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1、我们知道：我们知道：ab xyo1面积表示为定积分的步骤如下：面积表示为定积分的步骤如下：（3） 求和，得求和，得S的近似值的近似值2ab xyo（4） 求极限，得求极限，得S的精确值的精确值提示：提示：面面积积元元素素“大化小大化小, , 常代变常代变, , 近似和近似和, , 取极限取极限”3元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：45这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法（微元法）元素法（微元法）应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；经济学上的应用等平面图形的面积；体积；经济学上的应用等6二、平面图形的面积789x O y a b 1011解解 两曲线的交点，两曲线的交点，面积微元面积微
2、元选选 为积分变量为积分变量解方程组解方程组注：注： 被积函数为上被积函数为上- -下，上为下，上为 下为下为12解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量13解解两曲线的交点两曲线的交点s1s214如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积15解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积16 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转
3、体的体积三、旋转体的体积1. 1. 旋转体的定义旋转体的定义17xyo旋转体的体积为旋转体的体积为2.2.曲边梯形绕曲边梯形绕x x轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积18193.3.曲边梯形绕曲边梯形绕y轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积20解解 由对称性只需考虑第一象限内由对称性只需考虑第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转产生的曲边梯形绕坐标轴旋转产生的旋转体的体积的旋转体的体积21同理可得：同理可得：22解解体积元素为体积元素为234 4、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
4、体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积为立体体积为24最大利润问题：最大利润问题： 设利润函数设利润函数 (x)=R(x)-C(x),其中其中x为产量，为产量，R(x)是收益函数是收益函数,C(x)是成本函数，若是成本函数，若 (x),R(x),C(x)均可导，则使均可导，则使 (x)取得最大值的取得最大值的产量产量x应满足应满足 (x)=R (x)-C (x)即即R (x)=C (x) .因此总因此总利润的最大值在边际收入等于边际成本时取得利润的最大值在边际收入等于边际成本时取得四、四、 经济应用举例经济应用举例 25解解 由于由于故利润微分元素为故利润微分元素为产量为产量为x0时，利润为时，利润为例例1 设设某某公公司司产产品品生生产产的的边边际际成成本本C (x)=x-18x+100,边际收益为边际收益为R (x)=200-3x,试求公司的最大利润试求公司的最大利润26另一方面另一方面,令令 (x)=0得得 又又当当x=20时时， 故故x=20时时，利利润润取得最大值，最大利润为取得最大值，最大利润为2728293031
