变换的定义与收敛域

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1、第二章 z变换 z变换2.1 z变换的定义与收敛域2.2 z反变换2.3 z变换的基本性质和定理2.4 z变换,拉普拉斯变换,傅里叶变换的相互关系2.5 序列的傅立叶变换2.6 离散系统的系统函数、系统的频率响应点击下列选项：2-1 Z变换的定义及收敛域返回2一.Z变换定义三.常用序列的收敛域四：求收敛域举例一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下： *实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。引言：离散时间信号与系统变换域分析法： A）Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程 B) Z变换的应用范围更广返回1PK11PK1棋牌公社官网棋牌公社官网 编辑整理编辑整理 1.定义:

2、使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。绝对可和。返回三.常用序列的收敛域(1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。返回 同样,对于级数 ，满足 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。返回0n2n1n (n).(2).有限长序列返回返回x(n)n0n1.1.3. 右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,返回收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为

3、 Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|; Rx-为最小收敛半径。返回(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：返回(5)左边序列x(n)0n n2返回第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .返回 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。 (6)双边序列0nx返回第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。返回2-2 Z反变换Z反变换的方法2.部分

4、分式法部分分式法3.幂级数展开法幂级数展开法(长除法长除法)返回2： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。返回C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c返回Z反变换的方法 -1.留数法教材P50页有对Z反变换的推导.留数定理： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处的留数。返回 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数：返回例2-4 已知解:1）当n-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此，求z反变换。返回2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有

5、极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点，且分母比分子的Z的阶数至少高2:返回2.2.部分分式法部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有的和，使各分式具有 或或 的形

6、式的形式 ，其中，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约是实数范围内的不可约 多项式，而且多项式，而且k k是正整数。这时称各分式为原分是正整数。这时称各分式为原分 式的式的“部分分式部分分式”。返回 通常，通常，X(z)X(z)可可表成有理分式形式：表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为： 返回的z反变换。例2-5利用部分分式法，求解： 分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。返回返回3.幂级数展开法幂级数展开法(长除法长除

7、法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。 返回 例例2-6 2-6 试用长除法求试用长除法求的的z z反变换。反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。返回返回返回 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z

8、 - 4 Z 24 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116.返回 Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.返回返回2-3 Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理共有线性、移位、共有线性、移位、Z域尺度、域尺度、 Z域求导等域求导等12条性质条性质返回2如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。返回例2-7已知 ,求其z变换。解：返回2. 2.

9、 序列的移位序列的移位如果则有：例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。返回3. 3. Z Z域尺度变换域尺度变换( (乘以指数序列乘以指数序列) )如果，则证明：返回4. 4. 序列的序列的线性加权线性加权( (Z Z域求导数域求导数) )如果，则证明：返回5. 5. 共轭序列共轭序列如果，则证明：返回6. 翻褶序列如果，则证明：返回7. 7. 初值初值定理定理证明：返回8. 终值定理证明：返回 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。返回9. 9. 有限项累加特性有限项累加特性证明

10、：返回返回10.10.序列的卷积和序列的卷积和( (时域卷积定理时域卷积定理) ) 返回证明：返回例2-9解：返回11.11.序列相乘序列相乘( (Z Z域卷积定理域卷积定理) )其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）返回例2-10解：返回返回 12.12.帕塞瓦定理帕塞瓦定理(parseval)(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）如果则有:返回*几点说明：返回2-4 2-4 序列的序列的Z Z变换与拉氏变换、变换与拉氏变换、傅氏变换的关系傅氏变换的关系 一一.Z.Z变换与拉氏变

11、换的关系变换与拉氏变换的关系二二.Z.Z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系返回2设 为连续信号， 为其理想抽样信号，则一.Z变换与拉氏变换的关系返回！复习回顾：连续信号的FT与LT关系Go！ 序列 的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。返回又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系则 与 的关系为：解释2.Z2.Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系( S( S、Z Z平面映射关系）平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。返回

12、 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。j00(1).r与的关系返回= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.(2).与的关系（=T）返回0jImZReZ二二.Z.Z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆 上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。

13、 用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。返回所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。返回1.正变换:2.反变换:返回2-2-5 5 傅氏变换的一些对称性质傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。返回2 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-

14、n) 则称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，则 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。返回 二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和返回返回三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和其中，返回四、两个基本性质证明：返回证明：返回五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系证明：返回j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：返回六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系证明：返回 再乘以j。证明：返回七、序列为实序列的情况返回返回返回8.实序列也有如下性质：返回2

15、-6 离散系统的系统函数离散系统的系统函数及频率响应及频率响应 六六.IIR系统和系统和FIR系统系统返回2线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应h(n)x(n) (n) H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。一.系统函数:返回 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。 z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)| ，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数

16、收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。与充要条件|h(n)|是等价的统返回线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解,令得：返回四四.系统的频率响应系统的频率响应 的意义的意义 考察系统对不同频谱成分的传输能力：均匀传送或衰减 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换称作系统频率响应。 也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：返回 返回模：相角：返回2.2.几点说明几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量(N-M)。 (2).单位圆附

17、近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。返回零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。 0。返回 例例2-14 2-14 设一阶系统的差分方程为设一阶系统的差分方程为: : 解: 对差分方程两边取Z变换: ，a为实数为实数,求系统的频率响应。求系统的频率响应。返回这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为:幅度响应为:相位响应为:返回011 2 3 4 5 6 7 8n零极点分布情况00-10a1返回六六.IIR.IIR系统和系统和FIRF

18、IR系统系统1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长,即n时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统。返回2.2.有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应(FIR)(FIR)系统系统 h(n)为有限长序列的系统。返回取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系返回傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系由傅里叶变换的定义式，当f(t)满足狄义赫利条件时，可得到如下傅里叶变换式： 用一个衰减因子e-t (为任意实数)去乘f(t)，使其收敛以满足绝对可积条件, 这样代入傅里叶变换式中，就变成了e-（+j）t。我们定义一个符号s,使s= （+j）t，最终得到一个更广义的傅里叶变换，这就是“拉普拉斯变换”！傅里叶变换与拉普拉斯变换的自变量取值范围对比如图：因而傅里叶变换是拉普拉斯变换的子集！返回返回