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1、1一、方向导数一、方向导数方向导数表征标量场空间中，方向导数表征标量场空间中，某点处某点处场值场值沿沿特定方向特定方向变化的规律。变化的规律。1.1.方向导数的定义方向导数的定义方向导数的方向导数的物理意义物理意义1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度方向导数与选取的方向导数与选取的考察方向考察方向有关。有关。22.2.方向导数的计算公式方向导数的计算公式设设 方向的方向余弦是方向的方向余弦是 ，即即则方向导数的计算公式为则方向导数的计算公式为 设一个标量函数设一个标量函数u(x,y,z)u(x,y,z)，若函数，若函数u u在点在点P P可微，则可微，则u u在点在点P P沿任意方向沿任意
2、方向l l的方向导数为的方向导数为3二、标量场的梯度二、标量场的梯度 标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变化率是多少？化率是多少？1.1.梯度的概念梯度的概念梯度梯度 标量场标量场u沿指定方向的沿指定方向的变化率变化率就是标量场在该方就是标量场在该方向的方向导数向的方向导数4哈密顿算符哈密顿算符既具有矢量性质，既具有矢量性质，既具有矢量性质，既具有矢量性质，又具有微分性质又具有微分性质又具有微分性质又具有微分性质 矢量矢量服从矢量运算的规则服从矢量运算的规则;算子算子代表一种微分运算，服从微分运算规则代表一种微分运算，服从微分运算规则;1)本身无独立
3、意义，只有作用于标量函数或矢量函数时本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时才代表一种运算。才代表一种运算。2）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换的位置。的位置。5标量场标量场u的梯度，的梯度，用用 表示表示 梯度的定义：梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。 式中：式中： 是场量是场量u u变化率最大变化率最大的方向上的单位矢量。的方向上的单位矢量。 标量场梯度的幅度表示标量场的标量
4、场梯度的幅度表示标量场的最大增加率最大增加率 标量场梯度的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等值面，为标量场等值面，为标量场增加最快增加最快的方向的方向 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影6梯度的性质梯度的性质 等温线分布 标量场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数直角坐标系中直角坐标系中柱坐标系中柱坐标系中球坐标系中球坐标系中72.2.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式3.3.梯度的重要性质梯度的重要性质式中：式中： 为常数；为常数； 为坐标为坐标变量变量函数；函数； 8 8例例1 1
5、 三维高度场的梯度三维高度场的梯度图图1 1 三维高度场的梯度三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高度场的梯度与过该点的等高线垂直；高线垂直；数值等于该点位移的最大变数值等于该点位移的最大变化率；化率；指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。9 9例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度图图2 2 电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度与过该点的电位场的梯度与过该点的等位线垂直；等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。10xyzo源点源点场点场点场所在的空间位置点称为场所在的空间位置点称为场点场点，记为记为 产生场的场源所在的空间位置产生场的场源所在的空间位置点称为点称为源点源点，记为，记为 源点到场点的距离源点到场点的距离为为 从源点指向场点的矢量为从源点指向场点的矢量为 11
