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2.3 调和函数定义定义1 1 (称为调和方程或Laplace方程) 定理定理1 1: 证明: 且u, v有任意阶连续偏导数 同样可得 注:逆定理显然不成立,即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, 不一定是解析函数 .例如:是解析函数,不是解析函数。定义定义2 2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程, 则称v为u的共轭调和函数共轭调和函数 .定理定理2 2: 在区域D内解析 v为u的共轭调和函数 .解析函数的虚部为实部的共轭调和数已知共轭调和函数中的一个,可利用 C-R 方程求得另一个,从而构成一个解析函数。例题1 已知一调和函数求一解析函数f(z)=u+iv解:由 C-R 方程于是(法一)即为所求解析函数。(法三)注意到u(x,y)不包含任意常数,所以c为纯虚数,即c=ic1,这里c1是任意实数.(法三)注意到u(x,y)不包含任意常数,所以c为纯虚数