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1、*,*,单击此处编辑母版标题样式,三大抽样分布：分布、,t,分布、,F,分布及其分位点,.,第四节分布,t,分布,F,分布,根本内容：,2024/8/30,1,定理,1.,设,记作,1.,定义,都服从标准,相互独立,正态分布,N,(,0,1,),那么随机变量,一,、,特别地,当,k,=1,时,2024/8/30,2,其概率密度函数,:,其图形随着参数k的变化而改变，如下图,2024/8/30,3,2.,分布的性质,(1),可加性,:,且,那么它们的和,此性质推广至多个变量的情形,:,2024/8/30,4,(2),期望与方差,(,P,92,7,题,),假设X 2(k)，那么E(X)=k，D(X
2、)=2k.,(3),分析：,由,2,分布的定义知，,由中心极限定理可得结论,.,2024/8/30,5,例,1.,解：,由于,X,1,X,2,X,3,相互独立，且,X,i,N,(0,9),有,由,可加性,得,2024/8/30,6,3.,分布的分位点,定义,1.,（分位点）定义,：对于,X,和给定的,2024/8/30,7,(P,285,),2024/8/30,8,解,:,经查表,2(,P,285,),得,例,2.,2024/8/30,9,二、,t,分布,历史上，正态分布由于其广泛的应用背景和,良好的性质，曾被看作是“万能分布。,在这样的背景下，十九世纪初英国一位年经,酿酒化学技师,Gosse
3、t W S,，,他在酒厂从事试验和,数据分析工作，,对数据误差有着大量的感性的,认识，,Gosset知道在总体均值和方差情况下，,2024/8/30,10,为“t分布或“学生氏分布.,x,y,O,但是,Gosset,在试验中遇到的,样本容量仅有,5-6,个,在其中他发现实际数据的分布情况与正态分布,有着较大的差异。,正态分布,Gosset,样本曲线,于是Gosset疑心存在一个不属于正态的其他分布，,通过学习终于得到了新的概率密度曲线，,在,1908,年,以“Student笔名发表了此项结果，后人称此分布,2024/8/30,11,1.,t,分布的定义,定理,2.,设随机变量,X,与,Y,相互
4、独立,且,那么随机变量,服从自由度为,k,的,t,分布,记作,又称学生氏分布,记为,2024/8/30,12,关于,x,=0,对称,；,其概率密度函数,t 分布的概率密度函数图形如下图,当,k,充分大时，其图形,与标准正态分布图形相似,.,2024/8/30,13,例,3.,解,:,2024/8/30,14,2024/8/30,15,2.,t,分布的分位点,定义,2.,2024/8/30,16,(P,286,),2024/8/30,17,解,:,经查表,3,(,P,286,),得,例,4.,试求,2024/8/30,18,三、,F,分布,定理,3.,设随机变量,X,与,Y,相互独立,且,那么随
5、机变量,服从自由度为,(,k,1,k,2,),的,F,分布,记作,1.,定义,2024/8/30,19,其图形如下图：,2024/8/30,20,例,5.,设总体,X,N,(0,1,),而,X,1,X,2,X,15,是来自总体,X的简单随机样本，那么随机变量,分析：,服从 分布,参数为,.,所以,2024/8/30,21,2.,F,分布的性质,证明：,定理：,2024/8/30,22,3.,F,分布的分位点,定义,3.,2024/8/30,23,证明:设FF(k1,k2),那么,注：,得证,!,由,等价变形,于是,即,(P,147,8,题,),2024/8/30,24,(P,287,),202
6、4/8/30,25,解,:,经查表,4(P,287,),得,解,:,例,6,.,试求,2024/8/30,26,第五节正态总体统计量的分布,根本内容：,一、抽样分布,统计量的分布；,二、正态总体下的抽样分布,2024/8/30,27,一、统计量的分布,统计量是对样本信息的“加工,由于样本是随机变量,故统计量有一定的概率分布,.,我们称,统计量的分布,为,抽样分布,.,它依赖于样本,所以统计量也是随机变量,2024/8/30,28,二、正态总体下的抽样分布,且有,性质,.,设,相互独立,都服从正态,分布,那么它们的线性组合,也服从正态分布,其中,为常数,.,回忆正态分布的性质,2024/8/30
7、,29,来自总体,X,的一个样本,那么样本均值,且,有,定理,1.,(P,116,7,题结论,),2024/8/30,30,1.,单个正态总体下统计量的分布,(2),统计量,标准化的样本均值,(1),统计量,2024/8/30,31,定理,3.,(,其中自由度减少一个，即,n,-1),(2),统计量,2024/8/30,32,它们受到一个条件的约束：,减少一个自由度的原因：,2024/8/30,33,定理,4.,那么统计量,证明,：,由,定理,2,和,定理,3,知,2024/8/30,34,(1)总体,例,7.,从总体,X,中抽取容量,为,16,的样本,.,解,:,那么由定理2知:,2024/
8、8/30,35,查表得,2024/8/30,36,(2),由,定理,4,知,:,2024/8/30,37,查表得：,2024/8/30,38,例,8.,解,:,2024/8/30,39,查表得,2024/8/30,40,所以,解,:,2024/8/30,41,查表得,2024/8/30,42,2.,两个正态总体的统计量分布,令,X,1,X,2,X,nx,来自总体,X,的样本,样本均值与,样本方差分别为,令,Y,1,Y,2,Y,ny,来自总体,X,的样本,样本均值与,样本方差分别为,2024/8/30,43,那么统计量,定理,1,.,2024/8/30,44,推论,.,那么统计量,(,两方差相同
9、总体的统计量分布,),2024/8/30,45,定理,2.,那么统计量,2024/8/30,46,(2),统计量,那么(1)统计量,定理,3.,2024/8/30,47,1.,了解三大抽样分布：,2.,了解正态总体下的某些统计量的抽样分布,.,内容小结,及其分位点，会查相应的数值表,;,2024/8/30,48,作业,习题五,(P146).6,7,9,10,14,15,2024/8/30,49,备用题,1.,那么 .,A,.T,服从,t,(,n,-1),分布,;B.,T,服从,t,(,n,),分布,;,C.,T,服从,N,(0,1),分布,;D.,T,服从,F,(1,n,);,分析：,应选,B.,2024/8/30,50,2.,解：,由于,又,2024/8/30,51,2024/8/30,52,3.,按分位点的定义知,查表得,同理得,查表得,解,:,2024/8/30,53,4.,根据,定理,3,，应选,C,.,2024/8/30,54,
