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1、北京科技大学应用学院数力系 卫鸿儒W 计算方法课程性质和计划（续）计算方法概论泛函分析中若干概念矩阵特征值与特征向量的计算最佳平方逼近数值逼近方法方程组及非线性方程的数值解法常微分方程初值问题的数值解法非线性方程的求根方法插值法数值积分与数值微分线性方程组的解法二、用迭代法解线性方程组Jacobi迭代和Seidel迭代由于收敛速度较慢，已经越来越不适应当前信息时代人们对计算速度和精度的要求，所以在实际应用中使用的并不多。但是，他们体现了迭代法的最基本的思想，是学习其它迭代法的基础。（一）引言（一）引言直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解，解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法，它的基本思
2、想是将线性方程组 Ax=b 化为 x=Bx+f 再由此构造向量序列x (k): x(k+1)=Bx (k)+f若x (k)收敛至某个向量x *，则可得向量x *就是所求方程组 AX=b 的准确解。线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法。 若在求解过程中 xkx*(k)，由 xk+1=(xk)产生的迭代 xk向x*的逼近 ，在数次迭代求解之后，由于机器跳动产生的xk值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此，在迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累积误差，实际上，xk只是解的一个近
3、似，机器的舍入误差并不改变它的此性质。 迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。（前面已作介绍） （二）、Jacobi 迭代一： 设有方程组 a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . . . . . . . . . . . . an1x1+an2x2+annxn=bn用矩阵表示：Ax =b （A 为系数矩阵，非奇异；b为右端列向量，x为解向量）假设 aii0 令 cij = -aij /aii (ij) gi= bi /aij , i=1,2,3,n 则 x1(k+1)= c12x2(k)+c13x3(k)+ +c1nxn(k)+
4、g1 x2(k+1)=c21x1(k) +c23x3(k)+ +c2nxn(k)+g2 。 xn(k+1)=cn1x1(k) +cn2x2(k)+ +cn(n-1)xn-1(k) + gn Jacobi迭代格式迭代格式若令若令 0 c12 c13 c1n x1 c21 0 c23 c2n x2BJ= x= . cn1 cn3 cn4 0 xn a11 g1 a22 g= g2 易看出:BJ =D-1(D-A)=I-D-1A D= . . ann gn 把方程组写成容易迭代的形式：Jacobi迭代公式迭代公式（三）、（三）、Seidel迭代法迭代法 为了加快收敛速度，同时为了节省计算机的内存，我
5、们作如下的改进：每算出一个分量的近似值，立即用到下一个分量的计算中去，即用迭代格式： 这样所得的迭代法就称为Gauss-Seidel迭代法，也称为“异步迭代法”，简称为GS迭代法利用Ax=b 及A=L+D+U,其中D为对角矩阵,L,U分别为严格下，上三角矩阵则有，GS迭代法的矩阵形式为:Seidel迭代法的具体形式迭代法的具体形式Seidel迭代格式迭代格式 x1(k+1)= c12x2(k)+c13x3(k)+ +c1nxn(k)+g1 x2(k+1)=c21x1(k+1) +c23x3(k)+ +c2nxn(k)+g2 。 xn(k+1)=cn1x1(k+1) +cn2x2(k+1)+ +
6、cn(n-1)xn-1(k+1) + gn 假设 aii0 令 cij = -aij /aii (ij) gi= bi /aij , i=1,2,3,n （四）、收敛性及误差估计（五）、例题及求解（五）、例题及求解例：用迭代法解方程组AX=b,其中已知该方程的解为 解：本题分别用简单迭代法（Jacobi迭代法）和GS迭代法来解(1)简单迭代法表表2（六）、相关程序设计 原始数据（A,b)可用一个二维数组存储，也可将A用一个二维数组，b用一个一维数组分别存储，存储需要一个一维数组。程序中应方便地对迭代方法和终止条件的选择以及对初始向量和值的设置。在迭代过程中，为反映迭代情况，可设置一些中间数据的
7、输出，如迭带次数，迭代向量，迭代残向量等。当然不需要每迭代一次都作输出，这可作为收敛情况或不收敛情况的分析。作为不收敛的判定，可设置一个大的整数，当迭代次数超过该数时作为不收敛处理。 GS 迭代法的计算公式为：开始TFTFT请给出用C语言或其他语言求解下面方程组的程序及结果：（七）、方法优缺点讨论由以上例题的求解过程可明显看出GS迭代法的收敛速度比简单迭代法快，但对于任意给定的一个方程组分别用简单迭代法和GS迭代法求解时，两种迭代法可能都收敛，也可能都不收敛。也有可能是GS迭代法收敛而J迭代法不收敛。但亦有相反情况，即简单迭代法收敛而GS迭代法不收敛。而且交换方程组中的方程和未知数的次序都会影响GS迭代法的计算结果，但这种交换对简单迭代法是没有影响的。（八）、SOR法介绍（九）、迭代法的特点（1）方法简单，每次迭代都是简单的重复运算，易于编制程序；与求解线性方程的精确法相比，简单迭代法对于字长位数较少的计算机更为适用，它可以用增加迭代次数来弥补字长位数少的不足。（2）初值可以任取，因而中间结果偶然错误不影响最后结果的获得。（3）缺点：用计算机计算时，迭代速度较慢。（4）就其收敛性而言，某些用Seidel迭代法不能收敛。而无法得出结果的线性代数方程组，用Jacoai迭代法却能进行收敛计算，反之已然。
