《数项级数的敛散性判别法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数项级数的敛散性判别法（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二、交错级数与任意项级数的敛散性二、交错级数与任意项级数的敛散性 第二第二节一、正项级数敛散性判别法一、正项级数敛散性判别法 数数项级数数敛散性判散性判别法法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 一、正项级数及其判别法一、正项级数及其判别法若定理定理 1. 正项级数收敛部分和序列有界 .若收敛 , 部分和数列有界, 故从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有定理定理2 (比较判别法比较判别法) 设且存在对一切有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数证证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,
2、也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2) 若弱级数因此这说明强级数也发散 .也收敛 .发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 若因为对一切而调和级数由比较判别法可知 p 级数发散 .发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .时,2) 若机动 目录 上页
3、下页 返回 结束 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明级数发散 .证证: 因为而级数发散根据比较判别法可知, 所给级数发散 .例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. (比较判别法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证证: 据极限定义,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 2 可知同时收敛或同时发散 ;(3) 当l = 时,即由定理2可知, 若发散 , (1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知收敛 , 若
4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 是两个正项级数正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ;特别取可得如下结论 :对正项级数(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时, 也收敛 ;也发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性. 例例3. 判别级数的敛散性 .解解: 根据比较判别法的极限形式知例例4. 判别级数解解:根据比较判别法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 . 比值判别法设 为正项级数, 且则(1) 当(2) 当证证: (1)收敛 ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较判别法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此所以级数发
5、散.时(2) 当说明说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, , p 级数但级数收敛 ;级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 讨论级数的敛散性 .解解: 根据定理4可知:级数收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：设正项级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示:由比较判敛法可知收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,收敛 ,发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意给定的正数 定理定理5. 根值判别法 ( Cauchy判别法)设 为正项级则证明提示证明提示: 即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.数, 且机动 目录
6、上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 说明说明 :但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明级数收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二 、交错级数与任意项级数的敛散性、交错级数与任意项级数的敛散性 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 , 且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 是单调
7、递增有界数列,又故级数收敛于S, 且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级收敛 ,数为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设根据比较判别法显然收敛,收敛也收敛且收敛 , 令机动 目录 上页 下页 返
8、回 结束 例例7. 证明下列级数绝对收敛 :证证: (1)而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 讨论级数 的敛散性.解：时,时，级数收敛。时，原级数即为几何级数显然收敛。综上所述，原级数收敛。内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数判别法必要条件不满足发 散满足比值判别法根值判别法收 敛发 散不定 比较判别法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数判别法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题1. 判别级数的敛散性:解解: (1)发散 , 故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 , 故原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 则级数(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.分析分析: (B) 错 ;又C机动 目录 上页 下页 返回 结束
