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1、第第4讲导数的综合应用讲导数的综合应用考点梳理考点梳理(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)，并确定定义域；(2)求导数f(x)，解方程f(x)0；(3)判断使f(x)0的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答1利用导数解决实际生活中的优化问题利用导数解决实际生活中的优化问题2研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识一个防范实际问题中的函数定义域一般是受实际问题制约的，不可盲目地
2、从建立的函数关系中确定函数的定义域两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理【助学助学微博微博】解析yx281，令y0解得x9(9舍去)当0x9时，y0；当x9时，y0，则当x9时，y取得最大答案9考点自测考点自测2从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3. 答案144解析当x2时，f(x)3(x1)20，说明函数在(，2)上单调递增，函数的值域是(，1)，函数在2，)上单调递减
3、，函数的值域是(0,1，因此，结合图形要使方程f(x)k有两个不同的实根，则0k1.答案(0,1)4(2012盐城市第一学期摸底考试)已知函数f(x)|x26|，若ab0或f(x)0确定单调性(2)根据单调性求f(x)在1，e上的最小值列方程求解(3)f(x)xln xx3求xln xx3的最大值若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，h(x)在(1，)上是减函数h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是减函数g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立方法总结 (1)求函
4、数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调减少，在(0，)上单调增加(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，【训练训练1】 (2010新课标全国卷新课标全国卷)设函数设函数f(x)
5、ex1xax2.考向二考向二运用导数解决不等式问题运用导数解决不等式问题令h(x)ax2x1a，x(0，)当a0时，h(x)x1，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数f(x)单调递增方法总结 (1)利用导数解决不等式问题，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题(2)利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0.(2)证明：当0x1时，f(x)|2a|0.(1)解由题意得f(x)1
6、2x22a.当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(，)【训练训练2】 (2012浙江浙江)已知已知aR，函数，函数f(x)4x32axa. (1)求求f(x)的单调区间；的单调区间；(1)求yf(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值考向三考向三运用导数解决生活中的优化问题运用导数解决生活中的优化问题方法总结 对于具体的函数，其单调性和最值都很明确，若定义域是变化的，这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内(1)试将l表示成的函数；(2)求l的最小值解解(1)如图所示，如图所示，AEM902，则，则MBlsin ，AMMBsinA
7、EMlsin sin(902)lsin cos 2.由题意，得由题意，得lsin lsin cos 26，【例4】 (2012南京白下区调研二)已知函数f(x)x3x2 b，g(x)aln x，考向四考向四应用导数解决函数的综合问题应用导数解决函数的综合问题若0t1，方程(*)为t2(aln t)(t3t2)0，显然，当t1时，h(t)0，即h(t)在(1，)上为增函数，h(t)的值域为(h(1)，)，即(0，)，当a0时，方程(*)总有解对任意给定的正实数a，曲线yF(x)上总存在两点P，Q，使得POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上方法总结 近年来，
8、高考对函数与导数大部分是以压轴题的形式考查的，试题难度较大，命题角度新颖，需要考生把生疏的问题通过分析转化为熟悉的问题，考查考生分析、解决问题的能力(1)求求a的值；的值；(2)若对任意的若对任意的x0，)，有，有f(x)kx2成立，求实数成立，求实数k的的最小值；最小值；【训练训练4】 (2012天津卷天津卷)已知函数已知函数f(x)xln(xa)的最小的最小值为值为0，其中，其中a0.x(a,1a)1a(1a，)f(x)0f(x) 极小值极小值 因此，因此，f(x)在在x1a处取得最小值，处取得最小值，故由题意故由题意f(1a)1a0，所以，所以a1.(2)解当解当k0时，取时，取x1，有
9、，有f(1)1ln 20，故故k0不合题意不合题意当当k0时，令时，令g(x)f(x)kx2，即即g(x)xln(x1)kx2. 导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质、相切问题以及实际优化等问题近年，高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线规范解答规范解答6怎样用导数求解函数的综合性问题怎样用导数求解函数的综合性问题(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2；记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线斜率为k.问：是否存在a，使得k2
10、a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由审题路线图 (1)即解不等式f(x)0(0)；(2)假设存在，进行探求令g(x)x2ax1，其判别式为a24.(4分)当|a|2时，0，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根都小于0，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增(7分)点评 探索性问题，假设成立，进行探求是最基本的解题方法，构造函数，也是用导数求解函数综合性问题的基本手法之一1(2012苏锡常镇四市调研(一)已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为_2(2012南京市、盐城市一模)若关于x
11、的方程kx1ln x有解，则实数k的取值范围是_(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大210(x3)(x6)2(3x6)于是由f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)0(3x0，f(x)单调递增；当x(4,6)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x4时，f(x)maxf(4)42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大(1)求a，b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x
12、)m(x1)恒成立，求实数m的取值范围解(1)a2，b5，切线l的方程为xy20.(2)由(1)得，f(x)x34x25x2，所以f(x)g(x)x33x22x.4(2011湖北卷湖北卷)设函数设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中，其中xR，a，b为常数已知曲线为常数已知曲线yf(x)与与yg(x)在点在点(2,0)处有相同的切线处有相同的切线l.又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0.由韦达定理，可得x1x230，对任意的xx1，x2，有xx20，xx10，x0，则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，
