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1、第三章连续函数3.13.1连续函数连续函数3.23.2连续函数的性质连续函数的性质3.1 3.1 连续函数的概念连续函数的概念一、连续函数的概念二、例题三、间断点的分类一、连续函数的概念定义 设函数 在 有定义,若函数 在a存在极限,且极限就是 即 则称函数 在 连续, 是连续函数 的 连续点。说明：1. 函数 在 连续必须满足以下1. 函数在一点的连续性定义三个条件： （1）.函数 在 有定义； （2）. 存在； （3）. 2. 函数 在 连续比函数 在 存在极限有更高的要求。因为例如： 在 处连续,这是又如：函数在 处不连续 ，这是因为证证 因为因为例例 所以所以并且并且 是是 的一个可去
2、间断点的一个可去间断点. .极限极限这是例:因为2.函数 在一点 连续的等价定义 定义定义2如果如果对对任意的存在任意的存在 当时当时应的函数应的函数( (在在 y0 处处) )的增量的增量函数 在一点 连续定义3).0= =3(0lim D DD Dyx为狄利克雷函数为狄利克雷函数.证证注意注意:上述极限式绝不能写成上述极限式绝不能写成例例1由上面的定义和例题应该可以看出由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点函数在点 x03.函数在一点左函数在一点左(右右)连续的定义连续的定义:要要求求这这个个极极限限值值只只能能是是函函数数在在该该点点的的函函数数值值.极极限限存存在在是是函函数数连连
3、续续的的一一个个必必要要条条件件)，而而且且还还x0 连连续续，那那么么它它在在点点 x0 必必须须要要有有极极限限(这这就就是是说说,有有极极限限与与在在点点 x0 连连续续是是有有区区别别的的. 首首先先 f (x) 在在点点定义定义4很很明显明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函由左、右极限与极限的关系以及连续函数数0既是左连续，又是右连续既是左连续，又是右连续. .点点x定理定理f 在在有定义，若有定义，若的的定定义义可可得得：例例 讨论函数讨论函数解解 因为因为综上所述综上所述, ,所以所以, ,4.函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性定义定义 若函数 在区间上每一点都连续(
4、若区间I左(右)端点属于I,函数 在左(右)端点右连续).则称函数 在区间上连续。二、间断点的分类定义定义定义定义. .若若f 在点在点 x0 无定义无定义, ,或者在点或者在点 x0有定义但却有定义但却由此由此, ,根据函数极限与连续之间的联系根据函数极限与连续之间的联系, 如果如果 f 在在点点 x0 不不连连续续, 则则必必出出现现下下面面两两种种情情况况之之一一:或或不不连连续续点点.在在该该点点不不连连续续, ,那那么么称称点点 x0 为为函函数数的的一一个个间间断断点点1不连续点（间断点）定义等于等于f (x0).根据上面的分析根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：我们对间断
5、点进行如下分类：(1)第一类间断点 可去间断点可去间断点: 若若一个可去间断点一个可去间断点. .2间断点及其分类注注 x0 是是 f 的的跳跃间断点与函数跳跃间断点与函数 f 在点在点 x0 是是否有定否有定 点点. . 2.2.第二类间断点第二类间断点: :若若 f 在点在点 x0 的左、右极限至少有一个不存在的左、右极限至少有一个不存在, 可可去去间间断断点点和和跳跳跃跃间间断断点点统统称称为为第第一一类类间间断断点点. .义义无无 关关 . .跳跃间断点:若证证 因为因为例例所以所以并且并且 是是 的一个可去间断点的一个可去间断点. .注注 1.例例 讨论函数讨论函数在在 x = = 0 处处是否连续？若不连续，则是什么类型的是否连续？若不连续，则是什么类型的2. .若若点点x0是是 的的可可去去间间断断点点, ,那那么么只只要要重重新新定定 x0 连续连续.间断点？间断点？ 所以所以 f (x) 在在 x = = 0 处右连续而不处右连续而不左连续左连续, ,从而不从而不解解 因为因为断断点点是是跳跳跃跃间间断断点点. 连连续续. 既既然然它它的的左左、右右极极限限都都存存在在，那那么么这这个个间间例例解解 因为由归结原理可知，因为由归结原理可知，均不存在，均不存在，点？点？
