定积分的换元积分和分部积分

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1、3.3 3.3 定积分的分部积分和换元积分定积分的分部积分和换元积分 3.3.1 定积分的换元积分定积分的换元积分 3.3.2 定积分的分部积分定积分的分部积分 定理定理2 微积分学基本定理微积分学基本定理 复习复习 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数函数 f(x)的一个原函数的一个原函数F(x)，然后计算原函数在，然后计算

2、原函数在区间区间a,b上的增量上的增量F(b)F(a)即可即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.例例1 求求 解解例例2 求求 解解例例3 3计算计算，其中解解例例4计算由曲线计算由曲线 、直线、直线 x=2 与与x轴围成轴围成的图形的面积的图形的面积解由定积分的几何意义，得解由定积分的几何意义，得定理定理 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，若上连续，若满足下列三个条件：满足下列三个条件：5.3.1 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.(

3、2)当当t在在与与之间变化时，之间变化时， 单调变化且单调变化且 连续，则连续，则5.3 5.3 定积分的积分方法定积分的积分方法注意：注意：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即相应的变换，即“换元必换限换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量不必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能新变元的积分限可能，也可能，也可能，但一定要求，但一定要求满足满足 ，即，即 对应于对应于 ， 对应于对应于 .例例1 求求解解方法二方法二注注: : 用第一类换

4、元法即凑微分法计算一些定积分时，可用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量以不引入中间变量例例2 2 计算计算解解= 注注 用第二类换元法计算定积分时，由于用第二类换元法计算定积分时，由于引引入了新的积分变量，因此，必须根据引入的入了新的积分变量，因此，必须根据引入的变量代换，相应地变换积分限变量代换，相应地变换积分限 例例3 求求解解例例4证明证明 例例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算称区间上的定积分的计算.例例5 5 求求解解例例6 证明证明证明证明5.3.2 分部积分法分部积分法例例7 求求解解例例8 求求解解例例 计算计算 解解例例9 求求解解小 结 定积分的计算定积分的计算 1、牛顿、牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式 2、定积分的性质、定积分的性质 3、定积分的换元积分法、定积分的换元积分法 4、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法