然然而而，经过框框3.23.2中中的的转换关关系系，S S和和E E之之间的的关关系系可可以以很很容容易易的的转换为P P和和E E

63、之之间的的关关系。系。6 Lagrangian6 Lagrangian守恒方程守恒方程7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性目的是讨论刚体转动的作用：目的是讨论刚体转动的作用：表述极分解定理，该定理可以从任何运动中得到刚表述极分解定理，该定理可以从任何运动中得到刚体转动。体转动。思索刚体转动对于本构方程的影响。证明对于思索刚体转动对于本构方程的影响。证明对于Cauchy应力，需求对时间导数进展修正建立率应力，需求对时间导数进展修正建立率本构方程。这就是框架不变性或者应力的客本构方程。这就是框架不变性或者应力的客观率。观率。表述三种框架不变率：表述三种框架不变率：Jaumann率。率。Tr

64、uesdell率率和和GreenNaghdi率。率。展现了由于次弹性本构方程和这些不同变化率的错展现了由于次弹性本构方程和这些不同变化率的错误运用，在结果中的惊人误差。误运用，在结果中的惊人误差。 极分解定理极分解定理 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性 在在大大变变形形问问题题中中，阐阐明明转转动动作作用用的的根根本本原原理理就就是是极极分分解解定定理理。这这个个定定理理表表述述为为，任任何何变变形形梯梯度度张张量量F可可以以乘乘法法分分解解为为一一个个正正交交矩矩阵阵R和和一一个个对对称张量称张量U的乘积，称的乘积，称U为右伸长张量为右伸长张量 (先伸长再转动先伸长再转动)。 物

65、物体体的的任任何何运运动包包括括一一个个变形形，由由对称称映映射射U表表示示，和和一一个个刚体体转动R；一一切切的的正正交交变换都都是是转动。在在这个个方方程程中中没没有有出出现刚体体平平动，由由于于dx和和dX分分别是是在在当当前前和和参参考考构构形形中中的的微微分分线段段，而而且且微微分分线段段的的映映射射不不受受平平动的影响。的影响。 假假设将将方方程程积分分得得到到x(X,t)的的方方式式，那那么么刚体体平平动将将作作为一一个个积分分常数出常数出现。在。在刚体平体平动中，中，FI，和，和dxdX。其中其中 有有 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性极分解定理证明极分解定理证明

66、得到得到 右边总是一个正矩阵，所以矩阵右边总是一个正矩阵，所以矩阵U的一切特征值总是正值，故的一切特征值总是正值，故U的逆矩阵存在的逆矩阵存在矩阵矩阵U与工程应变联络得非常严密。它的主值是在矩阵与工程应变联络得非常严密。它的主值是在矩阵U的主方向上线段的的主方向上线段的伸长。其吸引人之处在于建立本构方程。张量伸长。其吸引人之处在于建立本构方程。张量UI 称为称为Biot应变张量。应变张量。一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的方式一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的方式称称V为左伸长张量先转动再伸长。为左伸长张量先转动再伸长。 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性经过

67、极分解定理分别求在经过极分解定理分别求在t1.0 和和 t0.5 时的刚体转动和伸长张量时的刚体转动和伸长张量 思索三角形单元的运动，其中节点坐标思索三角形单元的运动，其中节点坐标xI (t)和和yI (t)分别为分别为 例例3.10 3.10 在面积坐标的方式下，运动描画为在面积坐标的方式下，运动描画为 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性将面积坐标表示为资料坐标将面积坐标表示为资料坐标 ，t=1时辰时辰变形梯度变形梯度 伸长张量伸长张量U 例例3.10 3.10 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性转动矩阵转动矩阵R R 这个个转动是一个逆是一个逆时针90的旋的旋转 这个个

68、变形形包包含含节点点1和和3之之间线段段的的伸伸长，放放大大系系数数为2U11，和和节点点3和和2之之间线段段的的缩短短，放放大大系系数数为0.5见U22，导致致沿沿x方向方向发生平移生平移3a和和90的旋的旋转 在式在式(E3.10.1)中取中取t1所表示的运所表示的运动 例例3.10 3.10 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 思索率本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律思索率本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律Cauchy应力张量为什么需求客观率？应力张量为什么需求客观率？ 本构方程有效本构方程有效吗？ 7 7 极分解和框

69、架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 回答能否回答能否认的，的， 思思索索图中中的的杆杆，在在初初始始构构形形中中所所受受的的应力力为x0。如如今今假假设杆杆以以恒定恒定长度度转动，所以不存在，所以不存在变形，即形，即D0。 回回想想在在刚体体运运动中中初初始始应力力或或预应力力嵌嵌入入在在固固体体中中的的形形状状，即即在在刚体体转动中中没没有有发生生变形形，察察看看者者所所看看到到的的随随着着物物体体运运动的的应力力在在单元坐元坐标系中也不系中也不应该变化。化。 在在固固定定坐坐标系系下下，Cauchy应力力的的分分量量在在转动中中将将发生生变化化，所所以以应力力的的资料料导数数必必需需是

70、是非非零零的的。但但是是，对于于纯刚体体转动，在在整整个个运运动过程程中中公公式式的的右右边将将为零零，由由于于曾曾经证明明了了在在刚体体运运动中中变形形率率为零零。因因此此，在公式中一定是漏掉了什么在公式中一定是漏掉了什么东西：西：D0，但是，但是D/Dt不不应该为零！零！ 公公式式的的缺缺乏乏在在于于它它不不能能解解释资料料的的转动。经过应力力张量量的的客客观率率可以解可以解释资料的料的转动；称；称为框架不框架不变率。率。思索三种客思索三种客观率：率：JaumannJaumann率，率，TruesdellTruesdell率，率，GreenGreenNaghdiNaghdi率。率。框架不框

71、架不变性的中心是性的中心是应力的力的( (变化化) )资料料导数不受数不受刚体位移的影响。体位移的影响。 一一切切这些些都都运运用用于于当当前前的的有有限限元元软件件中中，如如ABAQUSABAQUS。还有有许多多其其它的客它的客观率将在后面率将在后面讨论。7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 黄先生书描画固体本构大变形给出黄先生书描画固体本构大变形给出3 3种定义：种定义：1 1 SO(Simo-Ortiz)SO(Simo-Ortiz)定定义义来来自自于于GreenGreenNaghdiNaghdi率率本本构构模模型型，只只不不过过将将后后者者从从参参考考构构型型前前推推

72、到到卸卸载载构构形形( (令令温温度度和和构构造造不不变变，应力全部卸除后的剩余变形，也称为中间构形应力全部卸除后的剩余变形，也称为中间构形) )和当前构型；和当前构型；MOS(Moran-Ortiz-Shih)MOS(Moran-Ortiz-Shih)本本构构实实际际来来自自于于JaumannJaumann率率，将将变变形形张张量量分分解解为为对对称称( (平平动动) )和和反反对对称称部部分分( (转转动动) )。在在中中间间构构形形建建立立本本构构关关系系，把把中中间间构构形形中中的的GreenGreen应应变变率率定定义义为为弹弹性性变变形形率率D D，dE/dtdE/dtD D既反映

73、了当前构形、也反映了中间构形的变化。既反映了当前构形、也反映了中间构形的变化。RH(Rice-Hill)RH(Rice-Hill)与与SOSO的的差差别别是是不不分分别别定定义义GreenGreen应应变变的的弹弹性性和和塑塑性部分，而是分解性部分，而是分解GreenGreen应变率为弹性和塑性部分。应变率为弹性和塑性部分。 Cauchy Cauchy应力与应力与JaumannJaumann率构成率构成ABAQUSABAQUS的中心部分。的中心部分。7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 Cauchy应力的应力的Jaumann率率 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性

74、一个适当的次弹性本构方程给出为一个适当的次弹性本构方程给出为 Cauchy应力张量的资料率应力张量的资料率 资料料呼呼应被被指指定定为一一个个客客观应力力率率的的方方式式，这里里是是Jaumann率率。Cauchy应力力的的资料料导数数由由两两部部分分组成成：由由于于资料料呼呼应的的变化化率率，反反映映在客在客观率中，和由于率中，和由于转动的的应力力变化，化，对应于公式中的最后两于公式中的最后两项 。 Jaumann率率的的中中心心是是扣扣除除由由转动引引起起的的应力力变化化，仅为变形形引引起起的的应力，力，应力的客力的客观性是指性是指应力不受坐力不受坐标变化的影响。化的影响。小小变形形大大变

75、形形7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性例例3.12 思思索索一一个个物物体体在在xy平平面面内内以以角角速速度度绕原原点点转动，原原始始构构形形如如图。运运动为刚体体转动。运运用用Jaumann率率计算算Cauchy应力力的的资料料时间导数数，并将其并将其积分得到关于分得到关于时间函数的函数的Cauchy应力。力。7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性经过速度梯度经过速度梯度L的方式计算转动的方式计算转动 基于基于Jaumann率的资料时间导数给出为刚体转动率的资料时间导数给出为刚体转动D0资料时间导数改动为普通导数资料时间导数改动为普通

76、导数 例例3.12 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性可见，可见，Cauchy应力的资料时间导数是对称的，三个普通微分方程为应力的资料时间导数是对称的，三个普通微分方程为 初始条件为初始条件为微分方程的解为微分方程的解为 验证解的正确性验证解的正确性 例例3.12 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性这个解答个解答对应于旋于旋转应力力的恒定形状，假的恒定形状，假设我我们使旋使旋转应力力给出出为微分方程的解为微分方程的解为 公式给出了在整体坐标系下的公式给出了在整体坐标系下的Cauchy应力分量应力分量 t= 0t= 90o可见，应力的变化不受刚体位移的影响，保证了客观性。可见，应力的

77、变化不受刚体位移的影响，保证了客观性。例例3.12 在在刚体体运运动中中初初始始应力力或或预应力力嵌嵌入入在在固固体体中中，即即在在刚体体转动中中由由于于变形形没没有有发生生变化化，察察看看者者所所看看到到的的随随着着物物体体运运动的的应力也不力也不应该变化。化。 单元元坐坐标系系：在在刚体体转动中中，JaumannJaumann率率改改动着着CauchyCauchy应力力，从从而而使使旋旋转应力力坚持持为常常数数。所所以以经常常称称JaumannJaumann率率为CauchyCauchy应力力的的旋旋转率率。在在刚体体转动中中，TruesdellTruesdell，JaumannJauma

78、nn，GreenGreenNaghdiNaghdi和旋和旋转应力率是一致的。力率是一致的。 在在刚体体转动中，中， Jaumann率的作用：率的作用：在在固固定定坐坐标系系中中保保证Cauchy应力力的的分分量量在在转动中中发生生变化化，应力的力的资料料时间导数非零；数非零；在在旋旋转坐坐标系系中中保保证Jaumann率率改改动着着Cauchy应力力，从从而而使使旋旋转应力力坚持持为常数。常数。 中心作用是中心作用是应力力变化不受化不受刚体位移的影响体位移的影响7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性例例3.137 极分解和框架不变性极分解和框架不变性 思索处于剪切形状的一个单元，如下图。对于

79、次弹性各向同性资思索处于剪切形状的一个单元，如下图。对于次弹性各向同性资料，运用料，运用Jaumann，Truesdell和和GreenNaghdi率求出剪切应力率求出剪切应力 途途径径无无关关的的程程度度作作为评价价资料料弹性性模模量量的的度度量量。次次弹性性资料料是是途途径径无无关关程程度度最最弱弱的的，应力力途途径径无无关关，能能量量不不是是途途径径无无关关，服服从从Cauchy弹性。性。 对对于于不不同同客客观观率率采采用用了了一一样样的的资资料料常常数数，其其差差别别是是非非常常大大的的。现现实实上上，这这是是误误用用了了资资料料模模型型。资资料料模模型型必必需需根根据据不不同同的的

80、率率转转换换。这这是是变变形形体体，假假设设是是刚刚体体转转动动，D0，Jaumann率与率与Truesdell率是一致的。见公式率是一致的。见公式(3.7.13)7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性例例3.13 框框架架不不变变性性的的中中心心是是应应力力的的变变化化资资料料导导数数不受刚体位移的影响。不受刚体位移的影响。 CauchyCauchy应应力力的的一一个个客客观观率率，与与在在资资料料率率中中已已思思索索转转动动的的应应力力场场的的变变化化率率在在瞬瞬时时上上是是一一致致的的。因因此此，假假设设采采用用随随资资料料转转动动的的应应力力度度量量，例例如如旋旋转转应应力力或或PK2PK2应应力力，那那么么我我们们可可以以得得到到一一个个客客观观应应力力率率。这这不是建立客观率的最普通的框架。不是建立客观率的最普通的框架。 对对于于彼彼此此相相对对转转动动的的察察看看者者所所察察看看到到的的应应力力率率必必需需是是不不变变的的，在在运运用用某某种种客客观观性性的的意意义义上上提提供供了了普通的框架。普通的框架。7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性