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1、 第二章 一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限第二节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限本节本节内容内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 的图形可以看出: 如何描述它？如何描述它？ 数列极限是考察数列在数列极限是考察数列在n 这一过程中的变化总这一过程中的变化总趋势趋势( (即有无极限即有无极限).).由于数列实际上可以看成是定义由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数域为正整数域的函数, , 故可以将数列的极限理论推广故可以将数列的极限理论推广到函数中到函数中, , 并用极限理论研究函数
2、的变化情形并用极限理论研究函数的变化情形. .例：例： 有问题没有？有问题没有？有问题没有？有问题没有？ 好像没有问题好像没有问题好像没有问题好像没有问题. . . .定义定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？ 将图形对称过去后将图形对称过去后, , 你有什么想法你有什么想法? ? 将图形对称将图形对称定义定义 从整体上来看这个图形从整体上来看这个图形 , , 能得到怎样的结论呢能得到怎样的结论呢? ?你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理.定义定义几何解释几何解释: :由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x
3、 +,定理定理定理定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:例例 证明证证:取因此注注:就有故欲使即机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二. 自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限当当x从大于从大于1 1和小于和小于1 1的方向趋于的方向趋于1 1即当即当x 1时时, ,函数函数(x)无限接近于无限接近于1, 1, 记为记为 f(x)1.1.oxy11 y = x(1,1) 由前面知对由前面知对 (x)与与1 1的接近程度可由的接近程度可由|(x)1| 来来刻划刻划; ;那么那么x与与1 1的接近又怎样来刻划呢？的接近又怎样来刻划呢？ 由由|(x)1|= |x1|
4、知知, ,要使要使 |(x)1| , , 只须只须 |x1|0, ,则有则有“当当 x1（但（但x1）时，时，f(x)1 ”的精确描述的精确描述: :1 .定义定义 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作几何解释几何解释:极限存在函数局部有界这表明: 例例1. 证明证证:故对任意的当时 , 因此总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明证证:欲使取则当时 , 必有因此只要机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明证证:故取当时 , 必有因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.单侧极限（左、右极限）单侧极限（左、右
5、极限）例如例如, ,注注：分段函数在分段点的极限分段函数在分段点的极限讨论及讨论及函数在定函数在定义区间端点的极限义区间端点的极限讨论要用讨论要用左、右极限左、右极限。左极限左极限右极限右极限右邻域右邻域左邻域左邻域左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例1证证例例2. 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解解: 因为显然所以不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.1.局部有界性局部有界性2.2.唯一性唯一性推论推论3.3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) )定理定理( (局部保号性局部保号性) )推论推论4.4.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定义定义定理定理注：注：计算数列极限时常转换为对应的函数极限，计算数列极限时常转换为对应的函数极限，从而应用求函数极限的方法从而应用求函数极限的方法. .四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)注：过程的定义注：过程的定义过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后
