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1、促进数学理解的教学策略促进数学理解的教学策略人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一、先行组织者策略一、先行组织者策略含义：呈现具体内容前，先呈现相关的、包容含义：呈现具体内容前，先呈现相关的、包容范围广但又容易理解和记忆的引导性材料。范围广但又容易理解和记忆的引导性材料。作用：作用： “导游图导游图”；“已经掌握的知识已经掌握的知识”与与“需要掌握的知识需要掌握的知识”之间的桥梁。之间的桥梁。类别：说明性组织者类别：说明性组织者为新知识提供适当的为新知识提供适当的类属者，与新知识构成上位关系。在学习不太类属者，与新知识构成上位关系。在学习不太熟悉的知识时使用，所用语言是学生熟悉的、熟悉的
2、知识时使用，所用语言是学生熟悉的、能理解的。能理解的。例例1 函数性质的先行组织者函数性质的先行组织者变化之中保持的变化之中保持的“不变性不变性”就是性质；变化过就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值慢，有时达到最大值有时处于最小值这些这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小么时候函数值最
3、小这就是我们要研究的函这就是我们要研究的函数性质数性质“单调性单调性”“最大值最大值”“最小值最小值”。比较性组织者：指出新知识与认知结构比较性组织者：指出新知识与认知结构中基本类似的概念之间的异同，用来增中基本类似的概念之间的异同，用来增加那些基本上不同，但又容易使人误认加那些基本上不同，但又容易使人误认为相似的新旧概念之间的可辨别性。为相似的新旧概念之间的可辨别性。 例例2 排列组合概念的比较排列组合概念的比较（1）全班）全班50名同学每两个人握手一次，共握名同学每两个人握手一次，共握手多少次？（手多少次？（2）全班）全班50名同学互赠照片一张，名同学互赠照片一张，共需照片多少张？共需照片
4、多少张？（1）从）从2，3，5，7，11中任意取两个数相乘，中任意取两个数相乘，可得多少个不同的积？（可得多少个不同的积？（2）从）从2，3，5，7，11中任意取两个数相除，可得多少个商？中任意取两个数相除，可得多少个商？6个人去甲、乙、丙三个车间劳动，（个人去甲、乙、丙三个车间劳动，（1）如甲）如甲去去1人，乙去人，乙去2人，丙去人，丙去3人，分配方法有多少人，分配方法有多少种？（种？（2）如一个车间去）如一个车间去1人，一个车间去人，一个车间去2人，人，一个车间去一个车间去3人，分配方法有多少种？人，分配方法有多少种？二、问题性策略二、问题性策略问题引导学习。问题引导学习。理由：任何数学概
5、念、原理都有其产生理由：任何数学概念、原理都有其产生的背景，往往建立在解决某些问题的需的背景，往往建立在解决某些问题的需要的基础上；第二，由难度适当的问题要的基础上；第二，由难度适当的问题而引起的认知冲突，可以激发学生的求而引起的认知冲突，可以激发学生的求知欲和思维的积极性，提高学生的数学知欲和思维的积极性，提高学生的数学学习兴趣。学习兴趣。 例例3 数学归纳法的问题引导数学归纳法的问题引导从头逐项验证获得经验，但从头逐项验证获得经验，但“自然数有无限多自然数有无限多个，无法穷尽个，无法穷尽”；“能否找到一种严格的、非经验的推理方法，能否找到一种严格的、非经验的推理方法，通过有限步骤证明一个有
6、关任意自然数通过有限步骤证明一个有关任意自然数n的命的命题？题？”仔细分析仔细分析“多米诺骨牌多米诺骨牌”的结构，问：的结构，问：“前一前一块倒下一定导致后一块倒下的数学含义是什么块倒下一定导致后一块倒下的数学含义是什么？”根据自然数集的结构特征，归结到根据自然数集的结构特征，归结到“递推关系：递推关系：如果命题对如果命题对k成立，那么对成立，那么对k+1一定成立一定成立”。 例例4 返程的根与函数的零点返程的根与函数的零点先行组织者先行组织者 能用公式得出精确解的方程能用公式得出精确解的方程很少，实践中一般也只需近似解（达到很少，实践中一般也只需近似解（达到一定精确度）。我们要借助于方程与函
7、一定精确度）。我们要借助于方程与函数的联系，找出一种不断逼近的方法，数的联系，找出一种不断逼近的方法，得到方程的近似解。这里我们需要解决得到方程的近似解。这里我们需要解决两个问题：第一，方程在什么条件下一两个问题：第一，方程在什么条件下一定有根？定有根？定性；第二，如果方程在定性；第二，如果方程在区间区间a，b内有根，如何求出它的近似解内有根，如何求出它的近似解（满足一定的精确度）？（满足一定的精确度）？定量定量问题问题1 方程方程3456x23458x10有实数有实数根吗？注意：不需要求出根的具体值。根吗？注意：不需要求出根的具体值。希望能用学习过的有关一元二次方程、希望能用学习过的有关一元
8、二次方程、二次函数、二次函数图象的关系做出判二次函数、二次函数图象的关系做出判断。用函数断。用函数f(x)3456x23458x1的图的图象解释方程象解释方程3456x23458x10有实数有实数根后，再给出函数零点的概念，得到根后，再给出函数零点的概念，得到“方程方程f(x)0有实数根有实数根 函数函数f(x)的图象的图象与与x轴有交点轴有交点 函数函数f(x)有零点有零点”。问题问题2 对于一般的方程对于一般的方程f(x)=0（如（如lnx2x60）及对应的函数）及对应的函数y= f(x)（如（如y=lnx2x6），不能用二次方程的），不能用二次方程的“判别式判别式”。能否从问题。能否从问
9、题1得到启发，自己给出一得到启发，自己给出一个判断方程个判断方程f(x)=0在区间在区间(a，b)内有实数内有实数根的方法？根的方法？函数函数f(x)在区间在区间(a，b)上有上有f(a) f(b) 0，那么函数那么函数f(x)在区间在区间(a，b)上是否一定存上是否一定存在零点，请举例说明。在零点，请举例说明。增加什么条件就增加什么条件就“一定存在零点一定存在零点”？问题问题3 函数函数f(x)在区间在区间(a，b)上连续不断，上连续不断，单调，且有单调，且有f(a) f(b) 0，那么函数，那么函数f(x)在在区间区间(a，b)上有且只有一个零点上有且只有一个零点x0。给定。给定精确度精确
10、度，怎样缩小区间，怎样缩小区间(a，b)，使其包，使其包含零点含零点x0且长度小于且长度小于 ？三、过程性策略三、过程性策略以数学知识的发生发展过程和学生的认以数学知识的发生发展过程和学生的认知过程为线索安排教学过程，引导学生知过程为线索安排教学过程，引导学生经历和完成相应的过程而理解和掌握数经历和完成相应的过程而理解和掌握数学知识。学知识。过程的安排过程的安排创设问题情境，引起学生对新知识的注创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；意与思考；开展观察、试验、类比、猜想、归纳、开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等，形成假设；概括、特殊化、一般化等，形成假设；推理论证，检
11、验假设，获得新知，纳入推理论证，检验假设，获得新知，纳入已有认知结构；已有认知结构；知识的应用，加深理解，与相关知识建知识的应用，加深理解，与相关知识建立联系，巩固新知。立联系，巩固新知。四、变式策略四、变式策略作用：作用：（1）增加知识理解的角度和途径；）增加知识理解的角度和途径；（2）提高理解的层次性。）提高理解的层次性。变式的来源变式的来源（1）概念、原理的多样化表达。例如，两）概念、原理的多样化表达。例如，两平面平行的判定定理的等价形式：平面平行的判定定理的等价形式：内的两条相交直线与平面内的两条相交直线与平面平行，那么平行，那么；平面平面和平面和平面同时垂直于一条直线，那同时垂直于一
12、条直线，那么么；平面平面与平面与平面同时平行于平面同时平行于平面，那么，那么；（5）证明方法的变式。例如，正弦定理的）证明方法的变式。例如，正弦定理的不同证法：面积法；利用余弦定理；利不同证法：面积法；利用余弦定理；利用三角形的外接圆；等等。用三角形的外接圆；等等。实际上，不同变式的实质都在于想方设实际上，不同变式的实质都在于想方设法用不同方法建立所学知识与相关知识法用不同方法建立所学知识与相关知识的联系。的联系。五、类比策略五、类比策略类比在数学猜想、证明中有重要作用，类比在数学猜想、证明中有重要作用，许多定理、公式及其证明方法都是靠类许多定理、公式及其证明方法都是靠类比获得的。比获得的。类
13、比策略在教学中之所以能起作用，主类比策略在教学中之所以能起作用，主要是因为某些数学对象的本质存在相同要是因为某些数学对象的本质存在相同或相似之处。或相似之处。通过通过类比类比，可以在探索新知的方式、方，可以在探索新知的方式、方法上得到启发，为理解新知打下基础。法上得到启发，为理解新知打下基础。六、多元联系表示策略六、多元联系表示策略含义：利用知识表现形式的多样性，对含义：利用知识表现形式的多样性，对同一知识给出不同表示，使学生接触知同一知识给出不同表示，使学生接触知识的不同方面特征，沟通联系，促进理识的不同方面特征，沟通联系，促进理解。解。作用作用：增加建立知识联系、理解知识本：增加建立知识联
14、系、理解知识本质特征的可能性；拓展学习空间；支持质特征的可能性；拓展学习空间；支持学生的高水平、深层次数学思维；落实学生的高水平、深层次数学思维；落实自主探究式学习；激发学习兴趣；等。自主探究式学习；激发学习兴趣；等。七、精加工策略七、精加工策略含义：通过补充细节、举例、作推论等，含义：通过补充细节、举例、作推论等，使新旧知识形成联系或联想。使新旧知识形成联系或联想。作用：促进知识理解，促进合理编码新作用：促进知识理解，促进合理编码新知识，有效记忆和保持新知。知识，有效记忆和保持新知。“细节决细节决定成败定成败”。方式：厘清应用条件，分析特例，用自方式：厘清应用条件，分析特例，用自己的语言叙述
15、，用恰当的例子解释，等。己的语言叙述，用恰当的例子解释，等。例如，向量三角不等式例如，向量三角不等式|a|b|a+b|a|+|b| 中，由中，由“三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边”和和“三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边”，学，学生比较容易理解向量生比较容易理解向量a，b不共线时，不不共线时，不等式是等式是“严格的严格的”。对这一不等式的理。对这一不等式的理解的关键在于清楚地认识等号成立的条解的关键在于清楚地认识等号成立的条件，这就是对特殊情形的追究。件，这就是对特殊情形的追究。八、开放性策略八、开放性策略实质是将问题解决策略（启发法）运用实质是将问题解决策略（启
16、发法）运用到教学中来到教学中来不把知识以定论的方式不把知识以定论的方式“告诉告诉”学生，学生，而是采取开放式问题呈现出来，引导学而是采取开放式问题呈现出来，引导学生自己先对问题的可能结果进行研究，生自己先对问题的可能结果进行研究，建立充分的直觉，产生猜想并尝试加以建立充分的直觉，产生猜想并尝试加以证明，这是理解知识的必要前提。证明，这是理解知识的必要前提。|a|b|ab|a|+|b|教学设计教学设计先行组织者：研究绝对值不等式的基础先行组织者：研究绝对值不等式的基础是实数绝对值和两个实数差的绝对值的是实数绝对值和两个实数差的绝对值的几何意义，即几何意义，即“距离大小距离大小”是研究绝对是研究绝
17、对值不等式的出发点，数形结合是基本思值不等式的出发点，数形结合是基本思想方法。我们要解决的问题是：对于实想方法。我们要解决的问题是：对于实数数a、b，|a+b|、|ab|、 |a|+|b|、|a|b|有怎样的大小关系？有怎样的大小关系？问题问题1 你认为从何处入手研究？你认为从何处入手研究？有有许多量的大小比较（共有许多量的大小比较（共有6组），先分类，组），先分类，并从简单入手：并从简单入手：（1） |a+b|与与|a|+|b|；（；（2）|a+b|与与|a|b|。对于（对于（1），在数轴上表示），在数轴上表示|a|、|b|、|a+b|和和|a|+|b| ，自然出现按，自然出现按a，b的符号
18、分类讨的符号分类讨论的需要。再追问：论的需要。再追问：根据什么标准分类才能根据什么标准分类才能“不重不漏不重不漏”？并归结为并归结为ab0，ab=0，ab0三种情况。三种情况。从数轴上直观得到：从数轴上直观得到：（1）ab0时，时，|a+b|=|a|+|b|；（；（2）ab0时，时，|a+b|a|+|b|。从而对于任意两个实数。从而对于任意两个实数a，b，都有，都有|a+b|a|+|b|。问题问题2 你能用代数推理的方法证明得到你能用代数推理的方法证明得到的结论吗？的结论吗？目的：证明方法的变式；精加工的过程；目的：证明方法的变式；精加工的过程；在心理上更认可结论；等。在心理上更认可结论；等。
19、问题问题3 对于对于|ab|与与|a|+|b|的大小比较，的大小比较，如何更快捷地得到结果？如何更快捷地得到结果？问题问题4 类比已有过程和结果，讨论其他类比已有过程和结果，讨论其他问题。问题。问题问题5 你能对得出的结果进行再概括，你能对得出的结果进行再概括，给出关于给出关于|a+b|、|ab|、 |a|+|b|、|a|b|大小关系的更简洁表示吗？大小关系的更简洁表示吗？九、系统化策略九、系统化策略含义：把整理学习内容、建立新旧知识含义：把整理学习内容、建立新旧知识的联系作为必须的学习过程，及时将学的联系作为必须的学习过程，及时将学得的新知识纳入到已有认知结构的适当得的新知识纳入到已有认知结
20、构的适当位置，使之形成具有较强结构功能的新位置，使之形成具有较强结构功能的新认知结构。认知结构。系统化是复习阶段的主要工作之一。系统化是复习阶段的主要工作之一。方法：不断分化；综合贯通。方法：不断分化；综合贯通。不断分化不断分化解决所学知识在已有认知结构中与上位解决所学知识在已有认知结构中与上位和下位知识的关系和联系问题。要将新和下位知识的关系和联系问题。要将新知识恰当地置于它的上位知识之下、下知识恰当地置于它的上位知识之下、下位知识之上，形成一个上下联系恰当而位知识之上，形成一个上下联系恰当而紧密的、层层分化的结构系统。紧密的、层层分化的结构系统。数学知识的逻辑层次关系是实施系统化数学知识的
21、逻辑层次关系是实施系统化策略的依据。策略的依据。综合贯通综合贯通主要解决所学知识与已有认知结构中已主要解决所学知识与已有认知结构中已经掌握的、处于同一层次或系列的知识经掌握的、处于同一层次或系列的知识的关系与联系问题，通过揭示新知识与的关系与联系问题，通过揭示新知识与同一层次相关知识的联系与区别，把新同一层次相关知识的联系与区别，把新知识纳入到已有认知结构中去。知识纳入到已有认知结构中去。有些知识原本存在某种层次关系，但因有些知识原本存在某种层次关系，但因为内容组织或教学需要而被置于不同专为内容组织或教学需要而被置于不同专题下，这时就要特别注意使用系统化策题下，这时就要特别注意使用系统化策略，
22、采取适当措施让学生意识到这种关略，采取适当措施让学生意识到这种关系，使它们的联系更加系，使它们的联系更加“四通八达四通八达”，使学生头脑中的数学知识结构梳理得更使学生头脑中的数学知识结构梳理得更加合理顺畅。加合理顺畅。三角函数公式的系统化三角函数公式的系统化先学诱导公式再学和差角公式。由于先学诱导公式再学和差角公式。由于，是任意角，诱导公式实际上是是任意角，诱导公式实际上是取取，0， /2等特殊角时的等特殊角时的“特例特例”。所以，诱。所以，诱导公式系统可以作为子系统而纳入到和导公式系统可以作为子系统而纳入到和（差）角公式系统中来。（差）角公式系统中来。“综合贯通综合贯通”的另一特殊方面是的另
23、一特殊方面是“数数”与与“形形”的内在统一所决定的的内在统一所决定的“同一事同一事物的两面观物的两面观”。例如，诱导公式、和。例如，诱导公式、和（差）角公式实际上是圆的几何性质（差）角公式实际上是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表示。（主要是对称性）的解析表示。结束语：抓基础的含义结束语：抓基础的含义数学理解的核心是对基本概念及其所反映的数数学理解的核心是对基本概念及其所反映的数学思想方法的理解。学思想方法的理解。抓基础的含义是：第一，不断回到概念去，从抓基础的含义是：第一，不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；第二，加基本概念出发思考问题、解决问题；第二，加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。题的新思路。“题型题型”、与、与“题型题型”对应的技巧是雕虫小技，对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽。教学应追求解决问题的无法穷尽。教学应追求解决问题的“根本大法根本大法”基本概念所蕴含的思想方法。基本概念所蕴含的思想方法。
