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1、4.4 相似三角形的性质相似三角形的性质 及其应用（及其应用（1）某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为马路旁边原有一个面积为100100平方米，周长为平方米，周长为8080米米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边个角，变成了一个梯形，原绿化地一边ABAB的长由的长由原来的原来的3030米缩短成米缩短成1818米米. .现在的问题是现在的问题是: :被削去的被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？部分面积有多大？它的周长是多少？ 你能够将上面生活
2、中的问题你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？转化为数学问题吗？DE30m18mBCA在在8888的正方形网格中，的正方形网格中，ABCAABCA/ /B B/ /C C/ /，探究下面探究下面 的问题：的问题：1 1、两个相似三角形的相似比是多少？、两个相似三角形的相似比是多少？2 2、两个相似三角形两个相似三角形的周长比是多少？的周长比是多少？3 3、两个相似三角形两个相似三角形的面积比是多少？的面积比是多少？4 4、两个相似三角形的周长之比与相似比、两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什么关有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？系？相似三角形的周长比等于相
3、似比，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方B/C/A/B BA AC C验一验：验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？D DD D/B/C/A/B BA AC C相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方 求证求证:已知已知: :ABCAABCA/ /B B/ /C C/ /，相似比为，相似比为k k,证明：证明：ABCAABCA/ /B B/ /C C/ /且相似比为且相似比为k kAB=AB=kA A
4、/ /B B/ /，BC=BC=kB B/ /C C/ /，AC=AC=kA A/ /C C/ /B/C/A/B BA AC C证明：作证明：作BCBC、B B/ /C C/ /边上的高边上的高ADAD、A A/ /D D/ /ABCAABCA/ /B B/ /C C/ /D DD D/已知已知: :ABCAABCA/ B B/ /C C/ /，相似比为，相似比为k, ,求证求证: := =kk=k2 2B/C/ A/B BA AC CD DD D/相似三角形的对应边上的高之比等于相似比相似三角形的对应边上的高之比等于相似比已知已知: :ABCAABCA/ /B B/ /C C/ /，相似比为
5、，相似比为k, , AD AD、A A/ /D D/ /分别是分别是BCBC、B B/ /C C/ /边上的高边上的高求证求证: :相似三角形对应边上的中线之比等于相似比相似三角形对应边上的中线之比等于相似比相似三角形对应边上的角平分线之比等于相似比相似三角形对应边上的角平分线之比等于相似比你能类比你能类比证明吗证明吗? ?1 1、已知两个三角形相似，请完成下列表格、已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比相似比周长比周长比面积比面积比2 24 410010010010010000100002 2注意：周长比等于相似比，已知相似比或周长注意：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要比，
6、求面积比要平方平方，而已知面积比，求相似，而已知面积比，求相似比或周长比则要比或周长比则要开方开方。三者知道其中一个就可。三者知道其中一个就可以求出另外两个。以求出另外两个。mmm2k 在在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长三角形的边长,周长周长,面积面积,角角,哪些放大为哪些放大为10倍倍?答答:三角形的边长三角形的边长,周长放大为周长放大为10倍倍.三角形的面积放大为三角形的面积放大为100倍倍.三角形的角大小不变三角形的角大小不变.BACDE解解: :如图，已知如图，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m,DE/BC,AB=
7、30m,BD=18m,ABCABC的周长为的周长为80m80m，面积为，面积为100m100m2 2, ,求求ADEADE的周长和面积的周长和面积30m18mABCEF变变3 3：如图，已知如图，已知ABC,EFBC,ABC,EFBC,与与ABAB、ACAC分别交与点分别交与点E E、F F，把，把ABCABC划分划分成两部分（三角形与四边形）的成两部分（三角形与四边形）的面积之比为面积之比为1 1：1 1，则，则AEAE：AB=?AB=?如果要使划分成的两部分的面积之比为如果要使划分成的两部分的面积之比为1 1：2 2，则则AEAE：AB=?AB=?如果要使划分成的两部分的面积之比为如果要使
8、划分成的两部分的面积之比为1 1：n n，则则AEAE：AB=?AB=?D1:1:1:1:1:1:E EF F30cm18cmB BC CA A变变4:4:如图，已知如图，已知EF/BCEF/BC，AC=30cmAC=30cm，FC=18cmFC=18cm，ABCABC的周长为的周长为80cm80cm，面积为，面积为100cm100cm2 2，求，求AEFAEF的周长和面的周长和面积积过过F F作作FP/ABFP/AB交交BCBC于于P,P,其他条件其他条件不变，则不变，则FPCFPC的面积等于多少的面积等于多少？P P2 2、如图，、如图，ABCABC中，中，EFBC,PFABEFBC,PF
9、AB，若设，若设S SABCABC=S=S， S SAEFAEF=S=S1 1，S SFCPFCP=S=S2.2.请猜想：请猜想：S S与与S S1 1、S S2 2之间存之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？在怎样的关系？你能加以验证吗？ABCE EF FP PACBPFMNGEDS3S1S2 如图如图，DE/BC,FG/AB,MN/AC, DE/BC,FG/AB,MN/AC, 且且DEDE、FGFG、MNMN交于点交于点P P。若记若记S SDPM= S1, S SPEF= S2, S SGNP= S3S SABC= S、S与与S1、 S2、S3之间是否也有之间是否也有类似结论？猜想并加以验
10、证。探究探究例例: :如图如图, ,是某市部分街道图，比例尺为是某市部分街道图，比例尺为1 1：10 00010 000；请；请估计三条道路围成的三角形地块估计三条道路围成的三角形地块ABCABC的实际周长和面积。的实际周长和面积。其中测得：，其中测得：， ，高，高C C解：解：ABCABC的周长的周长三角形地块的实际周长为三角形地块的实际周长为9.7109.7104 4cmcm，即，即970m970mSSABCABC（cmcm2 2）三角形地块的实际面积为三角形地块的实际面积为4.18104.18108 8cmcm2 2，即，即41800m41800m2 2D D答：估计三角形地块的周长为答
11、：估计三角形地块的周长为970cm970cm，实际面积为，实际面积为41800m41800m2 2。A AB BABC如图，如图，E E、F F分别是分别是ABAB、ACAC上的点上的点,EFBC,EFBC，AE:AB=1:3AE:AB=1:3EF（1 1）若）若BC=9cm,EF=_BC=9cm,EF=_（2 2）AEFAEF与与ABCABC的周长之比的周长之比 =_ =_（3 3）AEFAEF与与ABCABC的面积之比的面积之比 =_ =_EF变变1:1:当当AFE=BAFE=B，AF=2,AB=5AF=2,AB=5时，你能得到哪些结论？时，你能得到哪些结论？若若ADBCADBC于点于点D
12、,AGEFD,AGEF于点于点G,G,求求AD:AGAD:AG的值的值. .DG变变2 2：若：若EFBCEFBC，AE:EB=1:2,ADBCAE:EB=1:2,ADBC于点于点D,D,交交EFEF于点于点H,H, AD=6cm, AD=6cm,求求AHAH的长的长. .H H3cm3cm1 1：3 31 1：9 95 5：2 22cm2cm2 25 51 1、相似三角形的性质：、相似三角形的性质：这些知识你掌握了吗？这些知识你掌握了吗？3 3、运用相似三角形的性质解决简单的几何问题、运用相似三角形的性质解决简单的几何问题相似三角形的相似三角形的对应周长之比对应周长之比= =相似比相似比对应
13、高之比对应高之比= =相似比相似比对应中线比对应中线比= =相似比相似比对应角平分线比对应角平分线比= =相似比相似比对应面积之比对应面积之比= =相似比的相似比的平方平方2 2、相似比、周长比、面积比中知道其中一个可以求、相似比、周长比、面积比中知道其中一个可以求 另两个量另两个量1、ABCABC中，中，AEAE是角平分线，是角平分线，D D是是ABAB上的上的一点，一点，CDCD交交AEAE于于G G，ACD= ACDACD _.它们的相似比它们的相似比K =_,ABCEDGABCE EF FG GH HJ JK K 2 2、如图，、如图，ABCABC中，中，EFGHBC,EFGHBC,
14、AE=EG=GB,AEF AE=EG=GB,AEF、四边形、四边形 EFHG EFHG、四边形、四边形GHCBGHCB的面积的面积 依次记为依次记为S S1 1、S S2 2、S S3 3。 则则 S S1 1:S:S2 2:S:S3 3=?=?如果延长如果延长ABAB、ACAC，使，使EFGHBCJK,AE=EG=GB=JK,EFGHBCJK,AE=EG=GB=JK,四边形四边形BCKJBCKJ的面积为的面积为S S4 4, ,则则S S1 1:S:S2 2:S:S3 3:S:S4 4=?=?S S1 1S S2 2S S3 3S S4 4其余条件不变，其余条件不变，AE:EG:GB=1:2
15、:3,AE:EG:GB=1:2:3,则则S S1 1:S:S2 2:S:S3 3=?=?挑战自我挑战自我 如图，如图，ABCABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120BC=120毫米，高毫米，高AD=80AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在使正方形的一边在BCBC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在ABAB、ACAC上，上，这个正方形零件的边长是多少？这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形。设正方
16、形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为PNBC，所以，所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。80x80=x120在在Rt ABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（3）如图）如图3，三角形内有并排的三，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形个相等的正方形，它们组成的矩形内接于内接于 ABC，求正方形的边长。，求正方形的边长。（2）如图）如图2，三角形内有并排的两，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形个相等的正方形，它们组成的矩形内接于内接于 ABC，求正方形的边长，求正方形的边长（1）如图）如图1，四边形，四边形DEFG为为 ABC的内接正方形，求正方形的边长。的内接正方形，求正方形的边长。CEDBAFGCEDBAFGKHCBA（4）如图）如图4，三角形内有并排的，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节个正方形，它们组成的矩形内节于于 ABC，请写出正方形的边长。，请写出正方形的边长。CEDBAFGCEDBAFGKHCBACBA
