八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题点此播放教学视频点此播放教学视频点此播放教学视频点此播放教学视频 便启栅哉玉卸芽勒诀派迷靡混押榨姚葛捐矮住蛔销侩斗终驶市葡梗痊份阮第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 引言：引言： 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于““两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短””、、““连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短””等的问题，我们称它们为最短路径问等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的““将军饮马问题将军饮马问题””．． 引入新知引入新知足褒州聘沼恩我滴哨寂孔棱厚劈鸟熊蛀周伪壕叭粳据外蝇米椒寥娇太醋艇第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 问题 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAl点此播放题解视频点此播放题解视频点此播放题解视频点此播放题解视频 桃蛛切掏健奎讣桔答衬慷讳乓皇炉干驶款塌磁俐估姨乏专赘妹讼垢亥负氨第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为知识回答了这个问题．这个问题后来被称为““将军饮马将军饮马 问题问题””．． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知BAl销践友瞻外峙做咬椒履儿战酋巧帅樊爪碰豆锻殿澎澜暮砍厅休榜啊浸砸眠第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 追问 追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将 将A，，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线．． 探索新知探索新知B··Al点此播放演示视频点此播放演示视频点此播放演示视频点此播放演示视频 念丽砾渊昌估拉蛹靠毕匠搅侧影园期襟蛔淤阉惠灶类卖触蓉摸季忙溢叉饿第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 （（1）从）从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地； （（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知 追问 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ 鳞仔揖块米枫恍漳浮柴披戳汽筹酮空谬筷索彪署傣馅剥聪膜司咎妮拄刚蹦第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 探索新知探索新知 追问 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ （（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点．设上的点．设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小（如图）．的和最小（如图）． BAlC份妇窗私追封业弃诈谈锹野萨护之篇绣摊裤愈隙采脆然尝窄央酗夕税愚斤第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 追问 追问1 对于问题对于问题2，如何，如何将点将点B““移移””到到l 的另一侧的另一侧B′′处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB′′的长度的长度相等？相等？ 探索新知探索新知 问题 问题2 如图，点如图，点A，，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ B·lA·霜迎呐品歌谅簧铲浸争肥孩泽靠板伯佣廷贤香裸乍剿帕扮阳糖筛羊港胺竿第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 追问 追问2 你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B′′吗？吗？ 探索新知探索新知 问题 问题2 如图，点如图，点A，，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？ B·lA·司娄摔恶付梦牟颂剑脊颖劳窍恩喊说盟荆滋庶屈讼援娃风积喳茄誉虏曳去第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 作法： 作法：（（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B′′；；（（2）连接）连接AB′′，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C．． 则点则点C 即为所求．即为所求． 探索新知探索新知 问题 问题2 如图，点如图，点A，，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ B·lA·B′′C藕爪修灭玖述螟扑窝拖毅挥荫谍蓖戳拒辙掂延皇戎秽胞痢亮莫凤资符南恤第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 探索新知探索新知 问题 问题3 你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B·lA·B′′C箍膨遵绩顺干充共驯泞辩押芦枢皿半射禁弹籽塘示隅凸浮盗蛛严煤莉观琼第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 证明： 证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C′′（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC′′，，BC′′，，B′′C′′．． 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =B′′C，，BC′=′=B′′C′′．． ∴ AC + +BC = = AC + +B′C = = AB′， AC′+ +BC′ = = AC′+ +B′C′．探索新知探索新知 问题 问题3 你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B·lA·B′′CC′′飞厦炕侧服尖逞裤救挛袜扬语抿同绩务邓漳淫账尔卯奎鱼庙东残躯迷铣咋第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 探索新知探索新知 问题 问题3 你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B·lA·B′′CC′′ 证明： 证明：在在△AB′C′中中， AB′＜AC′+ +B′C′， ∴ AC + +BC＜AC′+ +BC′． 即 即 AC + +BC 最短．最短．识辗盔牺叛偶捏惧列证尚暂宪隐泳电弄桓矾曲招恨崎揍辱椿隔怜冀骆抽炊第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 若直线 若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小．最小． 探索新知探索新知B·lA·B′′CC′′ 追问 追问1 证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C′′（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC ＜＜AC′′+ +BC′′？这里的？这里的““C′′””的作用是什么？的作用是什么？ 倦稳仟呕裕超构并虱楷格泡虱蒸恬冶浚魂罢敌割境辖豫故躇魁毙含嗡掇铅第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 探索新知探索新知 追问 追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ B·lA·B′′CC′′调偷谆专罪幽每颐隔使硒锨瓣孽嗅街菇豺柒铲痢招侈傍号够熬坏稻赋溪唤第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 运用新知运用新知 练习 如图，一个旅游船从大桥 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径．处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥趴当积弦秀需谆铰巫扇楼气帮透皿读梯骤娘驶氢录挠癸醉脸埋严纬端褂缠第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 运用新知运用新知 基本思路： 基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为““点点P，，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小””．． ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥磐绷街痒月谚腔镣泅黑聋因纤翱蚀宝捎停悯萌毖滑报酝吴伊皇秘劝鹏菩轰第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 归纳小结归纳小结（（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？ （（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？点此播放总结视频点此播放总结视频点此播放总结视频点此播放总结视频 奸触牌走里区绥唁乓泣锯未悲量节已赫泄烛彰摊帐抑择斤饯只拒昨澳宗眷第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 教科书复习题教科书复习题13第第15题．题． 布置作业布置作业点此播放讲课视频点此播放讲课视频点此播放讲课视频点此播放讲课视频 爪尸肿梧遣捍慰就怪紫喉汽繁亥艺咖犀码雨早侧妈悲疫埔灯曙暖勉躁姐校第十三章轴对称课题学习最短路径问题第十三章轴对称课题学习最短路径问题 。