由此得平面任意力系的平衡方程

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1、第四章 结构上的荷载与支座反力 通过本章学习，学生应知道结构上荷载的分类及其代表值的确定，能够进行一般结构上荷载的计算，会利用静力平衡条件求解简单静定结构的支座反力。 一般结构上荷载的计算，利用平衡条件求解简单静定结构的支座反力。 建筑结构荷载规范（GB50009-2001） 引例案例一和案例二中，教室的楼盖，由梁和板组成，其上有桌椅家具和人群等荷载，其自身重量和外加荷载由梁和板承受，并通过梁、板传递到墙上，墙就是梁的支座，那么梁和板上的荷载是多少？由于荷载总是变化的，怎样取值才能保证结构及结构构件的可靠性？同时，梁和板传到支座的压力是多少？支座反力又是多少？都是我们要解决的问题。4.1 结构

2、上的荷载 4.1.1 荷载的分类建筑结构在施工与使用期间要承受各种作用，如人群、风、雪、及结构构件自重等，这些外力直接作用在结构物上；还有温度变化、地基不均匀沉降等间接作用在结构上；我们称直接作用在结构上的外力为荷载。1荷载按作用时间的长短和性质，可分为三类：永久荷载、可变荷载和偶然荷载；1)永久荷载是指在结构设计使用期间，其值不随时间而变化，或其变化与平均值相比可以忽略不计，或其变化是单调的并能趋于限值的荷载。例如，结构的自重、土压力、预应力等荷载，永久荷载又称恒荷载。2)可变荷载是指在结构设计使用期内其值随时间而变化，其变化与平均值相比不可忽略的荷载。例如，楼面活荷载、吊车荷载、风荷载、雪

3、荷载等，可变荷载又称活荷载。3)偶然荷载是指在结构设计使用期内不一定出现，一旦出现，其值很大且持续时间很短的荷载。例如，爆炸力、撞击力等。 2荷载按结构的反应特点分为两类：静态荷载和动态荷载；1）静态荷载，使结构产生的加速度可以忽略不计的作用，如结构自重、住宅和办公楼的楼面活荷载等。2）动态荷载，使结构产生的加速度不可忽略不计的作用，如地震、吊车荷载、设备振动等。3荷载按作用位置荷载可分为两类：固定荷载和移动荷载。1）固定荷载是指作用位置不变的荷载，如结构的自重等。2）移动荷载是指可以在结构上自由移动的荷载，如车轮压力等。荷载的分布形式1材料的重力密度：某种材料单位体积的重量（kN/m3），称

4、为材料的重力密度，用表示，详见附表3.1。 特别提示如工程中常用水泥砂浆的重力密度是20 kN/m3，石灰砂浆的重力密度是17 kN/m3，钢筋混凝土的重力密度是25 kN/m3，砖的重力密度是19kN/m3。2均布面荷载：在均匀分布的荷载作用面上，单位面积上的荷载值，称为均布面荷载，其单位为kN/m2或N/m2 ，如图4.1所示的板的均布面荷载。 图4.1板的均布面荷载 特别提示一般板上的自重荷载为均布面荷载，其值为重力密度乘以板厚。如一矩形截面板，板长为 ,板宽度为 （m），截面厚度为 （m），重力密度为 （kN/m3）,则此板的总重量 ；板的自重在平面上是均匀分布的，所以单位面积的自重

5、（kN/m2）。值就是板自重简化为单位面积上的均布荷载标准值。 3均布线荷载：沿跨度方向单位长度上均匀分布的荷载，称为均布线荷载，其单位为kN/m或N/m如图4.2所示的梁上的均布线荷载。 图4.2梁上的均布线荷载 特别提示一般梁上的自重荷载为均布线荷载，其值为重力密度乘以横截面面积。如一矩形截面梁，梁长为 ,其截面宽度为 （mm），截面高度为（mm），重力密度为 （kN/m3）,则此梁的总重量梁的自重沿跨度方向是均匀分布的，所以沿梁轴每米长度的自重 （kN/m）。值就是梁自重简化为沿梁轴方向的均布荷载标准值，均布线荷载 也称线荷载集度。4非均布线荷载：沿跨度方向单位长度上非均匀分布的荷载，称

6、为非均布线荷载，其单位为kN/m或N/m，如图4.3a所示的挡土墙的土压力。图4.3a 挡土墙的土压力 图4.3b柱子的自重5集中荷载（集中力）：集中地作用于一点的荷载称为集中荷载（集中力），其单位为kN或N，通常用或表示，如图4.3b所示的柱子自重。 特别提示一般柱子的自重荷载为集中力，其值为重力密度乘以柱子的体积，即 。【知识链接】均布面荷载化为均布线荷载的计算在工程计算中，板面上受到均布面荷载 （kN/m2）时，它传给支撑梁为线荷载，梁沿跨度（轴线）方向均匀分布的线荷载如何计算？案例一：设板上受到均匀的面荷载 （kN/m2）作用，板跨度为3.3（m）（受荷宽度)、L2梁跨度为5.1（m）

7、，那么，梁L2上受到的全部荷载 梁L2自重（kN/m）,而荷载 是沿梁的跨度均匀分布的。 图4.4 板上的荷载传给梁示意图 荷载的代表值在后续进行结构设计时，对荷载应赋予一个规定的量值，该量值即所谓荷载代表值。永久荷载采用标准值为代表值，可变荷载采用标准值、组合值、频遇值或准永久值为代表值。1荷载的标准值荷载标准值是荷载的基本代表值。为设计基准期内（50年）最大荷载统计分布的特征值，是指其在结构使用期间可能出现的最大荷载值。1) 永久荷载标准值（ ），是永久荷载的唯一代表值。对于结构自重可以根据结构的设计尺寸和材料的重力密度确定，建筑结构荷载规范中列出了常用材料和构件自重，见附表3-1。例4.

8、1 应用实例一中矩形截面钢筋混凝土梁L2，计算跨度为5.1m，截面尺寸为b=250mm.，h=500mm，求该梁自重(即永久荷载)标准值。解：梁自重为均布线荷载的形式，梁自重标准值应按照 计算，其中钢筋混凝土的重力密度 ， ， ，故：梁自重标准值 特别提示计算过程中应注意物理量单位的换算。梁的自重标准值用 表示。例4.2 案例一中楼面做法为：30mm水磨石地面，120mm钢筋混凝土空心板（折算为80mm厚的实心板），板底石灰砂浆粉刷厚20mm，求楼板自重标准值。解：板自重为均布面荷载的形式，其楼面做法中每一层标准值均应按照 计算，然后把三个值加在一起就是楼板的自重标准值。查附表3-1得：30m

9、m水磨石地面： 0.65kN/m2，钢筋混凝土的重力密度 ，石灰砂浆的重力密度 ，故：楼面做法：30mm水磨石地面： 0.65kN/m2 120mm空心板自重： 25kN/m30.08m =2kN/m2 板底粉刷： 17 kN/m30.02m =0.34kN/m2 板每平方米总重力（面荷载）标准值：例4.3 案例一中钢筋混凝土梁L5（7），截面尺寸 ， ，且梁上放置120厚、1.2m高的栏杆，栏杆两侧20mm厚石灰砂浆抹面，求作用在梁上的永久荷载标准值。解：经分析，梁L5（7）的自重及作用在梁上的栏杆、石灰砂浆抹面为梁的永久荷载，荷载计算如下：查附表3-1得：钢筋混凝土的重力密度 ，石灰砂浆的

10、重力密度 ，故： 梁L5（7）的自重：25kN/m30.2m0.3m =1.5kN/m 梁上的栏杆及石灰砂浆抹面：1.2m(0.12m19 kN/m3 +0.02m17 kN/m32）=3.552 kN/m 梁上的永久荷载标准值: 2) 可变荷载标准值( )，由设计使用年限内最大荷载概率分布的某个分位值确定，是可变荷载的最大荷载代表值，由统计所得。我国建筑结构荷载规范对于楼(屋)面活荷载、雪荷载、风荷载、吊车荷载等可变荷载标准值，规定了具体的数值，设计时可直接查用。(1)楼(屋)面可变荷载标准值见附表3-2。 特别提示根据附表3-2，查得案例二：教学楼教室的楼面活荷载标准值为2kN/m2；楼梯

11、上的楼面活荷载标准值为2.5 kN/m2。(2)风荷载标准值（ ），风受到建筑物的阻碍和影响时，速度会改变，并在建筑物表面上形成压力和吸力，即为建筑物所受的风荷载。根据建筑结构荷载规范相关规定，风荷载标准值（ ）按下式计算： （4-1）式中： 风荷载标准值（kN/m2）； 高度处的风振系数，它是考虑风压脉动对结构产生的影响，按建筑结构荷载规范规定的方法计算； 风荷载体型系数，见建筑结构荷载规范； 风压高度变化系数，见建筑结构荷载规范； 基本风压（kN/m2）是以当地平坦空旷地带，10m高处统计得到的50年一遇10min平均最大风速为标准确定的，按建筑结构荷载规范中“全国基本风压分布图”查用。(

12、3)此外雪荷载标准值、施工及检修荷载标准值见建筑结构荷载规范相关规定取值。【知识链接】应用实例一中根据上述风荷载计算方法，确定出框架结构上的风荷载，示意图如图4.5示。图4.5 风荷载作用示意图2可变荷载组合值（ ）当结构上同时作用有两种或两种以上可变荷载时，由于各种可变荷载同时达到其最大值（标准值）的可能性极小，因此计算时采用可变荷载组合值，所谓荷载组合值是将多种可变荷载中的第一个可变荷载（或称主导荷载，即产生最大荷载效应的荷载），仍以其标准值作为代表值外，其他均采用可变荷载的组合值进行计算，即将它们的标准值乘以小于1的荷载组合值系数作为代表值，称为可变荷载的组合值，用 表示： （4-2）

13、式中 可变荷载组合值； 可变荷载标准值； 可变荷载组合值系数，一般楼面活荷载、雪荷载取0.7，风荷载取0.6，其他可变荷载取值见附表3-2和3-3。3可变荷载频遇值（ ）可变荷载频遇值是指结构上时而出现的较大荷载。对可变荷载，在设计基准期内，其超越的总时间为规定的较小比率或超越频率为规定频率的荷载值。可变荷载频遇值总是小于荷载标准值，其值取可变荷载标准值乘以小于的荷载频遇值系数，用 表示： （4-2） 式中 可变荷载频遇值； 可变荷载频遇值系数，见附表3-2；4可变荷载准永久值（ ）可变荷载准永久值是指可变荷载中在设计基准期内经常作用（其超越的时间约为设计基准期一半）的可变荷载。在规定的期限内

14、有较长的总持续时间，也就是经常作用于结构上的可变荷载。其值取可变荷载标准值乘以小于的荷载准永久值系数，用 表示： （4-2）式中 可变荷载准永久值 可变荷载准永久值系数，按荷载规范的规定取值，见附表3-2。 荷载分项系数1荷载分项系数荷载分项系数用于结构承载力极限状态设计中，目的是保证在各种可能的荷载组合出现时，结构均能维持在相同的可靠度水平上。荷载分项系数又分为永久荷载分项系数 和可变荷载分项系数 ，其值见表4.1。 表4.1 基本组合的荷载分项系数永久荷载分项系数 可变荷载分项系数 其效应对结构不利时其效应对结构有利时由可变荷载效应控制的组合1.2一般情况1.0一般情况1.4由永久荷载效应

15、控制的组合1.35对结构的倾覆、滑移或漂浮验算0.9对标准值大于4KN/m2的工业房屋楼面结构的荷载1.32 荷载的设计值一般情况下，荷载标准值与荷载分项系数的乘积为荷载设计值，也称设计荷载，其数值大体上相当于结构在非正常使用情况下荷载的最大值，它比荷载的标准值具有更大的可靠度。永久荷载设计值为 ；可变荷载设计值为 。例4.4 实例二中，现浇钢筋混凝土楼面板板厚h=100mm，板面做法选用：即810厚地砖，25厚干硬水泥砂浆，素水泥浆，其重量0.7KN/m2，板底为20厚石灰砂浆粉刷，永久荷载及可变荷载分项系数分别为1.2和1.4，确定楼面永久荷载设计值和可变荷载设计值。解：（1）永久荷载标准

16、值板 自 重：25kN/m30.10m=2.5kN/m2楼面做法： 0.7kN/m2板底粉刷：17kN/m30.02m=0.34kN/m2板每平方米总重力（面荷载）标准值： =3.54kN/m2（2）永久荷载设计值（3）可变荷载标准值查附表3.2知:办公楼可变荷载标准值为： =2 kN/m2（面荷载）（4）可变荷载设计值4.2 静力平衡条件及构件支座反力计算物体在力系的作用下处于平衡时，力系应满足一定得条件，这个条件称为力系的平衡条件。平面力系的平衡条件1平面任意力系的平衡条件在前面的力学概念中我们知道，一般情况下平面力系与一个力及一个力偶等效。若与平面力系等效的力和力偶均等于零，则原力系一定

17、平衡。则平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在两平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和等于零，力系中所有各力对于任意一点个坐标轴上的投影的代数和等于零，力系中所有各力对于任意一点O的力矩代数和等于零。的力矩代数和等于零。由此得平面任意力系的平衡方程：由此得平面任意力系的平衡方程： 特别提示 即力系中所有力在X方向的投影代数和等于零； 即力系中所有力在Y方向的投影代数和等于零； 即力系中所有力对任意一点o的力矩代数和等于零平面任意力系的平衡方程,还有另外两种形式：1）二矩式：其中，A、B两点之间的连线不能垂直x轴。2）三矩式：其中，A、B、C

18、三点 不能共线。 2 几种特殊情况的平衡方程1）平面汇交力系若平面力系中的各力的作用线汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系，根据力系的简化结果知道，汇交力系与一个力（力系的合力）等效，由平面任意力系的平衡条件知，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：力系的合力等于零力系的合力等于零，即：2）平面平行力系若平面力系中的各力的作用线均相互平行，则此力系为平面平行力系。显然，平面平行力系是平面力系的一种特殊情况，由平面力系的平衡方程推出，由于平面平行力系在某一坐标轴x轴（或y轴）上的投影均为零，因此，平衡方程为： （或 ） 当然，平面平行力系的平衡方程也可写成二矩式：其中，A、B两点之间的连线不能与各

19、力的作用线平行。构件的支座反力计算求解构件支座反力的基本步骤如下：（1）以整根构件为研究对象进行受力分析，绘制受力图；（2）建立 直角坐标系；（3）依据静力平衡条件，根据受力图建立静力平衡方程，求解方程得支座反力。 特别提示 直角坐标系，一般假定 轴以水平向右为正， 轴以竖直向上为正；绘制受力图时，支座反力均假定为正方向；求解出支座反力后，应标明其实际受力方向。例4.5 如图4.6所示简支梁，计算跨度为 ，承受的均布载 ，求梁的支座反力。（a）计算简图 （b）受力图 图4.6梁的支座反力计算解：（1）以梁为研究对象进行受力分析，绘制受力图，如图4.6b所示；（2）建立如图4.6b所示的直角坐标

20、系；（3）建立平衡方程，求解支座反力：解得： ; （） 例4.6 如图4.7所示悬臂梁，计算跨度 ，承受的集中荷载设计值 ，求支座反力。（a）计算简图 （b）受力图 图4.7 悬臂梁受力图解：（1）以梁为研究对象进行受力分析，绘制受力图，如图4.7b所示；（2）建立如图4.7b所示的直角坐标系；（3）建立平衡方程，求解支座反力：解得： （） （ ）例4.7 如图4.8所示简支梁，计算跨度 ，承受的集中荷载设计值 ，作用在跨中C点，求简支梁的支座反力。 （a）计算简图 （b）受力图 图4.8简支梁受力图解：（1）以梁为研究对象进行受力分析，绘制受力图，如图4.8b所示；（2）建立如图4.8b所示

21、的直角坐标系；（3）建立平衡方程，求解支座反力：解得： ； （）例4.8 如图4.9所示外伸梁，简支跨计算跨度 ，承受均布荷载 ；外伸跨计算跨度 ， 承受均布荷载 ,承受的集中荷载值为 ，求外伸梁的支座反力。 （a）计算简图 （b）受力图 图4.9外伸梁受力图图4.9外伸梁受力图解：（1）以梁为研究对象进行受力分析，绘制受力图，如图4.9b所示；（2）建立如图4.9b所示的直角坐标系；（3）建立平衡方程，求解支座反力：解 ; （） （）【知识链接】静定与超静定问题在研究单个物体或物体系统的平衡问题时，若未知量的数目少于或等于独立的平衡方程数目，就能够直接利用平衡方程求解出全部未知量，这类问题称

22、为静定问题静定问题，例如本节中例4.54.8中的简支梁、悬臂梁及外伸梁，他们的支座反力未知数目为3个，平衡方程也为3个，故为静定结构。但在实际工程中，有时为了提高构件的刚度或调整其内力分布，常给结构或构件增加一些“多余”约束，从而使得在研究单个物体或物体系统的平衡问题时，这些结构或构件的未知量的数目超过了独立的平衡方程数目，无法直接利用平衡方程求解出全部未知量，这类问题称为超静定超静定问题问题，如图4.10示的连续梁及图4.5所示的框架结构均属于超静定结构。 图4. 10连续梁计算简图【综合应用案例【综合应用案例1】【综合应用案例【综合应用案例1】例1 应用案例一中钢筋混凝土矩形截面梁L1如图

23、4.11所示，已知梁跨度楼面做法为：30mm水磨石地面，120mm钢筋混凝土空心板，板底石灰砂浆粉刷厚20mm，梁的跨度 ，梁的截面宽度 ，截面高度 ，求梁L1的恒载标准值及活载标准值产生的支座反力。 （a） 梁L1 (b) 计算简图 （c）受力图 图4.11梁L1解：（1）确定计算简图按照第3章内容，梁L1简化为简支梁，其计算简图如图4.11b所示。（2）荷载计算 楼面荷载标准值楼面做法： 30mm水磨石地面 0.65kN/m2120mm空心板自重： 250.08=2kN/m2板底粉刷： 170.02 =0.34kN/m2楼面荷载标准值 2.99kN/m2板传给梁的恒载标准值：2.993.3

24、=9.867 kN/m（大梁的受荷范围是3.3m） 梁L1自重： 250.250.5=3.125 kN/m两侧粉刷 2170.50.02=0.34kN/m 则梁L1上的恒荷载标准值： =9.867+3.125+0.34=13.332kN/m 查附表3-2知：教学楼教室楼面可变荷载标准值为2kN/m2则梁L1上的活载标准值为： =23.3=6.6kN/m（大梁的受荷范围是3.3m）（3）求解支座反力以梁为研究对象进行受力分析，绘制受力图，如图4.11c所示，建立如图4.11c所示的直角坐标系，依据平衡条件建立平衡方程：（4）恒载标准值产生的支座反力： () 活载标准值产生的支座反力： ()解得：

25、 （）【知识链接】如图4.12所示梁的受荷范围取相邻两开间各一半。 图4.12 梁的受荷范围例2 如图4.13外伸梁L4(1A)，若内跨度 ，截面宽度 ，截面高度 ；外伸跨度 ，变截面端部取 ， 计算简图如图4.13a，求恒载标准值产生的支座反力。 （a） （b） 图4.13 外伸梁L4(1A)受力图解：(1)荷载计算 内跨：梁上均布线荷载标准值同L1：=13.332kN/m 外伸部分楼面做法：30mm水磨石地面 0.65kN/m2 120mm空心板自重： 250.08=2kN/m2 板底粉刷： 170.02=0.34kN/m2楼面恒荷载标准值 2.99kN/m2梁平均高度：梁的自重： 250

26、.250.4=2.5kN/m两侧粉刷 2170.40.02=0.272kN/m则梁上的恒载标准值为 =2.993.3+2.5+0.272=12.639kN/m同时，L5传来集中力标准值 =5.053.3=16.665KN/m（2）求解支座反力以梁为研究对象进行受力分析，绘制受力图，如图4.13b所示，建立如图4.13b所示的直角坐标系，依据平衡条件建立平衡方程： 解得： （） （） 本 章 小 结1、按作用时间的长短和性质，荷载可分为三类：永久荷载、可变荷载和偶然荷载。2、永久荷载的代表值是荷载标准值，可变荷载的代表值有荷载标准值、组合值、频遇值和准永久值；荷载标准值是荷载在结构使用期间的最大值，是荷载的基本代表值。3、荷载的设计值是荷载分项系数与荷载代表值的乘积，荷载分项系数分为永久荷载分项系数，可变荷载分项系数。4、平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和等于零，力系中所有各力对于任意一点O的力矩代数和等于零。5、根据力系平衡原理及平衡方程，可以求解静定结构构件的支反力。