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1、一、知识回顾：一、知识回顾： 1 1、求函数最值的常用方法：、求函数最值的常用方法： (1)(1)利用函数的单调性利用函数的单调性; ; (2)(2)利用函数的图象利用函数的图象; ; (3)(3)利用函数的导数利用函数的导数 2 2、用导数求函数、用导数求函数f(x)f(x)的最值的步骤的最值的步骤: : (1) (1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值) )； (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的的各极值各极值 与与f(a)f(a)、 f(b)f(b)比较，其中最大的一个为最大值，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小
2、值最小的一个为最小值 注意：注意：若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内只有一个极大内只有一个极大值值( (或极小值或极小值) )，则该极大值，则该极大值( (或极小值或极小值) )即为函数即为函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内的最大值内的最大值( (或最小值或最小值) ) 二、新课引入二、新课引入: : 导数在实际生活中有着广泛的应用导数在实际生活中有着广泛的应用, ,利用利用导数求最值的方法导数求最值的方法, ,可以求出实际生活中的某可以求出实际生活中的某些最值问题些最值问题. . 1.1.几何方面的应用几何方面的应用 ( (面积和体积等的最值面积和体积等的最值
3、) ) ( (功和功率等最值功和功率等最值) ) 2.2.物理方面的应用物理方面的应用 3.3.经济学方面的应用经济学方面的应用 ( (利润方面最值利润方面最值) ) 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用 楚水实验学校高二数学备课组楚水实验学校高二数学备课组 实际应用问题实际应用问题 审 题 （设设） 分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化 还原 （答答） 数学化 （列列） 解答数学问题解答数学问题 寻找解题思路 （解解） 构建数学模型构建数学模型 解答应用题的基本流程解答应用题的基本流程 三、新课讲授三、新课讲授 引例引例 已知某商品生产成本已知某商品生产成本C C与产量与产量
4、q q的函数关系的函数关系式为式为C C=100+4=100+4q q，价格，价格p p与产量与产量q q的函数关系式为：的函数关系式为： 1p ? 25?q，求产量，求产量q q为何值时，利润为何值时，利润L L最大？最大？ 8分析：利润分析：利润L L等于收入等于收入R R减去成本减去成本C C，而收入，而收入R R等于产量等于产量乘价格由此可得出利润乘价格由此可得出利润L L与产量与产量q q的函数关系式，再的函数关系式，再用导数求最大利润用导数求最大利润 1?12?解：收入解：收入 R ? q ? p ? q?25 ?q? 25 q ?q8?8?(0? q? 100)利润利润 12?1
5、2?21 q? 100L ? R? C ?25q?q? (100? 4q) ? ?q8?8?1L? ?q? 2141?q? 21? 0，求得唯一的极值点，求得唯一的极值点 令令 L? 0，即，即 4q? 84答：产量为答：产量为8484时，利润时，利润L L最大。最大。 1.1.几何方面的应用：几何方面的应用： 例例1 1：在边长为在边长为60 cm60 cm的正方形铁片的四角切去相的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起等的正方形，再把它的边沿虚线折起( (如图如图) )，做，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大
6、？最大容积是多少？箱底的容积最大？最大容积是多少？ xx60xx6060? x解：设箱底边长为解：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cm cm ， h ?2 2360x ? x2得箱子容积得箱子容积 V(x) ? x h?(0? x? 60)23x令令 V? (x) ? 60x? 0，解得解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40x=40， 23xV? (x) ? 60x?222并求得：并求得：V(40)=16000 V(40)=16000 当x?0,40?时v?x? 0；当x?40,60?时v?x? 0 因此，因此，1600016000是最大值。是最大值。 答：当答：当x=4
7、0cmx=40cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是3 3 16000cm16000cm . . 例例2 2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：解：设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底半径为，底半径为R R，则，则 表面积表面积 S=2S=2 Rh+2Rh+2 R R2 2 由由V=V=V2 2R R h h，得得 ，则，则 h?R2V2V22S(R) ? 2?R? 2?R ? 2?R2?RR2VV3R?S(R) ? ? 4?R? 0解得，解得
8、， ，从而，从而 令令 22?RVh ?2?RV?V23?()2?34V? 23V?即即: : h=2R h=2R 因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 例例3 3 有甲乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的有甲乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的 岸边岸边A A处，乙厂位于离甲厂所在河岸的处，乙厂位于离甲厂所在河岸的40kmB40kmB处，处， 乙厂到河岸的垂足乙厂到河岸的垂足D D与与A A相距相距50km50km，两厂要在此岸，两厂要在此岸 边合建一个供水站边合建一个供水站
9、C C，从供水站到甲厂和乙厂的，从供水站到甲厂和乙厂的 水管费用分别为每千米水管费用分别为每千米3a3a元和元和5a5a元，问供水站元，问供水站C C 在何处才能使水管费用最省？在何处才能使水管费用最省？ B A C X D 解：解：设供水站设供水站C C建在建在ADAD间距间距D D点点xkmxkm处能使水管费处能使水管费 B 用最省，设水管费用为用最省，设水管费用为y y元元 . .则则 y? 3a?(50? x)? 5a? x ? 40x? y ? 5a? 3a22x ? 40A C X D x令令y ? 5a? 3a ? 0，得：，得：22x ? 40x x1? 30 ，x2? -30
10、 ，又0 50，? x? 30，为为唯一极唯一极值值点，点， ? ?答：答：供水站供水站C C建在建在ADAD间距间距D D点点30km30km处能使水管费用最省处能使水管费用最省 . . 22高考链接（高考链接（2006年江苏卷）年江苏卷） 请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高 为为m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 m的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点O到底面到底面 中心中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？的距离为多少时，帐篷的体积最大？ O O1 解:设OO1为x m，则1x4 由题设可得正
11、六棱锥底面边长为（单位：m） 3 ? (x? 1)?8? 2x? x222于是底面正六形的面积为（单位：于是底面正六形的面积为（单位：m2） 33 32 226?( 8?2x? x ) ?(8?2x? x )423帐篷的体积为（单位：帐篷的体积为（单位：m ） 1 3 33 322(8?2x?x)?(x?1 )(8?2x? x )?1? ?V（x）= 23233?(16?12x? x )232求导数求导数 V(x) ?(12? 3x )2令令V（x）=0 解得解得 x=-2 ( 不合题意不合题意,舍去舍去),x=2 当当 1x2 时时 V（x） 0 ，V（x）为增函数）为增函数 当当 2x4
12、时时 V（x）0 V（x） 为减函数为减函数 所以所以 当当 x=2时时V（x）最大）最大 答：当答：当OO1为为2m时帐篷的体积最大时帐篷的体积最大. 四、课堂练习四、课堂练习 课课本本 P38 练习练习 No.1、2、3. 五、课堂小结五、课堂小结 1 1、用导数求函数、用导数求函数f(x)f(x)的最值的步骤的最值的步骤: : (1) (1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值内极值; ; ( (极大值或极小值极大值或极小值) )； (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与 f(a)f(a)、 f(b) f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的比较
13、，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值一个为最小值 注意：注意：若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内只有一个极大内只有一个极大值值( (或极小值或极小值) )，则该极大值，则该极大值( (或极小值或极小值) )即为函数即为函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内的最大值内的最大值( (或最小值或最小值) ) 实际应用问题实际应用问题 审 题 （设设） 分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化 还原 （答答） 数学化 （列列） 解答数学问题解答数学问题 寻找解题思路 （解解） 构建数学模型构建数学模型 解答应用题的基本流程解答应用题的基本流程 课课后作后作业业： 课课本本 P40 习题习题1.4 No.2、3、5.
