《二章光波的数学表述及叠加原理ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二章光波的数学表述及叠加原理ppt课件（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 光波的数学表述 及叠加原理2.1 光涉及其数学表述，光涉及其数学表述，单色平面波色平面波一、简谐波一、简谐波(simple harmonic waves)的表达式的表达式 为动摇的波的波长，即具有同一振，即具有同一振动相位相位的空的空间两相两相邻点之点之间的的间隔。隔。 即即2长度内所含的度内所含的波波长数目。数目。为频率，即率，即单位位时间内振内振动的次数。的次数。角频率角频率动摇的传播速度动摇的传播速度角波数角波数yt=0zAy0=Acosyz=0tTAy0=Acos初相位初相位为、周期、周期为T、波、波长为的的简谐波波 对于机械波，对于机械波， y 表示位移；对于电磁波，表示位移
2、；对于电磁波， y表示表示电场强度电场强度 E 或磁感应强度或磁感应强度B；它们都随时间和空间；它们都随时间和空间延续地作周期性变化，波的强度正比于延续地作周期性变化，波的强度正比于A2。真空中的真空中的Maxwell方程组：方程组：对于对于E，微分方程为，微分方程为二、光波的数学表述二、光波的数学表述 单色平面波单色平面波设波波长为，传播方向播方向为 z，那么上式的解，那么上式的解为： 定义一矢量定义一矢量 k，其大小等于，其大小等于k，方向为波的传播，方向为波的传播方向，那么可推行到恣意方向传播的波。方向，那么可推行到恣意方向传播的波。是空间任一点的位置矢量是空间任一点的位置矢量 “单色指
3、波只需色指波只需单一一频率率；“平面平面指在指在 kr = 常量的空常量的空间各点所各点所组成的平面成的平面上的相位都相等，即等相面波面上的相位都相等，即等相面波面为一一平面平面2. 相位差与间隔之间的关系为相位差与间隔之间的关系为1. 单色平面波单色平面波 在空在空间某点某点 r 处，随着，随着时间的推移，的推移，振振动的相位将的相位将发生生变化；在某一化；在某一时辰辰 t，在在传播方向上的不同点之播方向上的不同点之间也存在着相位也存在着相位的差的差别。这是由于两点的是由于两点的间隔所引起的相隔所引起的相位差。位差。E0-E0E0E0-E0E0E0E0-E0-E0波峰波峰波谷波谷kk单色平面
4、波色平面波3. 用指数复函数来表示简谐波：用指数复函数来表示简谐波：复振幅复振幅(complex amplitude)：相位因子：相位因子： 用复函数表示动摇，在运算中带来方便，用复函数表示动摇，在运算中带来方便，只需复函数中只需复函数中E的实数部分才代表真正的物的实数部分才代表真正的物理量。理量。代入代入将将麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组：可得：可得：代入代入可得：可得：k方向上的单位矢量方向上的单位矢量 E、B、k 这三矢量相互垂直，构成这三矢量相互垂直，构成右手螺旋定那么，右手螺旋定那么，E = c B。 E和和B都与都与传播方向传播方向 k 垂直，故光波是横波。垂直，故光波是横波。zE
5、yBx 这是一个沿这是一个沿 z 轴传播的单色平面波，轴传播的单色平面波，电矢量电矢量 E在平面在平面 xoz 内振荡，而磁矢量内振荡，而磁矢量 B那么在平面那么在平面 yoz 内振荡。光矢量内振荡。光矢量E不是对不是对称分布而是有一定取向，这种具有偏向性称分布而是有一定取向，这种具有偏向性的振动形状为偏振。的振动形状为偏振。偏振面为偏振面为oxz平面的偏振光平面的偏振光沿沿 z 轴传播的单色平面波的简谐动摇方式：轴传播的单色平面波的简谐动摇方式：zEyBx2.2 球面涉及高斯波球面涉及高斯波 单色平面波并不是单色平面波并不是Maxwell方程组独一的方程组独一的解，一些在光学中经常遇到的波如
6、：球面波和解，一些在光学中经常遇到的波如：球面波和高斯波也是它的解。高斯波也是它的解。一、球面波与高斯波的产生及特点一、球面波与高斯波的产生及特点球面波球面波 1. 产生：从点光源发出的传播到不太远间隔处的光波产生：从点光源发出的传播到不太远间隔处的光波 2. 特点：等相位面和等振幅面都为球面特点：等相位面和等振幅面都为球面高斯波高斯波 1. 产生：从激光器发出的光波激光产生：从激光器发出的光波激光 2. 特点：等相位面上的光强振幅呈高斯函数分布特点：等相位面上的光强振幅呈高斯函数分布可得可得一、球面波一、球面波 球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标系的原点
7、，那么系的原点，那么 k 与与 r 的方向永远一样，的方向永远一样，E的大小只与半径的大小只与半径 r及时间及时间 t 有关，所以可写成有关，所以可写成 E = Er，t，把它代入，把它代入该方程的解为该方程的解为 式中式中A是一个常数是一个常数讨论：1、常数的面是等振幅面，对于单色常数的面是等振幅面，对于单色光，它同时也是等相面，都是球面光，它同时也是等相面，都是球面2、 球面波的振幅与传播间隔球面波的振幅与传播间隔 r 成反比，成反比， 即光强与间隔平方即光强与间隔平方 r2 成反比。成反比。zP0 P(x,y)RR2+(x2+ y2)1/2(x2+ y2)1/2oP00，0，-RRP(x
8、,y)yxzo直角坐直角坐直角坐直角坐标标系中的球面波系中的球面波系中的球面波系中的球面波 在在oxy平面上的某点平面上的某点 Px，y遭遭到的该球面波的扰动所具有的复振幅为到的该球面波的扰动所具有的复振幅为由于由于所以所以zP0 P(x,y)RR2+(x2+ y2)1/2(x2+ y2)1/2oU(0)为波源发出的球面波传到坐标原点处的复振幅为波源发出的球面波传到坐标原点处的复振幅讨论：讨论： 1.在一定的近似条件下，球面波可以在直角坐标系中描画在一定的近似条件下，球面波可以在直角坐标系中描画 2.xoy平面并不是球面波的波面，不是等相位面和等振幅面平面并不是球面波的波面，不是等相位面和等振
9、幅面 3.但当但当R足够大的情况下，足够大的情况下，xoy平面可近似以为是等振幅面平面可近似以为是等振幅面斜入射波的表述斜入射波的表述假设令平面波面法线方向的单位矢量为假设令平面波面法线方向的单位矢量为1、斜入射的平面波的表达式为、斜入射的平面波的表达式为 U(0,0)为入射的平面波到达坐标原点时的复振幅，其指为入射的平面波到达坐标原点时的复振幅，其指数项是由于斜入射而引入的相位值。数项是由于斜入射而引入的相位值。2、斜入射的球面波的表达式为、斜入射的球面波的表达式为 式中包含了斜入射及球面波这两种方式所带来的结果。式中包含了斜入射及球面波这两种方式所带来的结果。其中其中 高斯光束包括了平面波
10、因子高斯光束包括了平面波因子 球面波因子球面波因子 和二维高斯函数和二维高斯函数 激光光波的波面等相位面是球面，但其激光光波的波面等相位面是球面，但其球面半径球面半径 R 随间隔随间隔 z 而变；当而变；当 z = 0 或或 时，时， R都为无穷大，即为平面波。都为无穷大，即为平面波。三、高斯波三、高斯波 激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强在中心在中心x=y=0处最大，为处最大，为W0/W。随着。随着 x、y 增大，场强减小。当增大，场强减小。当 x2+ y2= W2 时，场强降低到中时，场强降低到中心处的心处的1/e， W为光束的宽度。激光束
11、的宽度在为光束的宽度。激光束的宽度在 z=0 时最小，时最小， W0为光束的腰。为光束的腰。zW0x，yx，yz1z2 z =0处的处的光场振幅分布光场振幅分布z =z1处处的波面的波面z =z2处处的波面的波面光场振幅降为光场振幅降为e-1处的轨迹处的轨迹/2e-1 由于在腰处的光束最小，故离腰较由于在腰处的光束最小，故离腰较远处的光波可看作是以腰为球心的球面远处的光波可看作是以腰为球心的球面波。波。高斯光束的发散角高斯光束的发散角2.3 光在均匀介光在均匀介质中的中的传播播一、光在介质中的传播一、光在介质中的传播1、在介质中麦克斯韦方程组、在介质中麦克斯韦方程组 jc为传导电流密度矢量，流
12、密度矢量，为自在自在电荷密度荷密度 介介质中的中的电磁性磁性质由由电位移矢量位移矢量 D 和磁和磁场强度矢量度矢量 H 来描画。来描画。2、物态方程、物态方程 r为该介介质的相的相对介介电常数，常数，r为相相对磁磁导率，率，jc 与介与介质的固有物性相关。的固有物性相关。对于透明介于透明介质资料，料， jc = 0 并可取并可取= 0，对于非于非铁磁性介磁性介质， r 1。3、动摇方程、动摇方程 ( wave equation )透明介质真空4、在介质中的参量、在介质中的参量光波的传播速度光波的传播速度光波的波长光波的波长光波的角波数光波的角波数介质的折射率介质的折射率 在普通情况下，在普通情
13、况下，r1，r1，故，故n 1即即 V c ， 。 光的光的频率在任何介率在任何介质中都不会改中都不会改动的。的。 n = n () = n () 色散：介色散：介质的折射率的折射率 (refraction index) 随随频率或波率或波长而改而改动所所产生的光学景象。生的光学景象。5、光程、光程 ( optical path ) 对比真空中和介比真空中和介质中的相位因子中的相位因子发现：n k r = k nr，可知光波在折射率，可知光波在折射率为 n的的介介质中中传播播时，由路程，由路程 r 引起的相位引起的相位变化等效化等效于在真空中路程于在真空中路程 nr 引起的相位引起的相位变化，
14、即介化，即介质对于光波相位的影响可用于光波相位的影响可用 nr 替代替代 r 来表述。来表述。所以把所以把 nr 称称为光程。光程。 定定义为光程差，即折射率与路程差光程差，即折射率与路程差的乘的乘积。 =ns。于是相位差。于是相位差为在介在介质中，中，变为E 和和H 的关系的关系为在真空中在真空中在介在介质中中 这是一个是一个电场在在oxz平面振平面振动而磁而磁场在在oyz平面振平面振动的的电磁波。是一个在磁波。是一个在oxz平面偏振的平面偏振光。平面偏振的平面偏振光。 当一束平面偏振光当一束平面偏振光进入介入介质时，假，假设n为常数，光波不改常数，光波不改动偏振偏振态。假。假设介介质折折射
15、率射率n与方向有关各向异性介与方向有关各向异性介质，那么，那么偏振偏振态要要发生生变化。化。2.4 光波的能量和动量 光光强是和是和电磁磁场的能流有关的物理量。的能流有关的物理量。电磁波的能量守恒表磁波的能量守恒表现为单位位时间内流出内流出入入闭合体合体积的的电磁波能量等于磁波能量等于单位位时间内内闭合体合体积内的能量减少增多内的能量减少增多 一、一、电磁波的能量磁波的能量电场能量与磁能量与磁场能量体密度分能量体密度分别为：电磁磁场能量体密度能量体密度为：Ew12=2H12=2wewm+ 二、坡印廷矢量二、坡印廷矢量 它表示它表示电磁磁场的能量的的能量的传播，即垂播，即垂直直经过单位面位面积的
16、功率。其大小代表的功率。其大小代表电磁波波磁波波强，这里指光里指光强( intensity of light )。其方向。其方向为光能量光能量传播的方向。播的方向。 辐射强度能流密度单位时间辐射强度能流密度单位时间内，经过垂直于波的传播方向的单位面内，经过垂直于波的传播方向的单位面积的辐射能。积的辐射能。 S思索到：思索到：= EHSw=v =E122H12+()12=v1，EH=21EHEH()+=21EHEH()+坡印廷矢量坡印廷矢量 ( poynting vector ) S = EH+SEHEH= 在各向同性介在各向同性介质中坡印廷矢量中坡印廷矢量S的方的方向与光波矢量向与光波矢量 k
17、 的方向相位的方向相位传播方向播方向一致。但在各向异性介一致。但在各向异性介质中，二者的中，二者的方向不同。方向不同。S = EH 坡印廷矢量的大小，即光在介坡印廷矢量的大小，即光在介质中中传播的瞬光阴播的瞬光阴强为假假设用复指数方式表示：用复指数方式表示：假假设对光光强取平均取平均值 光光强与光与光场的平方成正比。在同种的平方成正比。在同种介介质中常中常简单地表述光地表述光强为 电磁磁场具有具有动量，光的量，光的动量很小，量很小，在普通描画光的宏在普通描画光的宏观传播行播行为时是不是不作思索的。作思索的。动量密度量密度为假假设以光子的方式表示光以光子的方式表示光强和和动量量单光子：单光子：
18、光波的叠光波的叠加及叠加原加及叠加原理理 2 - 5 光波的叠加及叠加原理光波的叠加及叠加原理一、波的叠加原理一、波的叠加原理 (superposition principle of waves)波的独立性：有两列或两列以上的波同时在媒质中传播波的独立性：有两列或两列以上的波同时在媒质中传播时，它们的传播特性波长、频率、波速、波形不会时，它们的传播特性波长、频率、波速、波形不会因其它波的存在而发生影响。因其它波的存在而发生影响。波的叠加性波的叠加性: 当空当空间某某处遭到两个或两个以上光波同遭到两个或两个以上光波同时作用作用时，该处光振光振动的的总振幅，振幅，应为各个光波各个光波对该处独独立作
19、用立作用时的复振幅矢量的的复振幅矢量的线性叠加。性叠加。总复振幅复振幅为：总光光强为：二、四二、四类波的叠加几乎沿同不断波的叠加几乎沿同不断线传播播 第一第一类：角：角频率率一一样，振，振动方向一方向一样的的简谐波的叠加。如：波的叠加。如：驻波波standing waves、波的干涉和衍射。、波的干涉和衍射。 第二第二类：角：角频率一率一样，两个振，两个振动方方向相互垂直的向相互垂直的简谐波的叠加叠加后普通波的叠加叠加后普通为椭圆偏振光。偏振光。 第三第三类：不同角：不同角频率率，从而波矢，从而波矢 k 不同，振不同，振动方向一方向一样的的简谐波的叠加。如：波的叠加。如：波包、脉冲和光波包、脉
20、冲和光调制。制。 第四第四类：不同角：不同角频率率，振，振动方向相方向相互垂直的互垂直的简谐波的叠加。不波的叠加。不讲，普通不，普通不涉及涉及1、频率一样、振动方向一样的光波的叠加、频率一样、振动方向一样的光波的叠加(1)、干涉：假设两列或多列频率一样、振动方向一样的光波在相遇处叠加，那么它们叠加后产生的合振动能够在有些地方加强，有些地方减弱，这种强度按空间周期性变化的景象称为干涉(2)、例：两列光波的叠加、例：两列光波的叠加动摇是振动在空间的传播复习简谐波振动的合成电磁v相关叠加： =常数，那么：a) 相位一样b)相位相反:c)振幅一样，相位恣意 v非相关叠加：v v v多个叠加 :v v上
21、述分析对光振动在空间恣意一点的叠加也是适用的。 (1)、 两个初相位相等，两个初相位相等，频率率为的的单色光，一个振色光，一个振 动方向平行于方向平行于 x 轴，一个平行于，一个平行于 y 轴2、频率一样、振动方向相互垂直的光波的叠加、频率一样、振动方向相互垂直的光波的叠加两个振两个振动方向相互垂直、初相位相等方向相互垂直、初相位相等的平面偏振光的叠加的平面偏振光的叠加 两个在正交方向上振两个在正交方向上振荡并具有等初相位并具有等初相位的的线偏振光，可合成一个偏振光，可合成一个线偏振光。偏振光。振幅的大小：振幅的大小：振振动的方向与的方向与 x 轴的的夹角：角：(2)、 两个振两个振动初相位不
22、等，初相位不等，频率率为的的单色色光的叠加光的叠加两个振两个振动方向相互垂直、初相位不等的平方向相互垂直、初相位不等的平面偏振光的叠加面偏振光的叠加 合成的合成的电场强度度 E 矢量的端点之矢量的端点之轨迹迹为沿沿 z 轴方向行方向行进的的椭圆螺旋螺旋线。此。此轨迹在迹在oxy 平面上的投影平面上的投影为一个一个椭圆。这种偏振光种偏振光为椭圆偏振光偏振光elliptically polarized light 椭圆偏振光偏振光a左旋左旋椭圆偏振光偏振光b右旋右旋椭圆偏振光偏振光圆偏振光：偏振光：线偏振光：偏振光：m为正整数正整数 左旋偏振光：当迎着光波的左旋偏振光：当迎着光波的传播方向察播方向
23、察看看时，光矢量的端点沿，光矢量的端点沿顺时针方向旋方向旋转。反之反之为右旋偏振光。右旋偏振光。左旋偏振光左旋偏振光右旋偏振光右旋偏振光各种相位差情况下的各种相位差情况下的椭圆椭圆偏振光偏振光 光的偏振光的偏振态可分可分为三三类，七种：自然光，七种：自然光一种、完全偏振光三种、部分偏振一种、完全偏振光三种、部分偏振光三种光三种自然光与完全偏振光的叠加自然光与完全偏振光的叠加为部分偏振光。部分偏振光。自然光与自然光与线偏振光的叠加偏振光的叠加为部分部分线偏振光。偏振光。自然光与自然光与椭圆偏振光的叠加偏振光的叠加为部分部分椭圆偏振光。偏振光。自然光与自然光与圆偏振光的偏振光的 叠加叠加为部分部分
24、圆偏振光。偏振光。 三种完全偏振三种完全偏振态的光：的光：椭圆偏振光、偏振光、线偏振光、偏振光、圆偏振光。后两种是第一种的特例。偏振光。后两种是第一种的特例。椭圆的离心率最小的离心率最小时为直直线，最大，最大时为圆。线偏振光的表示法：. . . . . . . . .光矢量在屏平面内光矢量与屏平面垂直光矢量与屏平面斜交自然光的表示法：自然光的表示法：. . . . . . . . .部分偏振光：部分偏振光： 假假设将自然光中的两个垂直分量中的其将自然光中的两个垂直分量中的其中一个分量部分地减弱，所得的光中一个分量部分地减弱，所得的光线称称为部部分偏振光。分偏振光。部分偏振光表示法：部分偏振光表
25、示法：. . . . 偏振片：有些薄膜偏振片：有些薄膜资料能吸收某一方向料能吸收某一方向的光振的光振动，而只，而只让与与这个方向垂直的光振个方向垂直的光振动经过，这个方向称个方向称为偏振化方向。称偏振化方向。称这些薄些薄膜膜为偏振片。偏振片。 自然光自然光经过偏偏振片后振片后变为线偏振偏振光，称光，称为起偏。起偏。自自偏偏偏偏振振振振化化化化方方方方向向向向然然光光线线偏偏振振光光偏振片偏振片 偏振片又可用偏振片又可用来来检验光光线的偏振的偏振化程度，称化程度，称为检偏。偏。 起偏与起偏与检偏偏3 3、不同、不同频率的光波的叠加率的光波的叠加 任何一个任何一个时间上有限的波列都可分解上有限的波
26、列都可分解为一系列一系列频率不同的率不同的单色平面波的叠加。色平面波的叠加。 根据傅里叶分析，任何一个周期性函数根据傅里叶分析，任何一个周期性函数都可用一些正弦或余弦函数的都可用一些正弦或余弦函数的总和来替代。和来替代。令周期函数令周期函数为那么那么 Ft按傅里叶按傅里叶级数展开数展开为(1)、周期函数的傅里叶展开、周期函数的傅里叶展开傅里叶傅里叶级数各数各项的系数由以下各式决的系数由以下各式决议频率率为 的矩形波的傅里叶展开的矩形波的傅里叶展开组成成频率率为的矩形波的各种正弦波叠加表示的矩形波的各种正弦波叠加表示图 一个矩形波可以一个矩形波可以为是由是由频率率为的奇数的奇数倍的倍的许多正弦波
27、叠加而成的。多正弦波叠加而成的。(2)、恣意有限函数的傅里叶展开、恣意有限函数的傅里叶展开把傅里叶把傅里叶级数数扩展到傅里叶展到傅里叶积分分 一个恣意的波一个恣意的波 Ft可由可由频率延率延续变化的化的单色平面波叠加而成，每一个色平面波叠加而成，每一个单色波色波的振幅的振幅 f可由上式求出。可由上式求出。 时间函数函数 Ft与与频率函数率函数 f的的对应与相互与相互变换是光学中极是光学中极为重要的一种重要的一种处置置问题的技巧。式中参的技巧。式中参变量量 t 与与存在着存在着对应的关系。的关系。函数函数 Ft 和和 f所代表的是同一物理所代表的是同一物理实体，在不同的参体，在不同的参变量区域量
28、区域进展描画。展描画。每一个每一个单色波的振幅色波的振幅 f 2代表各个代表各个单色色平面波光平面波光强的相的相对比比值当当 处，处， 组成成这一有限波列的各一有限波列的各单色平面波的色平面波的频率范率范围在在之内，才有明之内，才有明显的奉献。的奉献。为真正的真正的单色平面波色平面波 单色平面波的色平面波的频率的率的单一性与作用一性与作用时间的无限性是等同的。的无限性是等同的。单色性越好的波，其波列的空色性越好的波，其波列的空间长度就越度就越长 t 不是光的不是光的继续时间，在光的，在光的继续时间内一定包含了内一定包含了许多光波列。多光波列。 把复把复杂的的实践光波用践光波用单色平面波叠加的色
29、平面波叠加的方式来描画具有一定的合理性。方式来描画具有一定的合理性。一、光一、光电效效应1 1、实验规律律 4 4 条条2 2、爱因斯坦光子假因斯坦光子假说3 3、爱因斯坦方程因斯坦方程小小 结二、康普二、康普顿效效应能量守恒能量守恒动量守恒量守恒康普康普顿散射公式散射公式三、三、电磁波与光波磁波与光波1、电磁波磁波动摇方程的解方程的解平面波平面波球面波球面波高斯波高斯波2、光在介、光在介质中的中的传播播光波的传播速度光波的传播速度光波的波长光波的波长光波的角波数光波的角波数介质的折射率介质的折射率= ns光程光程相位差相位差3、光波的能量、光、光波的能量、光强S = E H+假假设以光子的方式表示光以光子的方式表示光强和和动量量 1、 振振动方向一方向一样的光波的叠加的光波的叠加相关叠加非相关叠加 四、光波的叠加及叠加原理四、光波的叠加及叠加原理 2、 振振动方向相互垂直的光波的叠加方向相互垂直的光波的叠加椭圆偏振光偏振光初相位相等初相位相等初相位不等初相位不等3、不同频率的光波的叠加恣意有限函数的傅里叶展开恣意有限函数的傅里叶展开波列的空波列的空间长度度 光的偏振光的偏振态： 自然光、完全偏振光、部分偏振光自然光、完全偏振光、部分偏振光
