周衍柏理论力学课件可修改版本

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1、周衍柏理论力学课件可修改版本第一页，共106页。内容摘要周衍柏理论力学课件可修改版本。理论力学：两个深化两个面向。理论力学是研究宏观物体低速运动情况机械运动(即一个物体。亚里士多德 (前384-前322)。i为径向单位矢, 沿径向。F+(-ma )=ma第二页，共106页。预备知识:普通力学+高等数学理论力学：两个深化两个面向方法上: 严谨的数学描述理论体系上：经典力学面向学科发展前沿和应用面向实际体系2021/3/203第三页，共106页。学习内容：第一章：质点力学（20学时） 第二章：质点组力学（10学时） 第三章：刚体力学（24学时） 第四章：非惯性系动力学（8学时） 第五章：分析力学（

2、12学时）2021/3/204第四页，共106页。学习成绩： 平时成绩（20）其中考试成绩（20）+期末（60%）期末考试：闭卷 平时作业:1. 习题 （周衍柏理论力学）2.Project 报告 （基于阅读多篇文献后的读书报 告，必须附文献）提交方式：书面 或 电子（PDF or PS 格式）（独立完成）2021/3/205第五页，共106页。绪 言Nature and natures law lay hid in night: God said: let Newton be!And all was light！自然和自然规律为黑暗 所蒙蔽上帝说，让牛顿来！一切遂臻光 明！2021/3/206

3、第六页，共106页。一、理论力学研究对象物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。世界物质可分 为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：物 质 层 次线度重要运动形式相互作用能量重要研究科学宇观108m天体运动10-15焦耳宇宙学、天体 物理宏观10-1103m机械运动10-1410-7焦耳经典力学、理 论力学亚宏观10-610-3m热运动10-710-5焦耳热学、统计物 理原子10-1010-9m电磁运动10-2105焦耳电磁学、原子 物理核 和 亚 核10-1410-13m核运动107108焦耳核物理、高能 物理夸克1011焦耳粒子物理、色 动物理2021/3/207第七页，

4、共106页。理论力学是研究宏观物体低速运动情况机械运动(即一个物体相对另一个物体发生位移变化)的科学。机械运动指物体的位形随时间变化。包括:平动、转动、流动、 变形、静止等。根据研究对象性质分：质点力学、刚体力学、连续介质力学（流体弹性、塑性）理论力学主要研究：质点、质点组、刚体。二、理论力学研究方法观察、实验，总结实验规律，建立物理模型，提出合理假设，数学演译、逻辑推理 ，探讨规律，实验验 证 。理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。2021/3/208第八页，共106页。理论力学分为矢量力学（即牛顿力学）和分析力学两大部 分。矢

5、量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是 分析力学中最关键的量。分析力学以达朗伯原理为基础，从分析质量和质量系能量情 况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量。本书中这两部分内容如下：三、理论力学的内容结构2021/3/209第九页，共106页。矢量力学质点运动学：第一章1.11.3质点动力学：第一章1.41.9质点组动力学：第二章2.12.8刚体运动学 ：第三章3.13.3刚体动力学：第

6、三章3.43.10非惯性系动力学：第四章：4.14.52021/3/2010第十页，共106页。分析力学质点系运动状态的描述：第五章5.1分析力学的理论基础：第五章5.2 分析力学的基本方程第五章 分析力学的基本定理第五章 分析力学的基本方法第五章5.35.55.65.75.85.112021/3/2011第十一页，共106页。三.发展简史： 我国墨翟（前468-382）学派著作墨经有重心、力 的 概念。“力，形之奋也”。古希腊亚里士多德（前384322）“力是维持速度的原因”。阿基米德杠杆平衡等。地恒动而人不知，譬如闭舟而行，不觉舟之远也。（孙毅）,Ming dynasty阿基米德 (公元前

7、287-前212),古希腊伟大的 数学家、力学家。后人对阿基米德给以极高 的评价，常把他和I.牛顿、C.F.高斯并列为有 史以来三个贡献最大的数学家。他的生平没 有详细记载，但关于他的许多故事却广为流 传。据说他确立了力学的杠杆定律之后，曾 发出豪言壮语：“给我一个立足点，我就可 以移动这个地球！”2021/3/2012第十二页，共106页。Zhaozhou Bridge,apply the structure of low arc, built in Sui dynasty2021/3/2013第十三页，共106页。Earthquake detection instrument,apply

8、the theory of inertia force.Produced by Zhangheng, In DongHan dynasty.2021/3/2014第十四页，共106页。Ligneous tower , Shanxi province, built in 1056.It is the earliest higher tower which use wood as the main material.Implies the basic theory of equilibrium and the carrying capacity of materials.2021/3/2015第十

9、五页，共106页。牛顿力学的建立：在哥白尼(日心说)推翻了托勒玫的地心 说，和在第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上,开普勒发现了 行星三定律总结万有引力定律，牛顿总结了三定律， 1687自然哲学的数学原理。分析力学:（1788）拉格朗日力学建立(至此认为力学天衣 无缝)近代力学：19世纪末20世纪初出现了经典力学无法解释的 矛盾。1）高速（与c比）：相对论（爱因斯坦）；2）微观粒子：量子力学（薛定格）；3）纳米技术：0.1100nm尺度起关键作用。(原子直径10-10; 人头发10-4；人1002021/3/2016第十六页，共106页。亚里士多德 (前384-前322)亚里士多德是世界古代史

10、上最伟大的哲学 家、科学家和教育家。他创立了形式逻辑 学，丰富和发展了哲学的各个分支学科， 对科学作出了巨大的贡献。亚里土多德出生在马其顿的斯塔吉拉，17 岁时，他赴雅典在柏拉图学园就读达20年，直到柏拉图去世后方才离开。也许是受 父亲的影响，亚里士多德对生物学和实证 科学饶有兴趣；而在柏拉图的影响下，他 又对哲学推理发生了兴趣。工具论主要论述了演绎法，为形式逻辑奠定了基础。物理学讨论了自然哲学，存在的原理，物质与形式，运动，时间和空间 等方面的问题。论天一书中开始讨论物质和可毁灭的东西。 气象学讨论了天和地之间的区域，即行星、彗星和流星的地带。形而上学、伦理学、政治学和分析前篇和后篇等202

11、1/3/2017第十七页，共106页。哥白尼 (1473-1543)：伟大的波兰天文学家， 日心说的创立者，近代天文学的奠基人。1473年2月19日生于波兰维斯瓦河畔的托伦城。10岁丧父，由舅父瓦琴洛德抚养。18岁时进 克拉科夫大学，14971500年间他在波洛尼亚 大学读书，除教会法规外，还同时研究多种学 科，尤其是数学和天文学。1497年3月9日，他 在波洛尼亚作了他遗留下的第一个天文观测记 录：月球遮掩金牛座（毕宿五）的时刻。 1503年，在费拉拉大学获得教会法博士学。1506年，哥白尼从意大利回到波兰。他把大部分精力都用在天文学的研究上。日心地动说的创立和天体运行论的出版 哥白尼的主要

12、贡献是创立了科学的日心 地动说，写出“自然科学的独立宣言”天体运行论。 公元1616年把天体运行论列为禁书。然而经过开普勒、伽利略、牛顿等人的工作，哥白尼的学说不断获得胜利和发展；恒星光 行差、视差的发现，使地球绕太阳转动的学说得到了令人信服的 证明。2021/3/2018第十八页，共106页。托勒玫（公元90168）是古希腊著名的天 文学家、地理学家。约公元90年诞生于埃 及的亚历山大里亚。在公元168年去世，终 年78岁。托勒玫于公元127年到151年在亚历山大 里亚进行了长期的、大量的天文观测， 托勒玫把这些天文观测成果和地心体系 总结成十三卷巨著大综合论，后来 阿拉伯文译本改名为至大论

13、。托勒玫的另一巨著是八卷地理学指南，书中最早提出了类似 于现代经、纬度的概念。托勒玫对物理学的重要贡献包括在他的光学一书中。他研究 了光在平面镜上的反射和光从一种介质进入另一种介质的时候发 生折射的现象。2021/3/2019第十九页，共106页。第谷布拉赫（Tycho Brahe，1546-1601），丹麦天文学家和占星学家。生于克努兹 斯图普（今属瑞典）。1572年11月11日第谷发现仙后座中的一颗 新星（银河系的一颗超新星），第二年发 表论文新星，后来受丹麦国王腓特烈 二世的邀请，在汶岛建造天堡观象台，建 造了许多大型精密的天文仪器，经过20年 的天文观测，第谷发现了许多新的天文现 象，

14、如黄赤交角的变化、月球运行的二均 差，并重新测量了岁差数值（每年51）。第谷布拉赫曾提出一种介于地心说和日心说之间的宇宙结构 体系：地球静居中心，行星绕太阳运行，而太阳则带领行星绕地 球运转。这一体系十七世纪初传入我国后曾一度被接受。2021/3/2020第二十页，共106页。伽利略 (1564-1642)伟大的意大利物理学家和天文学家，科学 革命的先驱。伽利略1564年2月15日生于比萨,父亲芬琴 齐奥伽利莱精通音乐理论和声学，著有 音乐对话一书。1574年全家迁往佛罗伦 萨。为了证实和传播N.哥白尼的日心说，伽利 略献出了毕生精力。由此，他晚年受到教 会迫害，并被终身监禁。2021/3/2

15、021第二十一页，共106页。开普勒 (1571-1630)德国近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家。 开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说、并在天文学方面有突破性成就的人物，被后世的科 学史家称为“天上的立法者”。开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭，开普勒是一个早产儿，体质很差。他在童年时代遭遇了很大的 不幸，四岁时患上了天花和猩红热，虽侥幸死里逃生，身体却受到了严重的摧残，视力衰弱，一只手半残。但开普勒身上有一种顽强的进取精神，但一直坚持 努力学习，成绩一直名列前茅。1587年进入蒂宾根大学。 第谷最大的天文学成就就是发现了开普勒。第谷在临 终前将自己多年积累的天文观测资

16、料全部交给了开普勒，再三叮嘱开普勒要继 续他的工作，并将观察结果出版出来。开普勒接过了第谷尚未完成的研究工作。 后来，开普勒在伽利略的影响下，通过对行星运动进行深入的研究，抛弃了柏拉图和毕达哥拉斯的学说，逐步走上真理和科学的轨道。 1630年11月，因数月未得到薪金，生活难以维持，年迈的开普勒不得不亲自到雷根斯堡索取。不幸的是，他刚刚到那里就抱病不起。1630年11月15日， 开普勒在一家客栈里悄悄地离开了世界。他死时，除一些书籍和手稿之外，身 上仅剩下了7分尼（1马克等于100分尼）。2021/3/2022第二十二页，共106页。拉格朗日Lagrange, Joseph Louis，1736

17、-1813法国数学家。1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。 只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉 所开创的变分法， 奠定变分法之理论基础。 后入都灵大学。 1755年，19岁的他就已当上 都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为 柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创 立都灵科学协会的工作，并于协会出版的科 技会刊上发表大量有关变分法、概率论 、微 分方程、弦振动及最小作用原理等论文。分析力学1788。关于解数值方程1767及关 于方程的代数解法的研究1771。他还写了两部分析巨着 解析函数论1797及函数计算讲义1801。数学界近百多年来的许多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗 日

18、的工作。为此他于数学史上被认为是对分析数学的发展产生 全面影响的数学家之一。2021/3/2023第二十三页，共106页。爱因斯坦 (1879-1955)1879年 3月14日生于德国乌耳姆一个经营电器作坊的 小业主家庭。一年后，随全家迁居慕尼黑。在任工程 师的叔父等人的影响下,爱因斯坦较早地受到科学和哲 学的启蒙。1894年,他的家迁到意大利米兰,继续在慕尼 黑上中学的爱因斯坦因厌恶德国学校窒息自由思想的 军国主义教育，自动放弃学籍和德国国籍，只身去米 兰。1895年他转学到瑞士阿劳市的州立中学；1896年 进苏黎世联邦工业大学师范系学习物理学，1900年毕业。由于他的落拓不羁的性格和独立思

19、考的习惯，为教授们所不满， 大学一毕业就失业，两年后才找到固定职业。1901年取得瑞士国籍。1902年被 伯尔尼瑞士专利局录用为技术员，从事发明专利申请的技术鉴定工作。他利用 业余时间开展科学研究，于1905年在物理学三个不同领域中取得了历史性成就，特别是狭义相对论的建 立和光量子论的提出，推动了物理学理论的革命。他经过8年艰苦的探索,于 1915年最后建成了广义相对论。他他所作的光线经过太阳引力场要弯曲的预言，于1919年由英国天文学家A.S.爱丁顿等人的日全食观测结果所证实。2021/3/2024第二十四页，共106页。Erwin Rudolf Josef Alexander Schrdi

20、ngerBorn: 12 Aug 1887 in Erdberg, Vienna, AustriaDied: 4 Jan 1961 in Vienna, AustriaSchrdinger graduated from the Akademisches Gymnasium in 1906 and, in that year, entered the University of Vienna.On 20 May 1910, Schrdinger was awarded his doctorateIn the spring of 1917 Schrdinger was sent back to V

21、ienna and assigned to teach a course in meteorology. He was able to continue research and it was at this time that he published his first results on quantum theory2021/3/2025第二十五页，共106页。 准确认真掌握基本概念（理论推导易掩盖物理实质）， 记笔记； 作题; 参考书；朱照宣，梁昆淼，胡惠玲，肖士珣等理力 用途。四. 如何学习理论力学2021/3/2026第二十六页，共106页。第一章 质点力学2021/3/2027

22、第二十七页，共106页。第一章1.1 运动的描述一、参考系与坐标系1. 参照系：为研究物体的运动需要选定某物作为参考标准（参照物），在其上作不共面的三条直线为一框 架与参照物固连，这框架可代表参考物称参考系（立场）。注： 参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无 穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间； 观察者是站在参照系的观察点上； 不特别说明都以地球为参照系。2坐标系：参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系， 便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）质点力学2021/3/2028第二十八页，共106页。(1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽 略，物体作

23、平动）(2) 位置描述： 质点相对某参照系的位置，可由位矢 r 确定; 坐标描述：yxzPOrr xi yj zkrrr直角坐标系:极坐标: 柱坐标: 球坐标:自然坐标：如铁路。3质点及位置的描述2021/3/2029第二十九页，共106页。二、运动学方程及轨道1. 运动方程:当质点运动时r=r(t) 称为质点的运动的方程，它是时间 t 的单值连续函数。极坐标(平面运动)r r(t) (t)2. 轨道：质点运动过程中空间描述出的连续曲线, 运动学 方程中消去 t 得轨道方程。(直线运动、线运动) y y(t)z z(t)坐标表示：直角坐标 x x(t)2021/3/2030第三十页，共106页

24、。yxzAOrBr(t)r(t+t)三、位移、速度、加速度1. 位移 ： 质点由A经t 到B则称质点在时间t 内的位移 注意: 位移是矢量；位移与路径不同t 0 时,rr (t t ) rr (t ) rr ABr dsar lim vd v vr& &rr& tdt t 0rr方。3. 加速度： r&tdt| rr |drrv limt 0rrdtvr lim r lim s dst 0 ttt 0r2. 速 度：大小:方向：沿该曲线的切线指向运动的一2021/3/2031第三十一页，共106页。1.2 速度、加速度分量表示式一、直角坐标系：r xiyjzkrrr1. 速度: v x i v

25、 y j v z kx& iy& j z&kvrd r dx idy j dz kdtdtdtdtrrrrrrrrrrvy y& x&, vz z&,分量式:vxx& 2 y& 2 z&2v | vr |大小:方向余弦:vcos vzcos vx ,cos vy ,v v2021/3/2032第三十二页，共106页。2. 加速度:j k &x&i &y&j &z&kdt rdtdtdtdvdva i dvrdvzyxrrr r r r r axi ay j azkraxayaz &x& &y& &z&x&2 &y&2 &z&2a | ar |2021/3/2033第三十三页，共106页。例题1

26、. 求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度和加速度xOrAM(x,y) aby Bc 1b 2a 2x 2y 2消去参数得轨道方程:x& b cos &y& a sin &速度分量: (a b) sin& cy&ByB (a b) cosx&BxB 0, 0解:1)选择参照系,坐标系 2)写出M点的坐标x b sin ya cos (a b) sin & c ac sin ac y& (a b) sin(a b) bc cos bc x& cot g , (a b) sin(a b)2021/3/2034第三十四页，共106页。a2 b2 cot g 2vx& 2 y& 2 c a bM&x& &y

27、& 0(a b)2 (a b) sin(a b)csc2 & (a b)sin 2 1csc2 bc2cbcbcx3(a b)242&x&2 y&2 b c 1a ar M小结:1) 参照系，坐标系（立场和方 法）2）已知r=r(t), 求v, a3) 已知a, v, 求运动 r=r(t)2021/3/2035第三十五页，共106页。二、平面极标 系：当质点作平面运动时，可用直角坐标系，但有时选平面极坐标方便。 如：行星的运动。i为径向单位矢, 沿径向;jiP极径rO极轴j 横向单位矢,垂直于径向并指向增加的方向.质点运动方程:rr riv d (ri ) r&i ri&dtrrrr速度:rd

28、 i ,d j dtdtr1.先求:j jiPrxji iQ| i | i i |& 1 r 0| di | ddi i方向沿j di djrj &jdtdtdidrrr2021/3/2036第三十六页，共106页。d j idt2. 速度分量式:&rr同理可得:jv ri ri ri rj v i vrrrrrrr&r r&: 速度径向分量，称为径向速度，是矢径量值 变 化产生的。 r&:速度横向分量，称为横向速度，是矢径方向变化产生 的。vrv ( r ) 2r 2 v 2v 2大小:| v |&rr3. 加速度分量式:( &r& r a r ia jjr &2 r& )j) i( r 2

29、 ir &2 r& &j&r&ir &jr &j r& i&r& &j&r&ivr&rr&arrrr&r&rrrrrrrr22021/3/2037第三十七页，共106页。rra r ia jar( &r& r & 2 ) i( r & 2 r& )ja &r& r&2r：加速度径向分量，称为径向加速度。 是径 向速度量值变化产生的。r&2 是横向速度方 向变化产生的。a r& 2r&：加速度横向分量，称为横向加速度。r& r& 是横向速度量值变化产生的，r&是径向速度方 向变化产生的。4. 推广到主坐标:R r zk ri zkv R& r&i r&j z&krrrrrrrrr& ) j &z

30、&k r)i ( r 2 ra ( rr&r&r2yxzPOrR2021/3/2038第三十八页，共106页。例2. 已知一质点的运动方程为:ar求 vr, btr ect解:v r rbv r& ce ct crr&v cri rbjrra &r& r&2 c2ect rb2 (c2 b2 )rra r& 2r& 2bcrar (c 2 b 2 )ri 2bc j2021/3/2039第三十九页，共106页。yxO三、自然坐标 系：1. 自然坐标:当质点沿曲线运动时，在曲线上选一 点O为起点，规定一正向为弧坐标的正 向（如弧长增加的方向），则质点的 位置由运动方程 s=s(t) 描述。+ P

31、-0n规定：为切向单位矢，沿轨道切线并指向s向。增加的方n为法向单位矢，沿轨道上该点法线指向 s 的凹侧。(, n )构成平面自然坐标系。r cosi sinj2.nr cos( )i sin( ) j sin i cosj22n (sin i cosj )& &n d dtdtdrrr2021/3/2040第四十页，共106页。3. 速度vr dr ds r s&rrdtdtdtv ds表示速度在切线的投影，ds 0 表示沿弧坐标正向, ds 0 表示沿弧坐标反向,dtdt4. 加 速度ar d v &s&r s&r& &s&r v nrdtr描述速度大小随时间的变化率2dtv 2dva &

32、s& a n描述速度方向随时间的变化率an v dtd La vdt ds dtdsds dsdvdv dsdv ,(1 y ) y 23 22021/3/2041第四十一页，共106页。5. 密切面: 曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做该 点的密切面.d在密切面内，n 与 d同向，故 n 在密切面内, 所以a在密切面内， n 为主法线方向单位矢,定义: b= n 垂直于密切面, 称为副发线方向单位矢(, n , b)构成空间正交自然坐标系。adv vn obdtr 2 rr r其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关, 称 为内禀方程。2021/3/2042第四十二页，共106页

33、。例3. 已知质点沿螺旋线运动,z 4t.求 : v, a, y 2 cos 4t4 t ,y& 8 sinx 2 sin 4t,5a n 2a na32dv 0&z& 2324 t ,&z& 04 t ,&y& 32cos&x& 32sinz& 2454 tz&4x& 8 cosv 2&x& 2&y& 2x& 2y& 2aav dt解:( x& 2 y& 2 z& 2 )3( x& 2 y& 2 z& 2 )(&x&2 &y&2 &z&2 ) ( x&x& y&y& z&z&)2 1亦可 :2021/3/2043第四十三页，共106页。例4. 质点由y2=2px的正焦弦(p/2,p)以v出发

34、,求到达正焦弦的另一端时的速率. 已知, a=-2kann(p/2,p)(p/2,-p)1 5 / 4,v uek )2 7 / 4tan g2 1,tan g1 1,dx pv ue2k (2 1 )ln v lnu 2k(2 1 )2tan g 2kddv 2kd ds 2kv d即dv 2k v 2k v ds由a 2kan21dtdvv dvudyyvdtdt解: 建立弧坐标, 自然坐标系2021/3/2044第四十四页，共106页。1. 平动参照系一、绝对速度、相对速度、牵连速度1. 如行驶的船中有小车运货,参照系S相对S作平动（i/i,j/j）,S称为对S的平动参照系，S一般称为静

35、系，S为动系。2. 不同参照系下研究p点的运动的关系:jiArorjiOrrr rr&rv&rr&rvrrQ00其 中：v为P对静系S的速度，dtrr& dr rr称为p点的绝对速度。rr& dr vr 为P对动系S的速度，称为P点的相对速度;dtrr0 v0r&r为动系对S的速度, 称为牵连速度;vrvrv 0r2021/3/2045第四十五页，共106页。说明: P点同时参与两个运动;P点对S的运动,P点被S带动着一起以v0 的运动例5:某人以4km/h向东前进, 感觉风从正北吹来,以8km/h向东 前进, 感觉风从东北吹来, 求风速和风向.解: 1) 先确定是相对运动问题, 一个被考察的

36、质点和两个坐相 对运 动的参考系2) 确定动系和静系绝对速度vr人vr相对速度vr,质点P : 风,静系:地,动系:0v iv vjv0 4irrr2rrv iv j v 8 iv 4 i v j由 :v v 0 v rrrrrrr 2 2 2 2北东4iv8i v vvr 8rvr 0 i 2 vr j rrr222021/3/2046第四十六页，共106页。v 4i 4 jvvy v vvx 4 8 rrr2222解得 Ac2c1例6:解:由 :vr vr vr 0选取极坐标, 得v vov v vr c2 v c1 sin rorvr c2v0 vr(未知)人拉绳的径向绝对速度 :牵连速

37、度 :相对速度 :r2021/3/2047第四十七页，共106页。tan g kr rtang ktang ktang kln r ln tan g k ln r ln tan g kln tang k ln r ln tang k00t 0时 r r0 , 02 sin / 2 cos / 2tang( / 2)sin k ln tang C d d d tan g ln r k k k dr k 1 dsin c1 sin dr c2rd csin r d rrC C ln rrdt dr c dt,ln ln,00000000122021/3/2048第四十八页，共106页。二、绝对加速

38、度、相对加速度、牵连加速度S对S作匀加速直线运动a为P对静系S的加速度，称为P点的绝对加速度。 a为P对动系S的加速度，称为P点的相对加速度; a0 为动系对S的加速度, 称为牵连加速度;由v v 0v a a 0a rrrrrr得:2021/3/2049第四十九页，共106页。中的加速度为a, 则:1.4 质点运动定律明确:1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个 力学体系选定了一类特殊的参考系-惯性参考系2. 第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年 来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于 惯性质量作为广义相对论的基本公设.3

39、. 一般工程问题地球可以看作惯性参考系;如果物体运动的尺度 很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心 为惯性参考系; 在分析行星的运动时,地心本身作公转,必须取日 心参考系. 太阳本身在银河系的加速度大约是310-8厘米/秒2,一 般来说可以不用考虑了,可以认为足够精确的了.基本定律:质量为m的质点受力Fi(i=1,2,.n)的作用,在关星系 ma Fii1nrr2021/3/2050第五十页，共106页。1.5 质点运动微分方程一、微分方程建立 1. 自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为自由质点。(F为合力 , 且 为已知 )mr F (r ;

40、r , t )rrrv&r&1) 直角坐标系:m&x& F x, y, z, x&, y& , z&, t m&y& Fx, y, z, x&, y& , z&, t m&z& F x, y, z, x&, y& , z&, t zyx三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：rr rrt 0时, r r , r& r&o可解得质点的运动规律。2021/3/2051第五十一页，共106页。2)平面极坐标: 若质点在xOy平面上运动:m&x& Fxm&y& Fym &r& r& Fr (r , , r&,&, t )m r 2 r F(r , , r , , t )&或2. 非自由质点的约

41、束运动 若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力 (约束反力),约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的 运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质 点的运动,故称约束力为被动力.质点运动的约束微分方程：mr F主 R一般采用自然坐标系.rr&r&2021/3/2052第五十二页，共106页。1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内0 Fb Rb(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于 运动规律和约束力可分开求解.2) 非光滑约束m dtm F Fn Rn(3)(2)(1)v 2dvbRFn m

42、m dt0 Fb Rb(3)v 2dv R 2 R 2nbR 2R 2R 2bnNR R R 4个方程4个未知数,可解 FR(1) FnRn(2)2021/3/2053第五十三页，共106页。一、与动微分方程求解 两类基本问题：1)已知运动求力2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。解体步骤：1）作图，受力分析;2）写出方程，选坐标系投影;3）积分求解，分析解的物理意义.1. 力仅是时间的函数, F=F(t)例:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动解:mr eE0 cos(t 0 )iF eE0 cos(t 0 )iv&v&vr2021/3/2054第五十四页，共106页。cos)

43、20)t (xcos(t ) (v sin 200由t 0, x x0 C2 x0 cos0m 2x eE0cos(t ) (v eE0 sin)t C m 200m0 2v sin(t ) vsindtm00m0由t 0, v v0 C1 v0 sin0m cos(t 0 ) v sin(t 0 ) C1 dtmmm&x& eE0 cos(t 0 )eE000eE0eE0eE0dxeE0eE0eE0dveE0eE0mmmx 2021/3/2055第五十五页，共106页。讨论:该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似1)为振荡项,电子在电场的作用下的受迫振动, 产生 电磁波,对电磁波

44、的传播有贡献;2)其余部分描述电子的匀速直线运动, 对电磁波的传播没有贡 献,仅给出电子的细致运动;3)可以证明(在高频下)电离层中:cos(t )m 2 0eE0相速 v c 1rr因此,任何入射到电离层的电磁波都可以折回到地面,当 1时e0, 即,微波可以通过电离层.(n为电子密度, 为电极化率)r 1 e 1m2 ne ee2021/3/2056第五十六页，共106页。2. 力仅是速度的函数 F=F(v)1)研究质点重力场中考虑阻力的运动 概述：普物中忽略阻力(零级近似):y h gt 2 / 22vcos 0y tan g y v0 sin 0t gt/ 2 x vcos t抛体 :x

45、 22200200g自由落体xPOmgRv但速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂, 阻力的 大小与物体的大小有关。详细研究是腔外弹道学.一级近似, 抛体视为质点, 阻力R=-bvy R mg bv mgdvvmdtrrrv运动方程: bv y mgdtdt dv ym bvm dv xx投影方程:(1)(2)2021/3/2057第五十七页，共106页。( 3 )(1 e 0 C vt 0 时 , x再积分:t 0 时 , v xt ln C 1dtln v xx v x 0x 0202x 0x 0 v x 0C 1 v x 0v x C 1 e b t m b t m b t mx b

46、 t mv xxbmm bCebmx v vedtdxv b m b mdv(4)(1 e) (v y 0 )e(v y 0类似地 :tmg bmg bm bx bb dy mg m t mg dtvtmbby2021/3/2058第五十八页，共106页。m g ln( 1 bx ) x( mg )m g ln(mv) x( mg x 022v 0v y 0x 0x 0x 022v 0v y 0x 0bmvvbv由ln(1 x) x bmvbxvbvy(3)合(4)消去t得 轨道方程:x Lx L) L LLx tan gx xx vy 0)() x mvx 0y ( 1,33mv 3 cos

47、 3 0022v 2 cos 2 000333mvx 0222vx 0vv 03x 02x 0x 0m g b 22v 0y 0x 0x 2x 33mv1 bx 2mv1 bx 23 b g b g mv bx vvbv mg bx若阻力较小(b 很小)或x很小:可见:(1) 若阻力较小(b很小)或x很小, 可以忽略x3以上的项, 与真空中弹道一致(2)当mvx0-bx0, y 无穷, 说明轨道在x=mvx0/b处 变成竖直直线.2021/3/2059第五十九页，共106页。质点在有阻力的空气中竖直下落m&x& mk 2 x&2 mg mkx&2iR mkv22rrr若若,R mkvr mkx

48、&i mx& mkx& mg积分后容易求得其解:rrRmgtg k(1 e) k 2k 2 g x h g ktx& (1 e)ktx h 1 ln cosh(kgt)k 2 gx& 1 tanh(kgt)k2021/3/2060第六十页，共106页。1.19例质量为m 的小球以初速v0竖直上抛，空气的阻力求：（1）上升的 最大高度 H；（2）返回到地面时小球的速度 vm。 解：取地面为原点，坐标轴oy竖直向上。（1）上升时：运动微分方程利用 d y dv dv dy v dvR kmv 22dt 22mg kmvm d y dtdy dtdydt 222021/3/2061第六十一页，共10

49、6页。得： 积分：得： H 1 ln g (1)2k（2）下降时： 运动微分方程 ：将代入dyg kv 2vdv vdv 0dyvg kv 2H0020g kv2d y dt 22 mg kmvmdyd y v dvdt 22dyg kv vdv 22021/3/2062第六十二页，共106页。得：将 1) 的H代入得积分： 0 H dyg kv 2vm0vdvH 1 g kvm2k g2gk1 v0v0vm22021/3/2063第六十三页，共106页。2) 带电粒子在正交电磁场中的运动 z0 0v0 Vi ,t 0时,假定:E Ejx0 y0B Bkrrrrrr粒子运动微分方程为:vv q

50、Ej qBv i qBvj00Bm dv F qE qv B qEj q vrjkidtxyyyxrrrrrrrrrr r dtmm dvz dt dvy dtm vy qE qBvx dvxqB 0vxmdtmmdt 0 qBv y(3)(2)(1)qEqBdvzdtdvydvx粒子运动分量微分方程为:yxzBOEV02021/3/2064第六十四页，共106页。t 0时, y 0 C 1 ( E V )y 1 ( E V ) cost Cv ( E V ) sin t qE qB V qE V C cost CV mmm2t 02B 0 C1 0 vy C2 sin tt 0时, vyvy

51、 C1 cost C2 sin t由(1)和(2)积分的: ( qB )2m 2v , ( qB )2 v33t 0 2dt 22BBBEdtdvymmdt qB dvxd vyyyy(4)y 1 ( E V )(1 cost)B2021/3/2065第六十五页，共106页。t 0时, x 0 C5 0x E t 1 ( E V ) sin t C v E ( E V ) costBt 0时, vx V C4 vx (V ) cost C4 ( E V ) sin t由(1)5dvx qB vBBBBE BEBdtmxy(5)x E t 1 ( E V ) sin tBB积分(3)z02021

52、/3/2066第六十六页，共106页。讨论:(1)该情况为vc, B,E为恒矢;(2)粒子始终在xoy平面运动,其轨道, V=0的情况为:y 1 E (1 cost) Bx E t 1 E sin t 1 E (t sin t)B B Bx R(t sin t)y R(1 cost)R Bm 1 EqEy 1 ( E V )(1 cost)B圆心速度 : v V R V 1 ( E V ) EV0时, 连滚带滑:x E t 1 ( E V ) sin t Vt 1 ( E V )(t sin t)BBBBB2021/3/2067第六十七页，共106页。3. 力仅是坐标的函数 F=F(x), 振

53、动问题1)一维谐振动：F kx kxirrr2)三维谐振动：m&x& kxm&y& ky ym&z& kz zx3)阻尼振动、受迫振动:m&x& kx mx& H sin pt2021/3/2068第六十八页，共106页。4. 约束运动问题 一般选自然坐标系yxOmgRnm dv F Rdtrrr例: 质点m沿x2=4ay自x=2a滑至x=0处,求v及其约束反力. 解:画草图,受力分析, R,mgR m v mg cos m 2ag mg 2mg2a (1 y ) 2ay2agvdv gdy v m dv v mg dy dsdsds0Qsin sin( ) sin dym v R mg co

54、s mg sin dv dtmva22 3 2022021/3/2069第六十九页，共106页。1.6 非惯性系动力学(一)jiArorjiOraa0S设S为惯性系,F=ma=m(a +a)0F+(-ma )=ma0将-ma0视为一种力-惯性 力,F惯= -ma0 则F真+F惯=ma即在非惯性系上加上惯性力,牛顿第二定律形式上成 立。注意: 惯性力并非物体之间的相互作用力,没有施力者, 是由于参照系本身的加速运动引起的.2021/3/2070第七十页，共106页。例:质量为m和2m的两个质点,为一不可深长的轻绳连接,绳挂在 光华的滑轮上. 在m的下端又用固有长度为a、倔强系数k=mg/a 的弹

55、性绳挂上质量为m的另一质点，在开始时，全体保持竖直， 原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳处于固有长度上。由此静 止状态释放后，求证这一运动是间谐的。x1x3x22m2mgm T1mmgT1T2T2mgO解：各质点受力如图，ox1，ox2为惯 性系， ox3为非惯性系,T T T T T T ,1212l x x rm&x&22m&x& 2mg Tm&x&3 mg T (m&x&2 )(x3 a)T k(x3 a) mg T T121amg2021/3/2071第七十一页，共106页。m&x&3 mg m&x&1 mg T 2m&x&1 2mg T(x3 a) m&x&1(x3 a)(3)(2)(

56、1)mg amg a4g 3a4g8&x& xg,3a3mg T / 2 T mgx3 / a(4) m&x&3 3mg mgx3 / a T / 2 (5) 因此:消去&x&1,(1)代入(2),(3)得33令 2mg (1 1 cos t)333aT 2 mg 2 mg x( x3 a) mg (1 cos t)3a g 2 x a(2 cos t)0 A sin a A cos 2a 0t 0时, x3 a,x3 A cos(t ) 2a33x&3amgT 2021/3/2072第七十二页，共106页。例: 求小环的相对运动速度,及其大圈小环的约束反力解: 选圈为非惯性系,在其上建立自然

57、坐标系:nR-ma mga)(3cos 2cos )r 0 (1R m m(g a)cos v0v v 2r(g a)(cos cos )v1 1vdv r(g a)sind v2 v2 r(g a)(cos cos )22 R m(g a)cosmdv m(g a)sinmar R mgv (mav)v20v2002002ga grmgrddv v dv v dvdtdsmvdtr2021/3/2073第七十三页，共106页。1.7功和能一、功和功率1. 质点在恒力作用下沿直线运动W F rr | F | rr | cos其中，r 是力的作用点之位移。 2. 质点受变力沿曲线运动rrrW A

58、B F dr AB Fds cos功是标量，其值与坐标选取无关。选坐标系较方便，在直角坐标系下：dW F drrrrW AB (Fxi Fy j Fzk ) (dxi dyj dzk ) AB Fxdx Fydy Fzdzrrrrrr2021/3/2074第七十四页，共106页。3. 若质点受几个力F1 F2 _Fn作用, 合力F Fii1nrrW AB F dr AB Fi dr AB Fi dr Wii 1i 1i 1nnnrrrrrr即合力之功等于分力功之代数和。4. 功率：描述做功快慢的量, 二、能P dW F dr F vrdtdtrr物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。力学中

59、机械能. 当能量发生变化时，总有一定数量的功 表现出来功是能量变化的度量。对能的理解:哲学上：能量是物质运动的度量，运动是永恒 的。能量是推动一切过程的本因可用能。 我国能源及其利用现状.2021/3/2075第七十五页，共106页。三、 保守力、非保守力与耗散力rr1. 力场:一般 F F (rr, rr&, t)若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F (r)，力是 位置的单值有界可微函数，则该区域称为力场，F为场力。 如：万有引力场、静电场,若含有时间称为非稳定场.2. 保守力场:W AB F dr积分一般与路径有关rr若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单值地有始末 位置确定（与

60、轨道形状无关）该力场为保守力场。质 点受到的场力为保守力。否则场力做功与路径有关，这种力为非保守力，力场为非 保守力场。如：摩擦力与路径有关耗散能量耗散力2021/3/2076第七十六页，共106页。3. 保守力的判据:F(r)为保守力的充要条件是: F 0r)k 0) j ()i ( ( Fz xyFFzxFFyzFrijk xyzFxFyFzxyzxyrrrrr即:证: 先证必要性Qw AB Fxdx Fydy Fzdz与路径无关,只与石墨2位置有关必存在一可微函数V使得 0同理 : Fx Fz 0,zx 0,2V2V2VFy FxxyyxFyFxxyyx yxxFy x yFxyyF d

61、x F dy F dz dV V dx V dy V dyxyz2021/3/2077第七十七页，共106页。再证充分性:根据Stokes定理 :即, 积分与路径无关四、 势能 0ACBBDA ACB ADBF dl F dS lSrvrrADBCdW F drr dVrW dV VA VB( B )( A)函数称 V(x,y,z) 为质点在点P (x,y,z)的势能。 势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少注：1)势能函数上，加上任意常数不影响势能差。 该常数由 该点的位置选取而定。2)仅当保守场有dW=-dV时可引入势量。3能)F。与V的关系:F V i j kzV rVvVvyxr2

62、021/3/2078第七十八页，共106页。 982 70 (2xy xz yz 1 x2 1 y2 1 z 2 5x 6z)222d (2xy xz yz xyz 5x 6z)22 2 (1,0,0)Fxdx Fydy Fzdz(x 2 y z 5)dx (2x y z)dy (x y z 6)dz (1,0,0)w (1,0,0) 11 0 2 2 0, Fx Fz 11 0, Fy FxzxxyyxFyFx(1,0,14)(1,0,14)(1,0,14)(1,0,14)111(1,0,0)222沿x cos, y sin , z 7,求自 0 2力对质点作的功解:先验证是否为保守力Fx

63、x 2 y z 5, Fy 2x y z, Fz x y z 6例:2021/3/2079第七十九页，共106页。1.8质点动力学的基本定理与基本守恒定律一、动量定理与动量守恒定律1.动量：定义p mv动量时机械运动强弱的度量，mv是以机械运动度量机械运 动，mv2/2是以机械运动转化为其它形式的运动的能力来度量 的机械运动。2.动量定理:dtdtdtF m dv d mv dp r rrr为动量定理的微分形式。注:牛顿本人就是用该形式表述第二定律,再高速情况下 F=ma失效,但上形式仍然成立.积分之 :或mv2 mv1 tFdtp2 p1 tFdtt21t21rrrrrr2021/3/208

64、0第八十页，共106页。I tFdtt21rr称为力的冲量，上式为动量定理的积分形式。mv2 mv1 I3. 动量守恒rrrdpx Fxdt 0 px c1即:若在某一方向上质点受力为零,则在该方向上动量 守恒。但Fx 02)若F 0,r1) 若F=0, dp=0, p=C即质点受和外力为0时，其动量守恒: my& c2mz& c3mx& c1常数由初始条件确定2021/3/2081第八十一页，共106页。二、力矩与动量矩 1.力矩1)定义力对空间的点A的力矩ABFrM r Frrr| M | rF sinrA点称为矩心 2)力对空间某一轴线的力矩。rijkxyz ( yFz zFy )i (

65、zFx xFz ) j (xFy yFx )k FxFyFzM r F rrrrrrrr对x轴之矩：M x M i yFz zFyrrMzF x xF zyM z xFy yFx即: 要求力对轴的矩,可先求力对 任一点O的矩，然后在向轴上投影。同理:yxzFyOrFxFz2021/3/2082第八十二页，共106页。2.动量矩对o点：J rr mvrr对x,y,z轴：J xJ y mzx& mxz& JZ mxy& myx& myz& mzy&3.推广矢A任意一点O的矢量量矩:M A r A三、动量矩定理与动量矩守恒定理rrr1. 动量矩定理Q m d r F(r v )(r ) dt 2dt

66、dtrd 2 rrdt 2d 2rrdt 22 rdtdtdtdrrdrr d rr d rdrr r r F r mrrrr d (rr mvr) rr F dtr2021/3/2083第八十三页，共106页。 MdtdJr-动量矩定理的微分形式(J与M为同一矩心)(mxy& myx&) xFy yFx(mzx& mxz&) zFx xFz(myz& mzy&) yFz zFydtdt ddt dd投影式:2. 冲量矩 J 2 J 1 tM dtQ d J M dtt 21rrrrr3.动量矩守恒myz& mzy& C4mzx& mxz& C5mxy& myx& C6则dJ 0,r rJC如

67、果M 0,rr如果M 0则J x c4但M x 0,r2021/3/2084第八十四页，共106页。例:质点受力恒通过一固定点,则质点必在一平面上运动,试证 明之.解: 取固定电位坐标原点,则质点的位矢r与F共线, rF=0, 所以J=C(恒矢),则:myz& mzy& C4mzx& mxz& C5mxy& myx& C6x乘(1), y乘(1), z乘(1),并相加,得:C4 x C5 y C6 z 0由解析几何可知,他代表一平面方程,故质点只能在 该平面上运动。2021/3/2085第八十五页，共106页。四、动能定理与机械能守恒定律1. 动能定理：dvQ m Fdtr r dr F dr

68、dtdvrrr mrmvr dvr F drrrd (mv ) F drrr2定义: 动能 所以12T 1 mv22dT dWmvmv AB F drT2 T1rr221222112.若F为保守力场，则d (T V ) 0F VT V ErdT dV-机械能守恒2021/3/2086第八十六页，共106页。五、势能曲线Ax1x2BEV(x)x& 2 E V (x)1 mx&2 V (x) E2m量子力学的隧道效应2021/3/2087第八十七页，共106页。小结:(3)m F (2)dt2(1)T V E若F V ,d(mv ) dW mv mv tF dr ,J C若M 0,Mdt, M J

69、 J若F 0,p CFdt, F p pdtdt dJdprd rrt2t2tt2t2112211112212212122rrrrrrrvrvvrrrrrrrr1.2. 牛顿第二定律是二阶微分方程,守恒律是一阶的,称为第 一积分,能量守恒也称能量积分. 用初积分比用运动方程来 的简单.2021/3/2088第八十八页，共106页。1.9有心力一、有心力的基本性质1. 有心力：运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力 为有心力，该点叫力心。有心力的量值一般为r的函数。rF F (r) rrrrF 0 , 斥力rF 0 , 引力r2. 因为力通过力心rrvM 0,J C质点必在垂直与J的平面运动

70、。3. 运动微分方程rm&rr& F Frrrr2021/3/2089第八十九页，共106页。1) 直角坐标系m&y& F ym&x& Fxrrrr2) 平面极坐标系m&r& r& Frmr 2r F 0&m&r& r Fr&mr & 0r dt 1 d 2 r& hmr v mri (r&i r&j ) mr 2&k物理意义:动量矩守恒rrrrr4. 有心力为保守力yj Fz k (r)xi (r) yj (r)zkrrF Fr Fx i Frrrrrrrrv r rv vr证:2021/3/2090第九十页，共106页。( F ) y, z 0y r zy r zy r 0r zr r y

71、rr y( F ) r zr yyzFy FzxvvV )F i (dri rdj ) F dr (V1rr 2r2r1r2r1r2r1w F dr F Vrrrrvr故,必有:1 m(r&2 r 2&2 ) V (r) E2解决问题的基本出发点:机械能守恒：m&r& r& Frr 2& hr & h1 2m(r&2 r 2&2 ) V (r) E2(2)(1)2021/3/2091第九十一页，共106页。二、轨道微分方程比耐公式原则上可求出 r r(t) (t) 消去t得轨道，但可直接求 r r( )ru 122 hur h &令：dddd h 2 u 2dr drd dr dr 1 du

72、du r& & hu 2 hu 2 () hdtddtu 2 d 2d 2 u(h)duddddtd u1d 2ud&r& rh u) F m(h u24222mF u) d u d 2h u(r222用途：已知r=r()可求得质点受力,若已知Fr则可求得轨道。2021/3/2092第九十二页，共106页。三、平方反比引力行星运动F (u) u2k 2 m GM ,k 2r 2F k m ,r21. 用比耐公式k h22 d u d 22 u) u2k 2 d u d 2222h u(u u A cos( 0 ) 2hk 2r 1 Ah2k 2 cos( )0h2k 21 e cos1 Ah2

73、k 2 cosh2k 2pr A,0微积分常数,将极轴转动使0 =0可见,平方反比引力下行星的的运动是以太阳为焦点的圆 锥曲线.k 2p h2为正焦弦的一半k 2为离心率,由初始条件确定e A h 22021/3/2093第九十三页，共106页。( 0)r a c a(1 c ) a(1 e) p ,a1 ep a(1 e 2 ),e 11)椭 圆：p 2qr q, 0,p r(1 e) q(1 e) 2q e 12)抛物线:3)双曲线:r c a a( c 1) a(e 1)ap a (e 2 1),e 1B xp r FCxpFq B准线xpFCB2021/3/2094第九十四页，共106

74、页。2. 运用第二组方程求解k m rdr k mr 2V VF dr r22势能d2h r 2&,dr h drr& r 22dt代入1 m(r&2 r 2& 2 ) V E20 2k 2 r 2h 2r4k 4 8Eh2 / mh21x a bx cx2xb2 4ac利用 dx 1 sin1 bx 2a , hdr d r2E 2k 2r h2m 2E 2k 2 r h2mh k m r 4r22r 4232sin(a 0) m() r1h dr2 h dr r dda E 11 2h2 Emk 4 cos( )0kk 2h E mh2k 2242r 2021/3/2095第九十五页，共1

75、06页。Q 2h2mk 4 0(1)E 0,则e 1 (2) E 0,则e 1(3)E 0,则e 1可见,能量E为轨道类别的判据 四、开普勒定律1.开普勒三定律e 1 2h2 Emk 4p h2k 2 ,e 11)r p ,1 e cos太阳位于椭圆的焦点上2)dA cos tan t dt3) ca2a2222121r+dr dr2021/3/2096第九十六页，共106页。2. 从开普勒定律到万有引力定律据第二定律 有： mr 2& 常数说明行星受力为万有引力，力心为太阳。据第一定律有：r p u 1 1 e cos dA 1 r 2d& 常数 常数, dA r d dt 22dt2dA

76、1r 2pppm mh21mh2u 2h2u 2 ( e cos 1 e cos ) Frd 2rpp d 2u即: F cos 代入毕耐公式:p sin ,p1 e cosppeduedr 2021/3/2097第九十七页，共106页。负号说明是引力, 若为万有引力，则h2/p=k2应与行星无关,下 面证明.而h4 2a2b24 22ab h 2abdA 1 r 2 d& 1 h 2dA hdt, dt2 2积分一个周期r 2k 2m2 k 2 h 常数pk 24 2h24 2b2h2a3h2a3 2 F p ar 常数 开文迪许1798年测量了G的值,于是建立了万有引力定律。 注意:1)K

77、epler定律是近似的,忽略了太阳的运动2)行星周期与轨道半长轴的关系为:2 2 a 3k2021/3/2098第九十八页，共106页。五、宇宙速度与宇宙航行1. 半长轴a与能量E的关系2 1 m h k m E mk ( p 2 ) ErB2rrB2rr& 0& h ,近日点B,r 2 Ek m rm(r r ) 2B2B12222222&k m2a a(1 e ) E b a a c a(1 e),p 椭圆：rB222抛物 rB q, p 2q E 0线： 双曲 线：2ak 2m a(e1) E ab2rB c a a(e 1),p 22.宇宙速度普物讲2021/3/2099第九十九页，共

78、106页。六、圆形轨道的稳定性1. 干扰运动微分方程的稳定性为干扰运动微分方程。就是扰动.y0s (t)为(1)未受干扰的某个特解,则设 Ys (t, xs y0s ) Ys (t, y0s )xs ys (t) y0s (t)(s 1,2,3.n)(1) Ys (t, ys ),dxsdysdtdt当 t 0 0时满足x s ( t 0 ) ,t t 0 满足 则称未受干扰的运动是稳定的2.对圆形轨道稳定性动 ,正数 ( ), 使得对于所受扰动的运, 可以找到力另一 , 无论多么小若对任意整数x s ( t ) 若受力满足m p F h2 P(u)u32021/3/20100第一百页，共10

79、6页。 0 u A B d u d 2 p d uu3d 2 u) p u(由毕耐公式,222若t 0, r& 0 B 0 u A r R作圆形轨道运动h2u 200令扰动 u u0代入(2)得 : p(u0 )0 d u d 22220 u) p的特解(2)令u 为 h u ( u(h )2 (u )200 u 0 0d 2d 2p(u )200p0 u u0 p 2 CL)( p0 p0 L) 22 ( p0 p0 p0 p0 L)h uh u00000000(1L)(1h2u2uh0 1 (1 )2 (1 )2 p(u )0000h2u2(h )2 (u )200p(u0 )221221

80、uh2021/3/20101第一百零一页，共106页。(3) C1 C2d 2d 2,C2为另一常数其中, C1 3 p0u0 p0 1 2(3)的解为: A cosh(A cos(C1 ) B sin(C1 ) C(C1 0)C2 A B(C1 0) C1 ) C1 ) B sinh(C1 0)2C1C21C2时作圆形轨道运动才是稳定的即: n 3例:p 2n2 nupp0 k upk rn轨道是稳定的即:C 3 u0 p0 0,或u0 p0 3p012021/3/20102第一百零二页，共106页。七、平方反比斥力（自己与读）小结:补充例题:质点m约束在半顶角的光滑圆锥内 壁上运动. 设开始时质点位于距定点高为h处,切向水平速度(8gh/3)1/2. (1)问质点的动量矩和能量是否守恒? (2)证明质点在离顶点h和2h之间的两 圆内运动.yxzmgOrN2021/3/20103第一百零三页，共106页。2021/3/20104第一百零四页，共106页。2021/3/20105第一百零五页，共106页。谢谢观赏谢谢观赏第一百零六页，共106页。