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1、小结与反思间区定轴定动轴定区间在R上求值域定轴动区间作业与研究探索与反思动轴定区间在R上求值域定轴动区间作业与研究间区定轴定二次函数在R上的值域和图像求下列函数的值域、最值.画板画板演示画板定轴定区间上的值域画板演示动轴定区间上的值域画板已知函数 当 时，求函数的最大值.解：（画板演示）31xy20X=aX=a31xy2031xy2X=a0031xy2X=a综上可知：综上可知：已知函数 当 时，求函数的最小值.会吗？会吗？画板（画板演示）X=a31xy2031xy2X=a0定轴动区间上的值域画板已知函数当时，求函数的最大值与最小值？（画板演示）例题讲解：例题讲解： 例例1 设函数设函数 f(x
2、) =x2- -2x-3.3在区间在区间t，t+1上的最小上的最小值为值为g(t)，求，求g(t)的解析式。的解析式。分析分析解：解：f(x)=(x- -1)2-4.3，对称轴为，对称轴为x=1 (2)当当0t 1时，则时，则g(t)=f(1)=-4.3; (1)当当t1时，则时，则g(t)=f(t)=t2- -2t-3.3; (3)当当t+11，即，即t0时，则时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;t2- -2t-3.3;(0t 1)g(t)=(t1)返回下页上页变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个
3、重要组成部分22.若若 1x3, a 为何值时为何值时, x2- -5x+3+a=0 有两解有两解, 一解一解, 无解无解? 解解: 原方程即为原方程即为 a=- -x2+5x- -3 (1) 作出函数作出函数 y=- -x2+5x- -3( (1x3) )的图象的图象, 显然该显然该图象与直线图象与直线 x=a 的交点的横坐标是方程的交点的横坐标是方程 (1) 的解的解. 由由图象知图象知: 当当 3a 时时, 原方程有两解原方程有两解; 413当当 1 时时, 原方程无解原方程无解. 413123xy13o413y=a 探索与反思探索解法考察对称轴x=？与区间相对位置关系左中右，画图解之反
4、思数学思想的应用解此类题用了哪些数学思想1.一般式一般式: y=ax2+bx+c( (a0) );一、二次函数的解析式一、二次函数的解析式2.顶点式顶点式: y=a(x - -m)2+n( (其中其中(m, n)为抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标) );3.两两根根式式: y=a(x - -x1)(x - -x2)( (其其中中x1, x2为为抛抛物物线线与与 x 轴轴两两交交点点 的横坐标的横坐标) ); 注注: 求二次函数的解析式求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法一般都采用待定系数法. 做题时做题时,要根据题设条件要根据题设条件, 合理地设出解析式合理地设出解析式. 二、二次函数
5、的图象二、二次函数的图象有有关关知知识识: 图图象象形形状状; 对对称称轴轴; 顶顶点点坐坐标标; 与与 x 轴轴交交点点坐坐标标;截截 x 轴线段长轴线段长.三、二次函数的性质三、二次函数的性质1.当当 a0 时时, 抛抛物物线线开开口口向向上上, 函函数数在在(-(-, - - 上上单单调调递递减减, 在在- - , +)上单调递增上单调递增, 当当 x= - - 时时, f(x) 取得最小值取得最小值,为为 .2ab2ab2ab4a4ac- -b2 2.当当 a0)在在m, n上的最值上的最值2.若若 x0 m, n, 则则(1)当当 x0n 时时, f(x)min=f(n), f(x)
6、max=f(m).五、不等式五、不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题恒成立问题1.若若 x0=- - m, n, 则则 f(x)min=f(x0)= , f(m), f(n) 中中的较大者即为的较大者即为 f(x) 在在 m, n 上的最大值上的最大值.2ab4a4ac- -b2 1. ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立. a0=b2- -4ac0. 或或ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立. a0=b2- -4ac0, a=b=0 c0(a0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立. f(m)0, - - m 2ab=b2- -4ac0. - - n 2ab或或 f(x)min0(
7、(xm, n) ) 3一元二次方程实根的分布一般地，方程f(x)=ax2+bx+c(a0)的根x1，x2的分布所满足的充要条件如下表：根的分布图像充要条件x1x2kKx1x2根的分布图像充要条件x1kx2f(k)0K1x1x2K2K1x1x2K2K3f(x)=ax2+bx+c0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立. f(n)0. f(m)0) 的实根分布问题的实根分布问题记记 f(x)=ax2+bx+c(a0),=b2- -4ac0. x1+x2=- - 0 abacx1x2= 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0 2ab2.方程方程 f(x)=0 有两负根有两负根 =b2- -
8、4ac0. x1+x2=- - 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0. - - k 2ab3.方程方程 f(x)=0 有一正根一负根有一正根一负根 c0.5.方程方程 f(x)=0 的两实根一个大于的两实根一个大于 k, 另一个小于另一个小于 k f(k)0. - - k 2ab7.方程方程 f(x)=0 的两实根都在区间的两实根都在区间(m, n)内内 f(m)0 =b2- -4ac0 m - - 0. 8.方程方程 f(x)=0 的两实根中的两实根中, 有且只有一个在区间有且只有一个在区间(m, n)内内. f(m)f(n)0, 或或f(m)=0 m - - , 2abm+n
9、 2 - - n. 2abm+n 2f(n)=0 或或 思考思考 方程的两根有且只有一个在区间方程的两根有且只有一个在区间m, n上时等价于上时等价于?9.方程方程 f(x)=0 的两根分别在区间的两根分别在区间(m, n)和和(p, q)( (n0 f(n)0 f(p)0. 注注 涉及方程涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的实根分的实根分布问题布问题, 一般情况下要从四个方面考虑一般情况下要从四个方面考虑: f(x) 图象的开口方向图象的开口方向; 方程方程 f(x)=0的判别式的判别式; 区间端点处函数值的符号区间端点处函数值的符号. f(x) 图象的对称轴与区间的关系图象的
10、对称轴与区间的关系; 0=00)的图象的图象二次函数二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a0)的解集的解集ax2+bx+c0x | x1x0) 的根的根有两相异实根有两相异实根 x1, x2 (x10)的解集的解集Rax2+bx+c0x | xx2x | x- - 2ab八、典型例题八、典型例题1.已知二次函数已知二次函数 f(x) 满足满足 f(2)=- -1, f(- -1)=- -1, 且且 f(x) 的最大值的最大值是是 8, 试确定此二次函数的解析式试确定此二次函数的解析式.解法一解法一: 利用二次函数的一般式利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为故所
11、求函数的解析式为 f(x)=- -4x2+4x+7. 设设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则则4a+2b+c=- -1, a- -b+c=- -1, =8. 4a4ac- -b2 a=- -4, b=4, c=7. 解得解得解法二解法二: 利用二次函数的顶点式利用二次函数的顶点式.设设f(x)=a(x- -m)2+n, f(2)=f(- -1)=- -1, 抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线 x= , 12m= . 12又又 f(x) 的最大值是的最大值是 8, n=8. f(x)=a(x - - )2+8, 12f(2)=- -1, a(2 - - )2+8=- -1, 12a=
12、- -4. 故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=- -4(x- - )2+8=- -4x2+4x+7. 12解法三解法三: 利用二次函数的两根式利用二次函数的两根式.由已知由已知 f(x)+1=0 的两根为的两根为 2 和和 - -1, 故可设故可设 f(x)+1=a(x- -2)(x+1), 从而从而 f(x)=a(x- -2)(x+1)- -1. 即即 f(x)=ax2- -ax- -2a- -1. 又又 f(x) 的最大值是的最大值是 8,4a4a(- -2a- -1)- -a2 =8, 解得解得 a=- -4 或或 a=0(舍去舍去). 故所求函数的解析式为故所求函数的解
13、析式为f(x)=- -4(x- -2)(x+1)=- -4x2+4x+7. f(x) 在区间在区间 0, 2 上的最小上的最小值为值为 3, 可分情况讨论如下可分情况讨论如下:2.已知函数已知函数 f(x)=4x2- -4ax+a2- -2a+2 在区间在区间 0, 2 上有最小值上有最小值 3, 求实数求实数 a 的值的值.解解: 由已知由已知 f(x)=4(x - - )2 - - 2a+2. a2a2(1)当当 0, 即即 a0 时时, 函数函数 f(x) 在在 0, 2 上是增函数上是增函数. f(x)min=f(0)=a2- -2a+2. a2(2)当当 0 2, 即即 0a0, 且
14、当且当 xa 时时, S=(x - -3)2+y2 的最小值的最小值为为 4, 求参数求参数 a 的值的值.解解: 由已知由已知 S=(x - -3)2+y2=(x - -3)2+4a(x - -a)=x- -(3- -2a)2+12a- -8a2. 当当 xa 时时, S(x)=x- -(3- -2a)2+12a- -8a2 的最小值为的最小值为 4, 对正数对正数 a, 可分情况讨论如下可分情况讨论如下: (1)当当 3- -2a1 时时, 函数函数 S(x) 在在 a, +上是增函数上是增函数. S(x)min=S(a)=(a- -3)2. 由由 (a- -3)2=4 得得: a=1 或
15、或 5. a1, a=5. (2)当当 3- -2aa, 即即 0a1 时时, S(x)min=S(3- -2a)=12a- -8a2. 由由 12a- -8a2=4 得得: a=1 或或 , 12均满足均满足 00 的解集是的解集是(- (- , ) ), 求求 a, b, c 的取值范围的取值范围.1213解解: 由已知由已知, 二次方程二次方程 ax2+bx+c - -250 有实根有实根. = =b2- -4a(c - -25)0. 又不等式又不等式 ax2+bx+c0 的解集是的解集是(- (- , ) ),1213 a0. 1616 b=- -c, c2+24c(c - -25)0
16、. 解得解得: c24. b- -24, a- -144. 故故 a, b, c 的取值范围分别是的取值范围分别是 a- -144, b- -24, c24. 代入代入 b2- -4a(c - -25)0 得得: 5.已知已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点的图象过点(- -1, 0), 是否存在常数是否存在常数 a, b, c, 使不等式使不等式 xf(x) 对一切实数对一切实数 x 都成立都成立?x2+1 2则由则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点的图象过点(- -1, 0), 得得 a- -b+c=0. xf(x) 对一切实数对一切实数 x 都成立都成立, 当当 x=1 时也成立
17、时也成立, x2+1 2 1f(1)1, 即即 f(1)=1, 得得 a+b+c=1. 由由 , 得得: a+c=b= . 121212 f(x)=ax2+ x+ - -a. 解解: 假设假设存在常数存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数使题中不等式对一切实数 x 都成立都成立. 1212故应故应xax2+ x+ - -a 对一切实数对一切实数 x 都成立都成立. x2+1 2即即2ax2- -x+1- -2a0与与(1- -2a)x2- -x+2a0对一切实数对一切实数 x 都成立都成立.则必有则必有: 1- -8a(1- -2a)0, 即即 (4a- -1)20. 14 a=
18、. 1214 c = - -a = . x2+1 214故存在一组常数故存在一组常数: a= , b= , c= , 使不等式使不等式 xf(x)对一切实数对一切实数 x 都成立都成立.1412其中其中, 0a0, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围; (2)若对若对 - -1, 1 上的一切实数上的一切实数 m, 都有都有 f(m)0, 求实数求实数 a 的取值范的取值范围围.解解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线其对称轴为直线 x=a- -1. (1)问题等价于问题等价于“对于对于 x- -1, 1, 有有 f(x)max0.”讨论如下讨论
19、如下: 当当 a- -10 即即 a1 时时, f(x)max=f(1)=- -a2- -2a+15. 由由 - -a2- -2a+150 得得: - -5a3. a1, - -50 即即 a1 时时, f(x)max=f(- -1)=- -a2+6a+7. 由由 - -a2+6a+70 得得: - -1a1, 1a7. 综上所述综上所述, - -5a0.”讨论如下讨论如下: 当当 a- -1- -1 即即 a0 得得: - -1a7. a0, - -1a0 恒成立恒成立. 0a2. 注注: 亦亦可用补集可用补集法求解法求解. 综上所述综上所述, - -1a1 即即 a2 时时, f(x)mi
20、n=f(1)=- -a2- -2a+15. 由由 - -a2- -2a+150 得得: - -5a2, 2a0), 方程方程 f(x) - -x=0 的两根的两根x1, x2 满足满足 0x1x2 . (1)当当 x(0, x1) 时时, 证明证明: xf(x)x1; (2)设函数设函数 f(x) 的图象关于直线的图象关于直线 x=x0 对称对称, 证明证明: x0 . 1a2x10x1x20, 1+a(x- -x2)=1+ax- -ax21- -ax20. 1a当当 x(0, x1) 时时, 由由 x10 有有: F(x)=a(x- -x1)(x- -x2)0. 即即 f(x) - -x0,
21、 从而从而 f(x)x. 又又 x1- -f(x)=x1- -x+F(x)=x1- -x- -a(x- -x1)(x- -x2)=(x1- -x)1+a(x- -x2). x1- -f(x)0, 从而从而 x1f(x).故当故当 x(0, x1) 时时, 有有 xf(x)x1; (2)依题意依题意 x0=- - . 2ab由于由于 x1, x2 是方程是方程 f(x)- -x=0 即即 ax2+(b- -1)x+c=0 的两根的两根, x1+x2=- - , b=1- -a(x1+x2). b- -1 a x0=- - 2ab1- -a(x1+x2) 2a =- -a(x1+x2)- -1 2
22、a = . ax21, 即即ax2- -10, 2x1a(x1+x2)- -1 2a = = . x0 2aax1故故 x00 在在 0, 上恒成立上恒成立, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围.解解: (1)令令 t=sinx, 则方程则方程 2sin2x- -4asinx+1- -a=0 在在 0, 上有两上有两个个 不同的解等价于不同的解等价于:方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 有一根为有一根为 0, 另一根不在另一根不在 (0, 1) 内内; 或方程或方程 2t2- -4at+1- -a=0 在在 (0, 1) 内有两等根内有两等根; 或方程或方程 2t2- -4at+
23、1- -a=0 有一解在有一解在 (0, 1) 内内, 另一解在另一解在 0, 1 外外. 当当 t=0 时时, a=1, 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 的另一根为的另一根为 2 且且 2 (0, 1), a=1 适合题意适合题意; 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 有两等根时有两等根时, 由由 =16a2- -8(1- -a)=0 得得: a=- -1 或或 . 12a=- -1时时, 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 的两等根为的两等根为- -1 但但 - - 1 (0, 1), a=- -1 不合题意不合题意, 舍去舍去; 12又又a=时时, 方程
24、方程 2t2- -4at+1- -a=0 的两等根为的两等根为 且且 (0, 1), 1212a= 适合题意适合题意; 12 设设 f(t)=2t2- -4at+1- -a, 则方程则方程 2t2- -4at+1- -a=0有一解在有一解在(0, 1)内内, 另一解在另一解在 0, 1 外等价于外等价于: f(0)f(1)0, 即即 (1- -a)(3- -5a)0. 解得解得 a1. 35综上所述综上所述, 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是 a= , 或或 0 在在 0, 上恒上恒成立等价于不等式成立等价于不等式 2t2- -4at+1- -a0 在在 0, 1 上恒成立上恒成立.等价
25、于等价于 或或 或或a0 0a1 f(a)0 a1 f(1)0. 即即 或或 或或a0 0a1 2a2+a- -11 3- -5a0. 解得解得 a , 12此即为所求实数此即为所求实数 a 的取值范围的取值范围.解法二解法二: 分离参数分离参数: a=(0sinx0, 当当x (-, - -3)(2, +) 时时, f(x)0. (1)求求 f(x) 在在 0, 1 上的上的值域值域; (2) c 为何值时为何值时, ax2+bx+c0 的解集为的解集为 R.10.已知二次函数已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c( (a, b, c R) )同同时满足下列条时满足下列条件件: f(- -
26、1)=0; 对任意的实数对任意的实数 x 都有都有 f(x)- -x0; 当当 x (0, 2)时时, 有有 f(x) ( )2. (1) 求求 f(1); (2) 求求a, b, c 的值的值; (3) 若当若当 x -1, 1 时时, 函数函数 g(x)=f(x)- -mx( (m为实数为实数) )是单调函数是单调函数, 求求 m 的取值范围的取值范围.x+1 211.已知函数已知函数 f(x)=ax2+4x+b( (a0, a, b R) ). 设关于设关于 x 的方程的方程f(x)=0 的两根分别为的两根分别为 x1, x2, f(x)=x 的两根分别为的两根分别为 , . (1)若若| - - |=1, 求求 a, b 满足的关系式满足的关系式; (2)若若 a, b 均为负整数均为负整数, 且且| - - |=1, 求求f(x)的解析式的解析式; (3)若若 1 2, 求证求证: (x1+1)(x2+1)7. 12, 18 ; c- - . 1225f(1)=1; , , ; m0 或或 m1.141214a2+4ab=9( (a0, a, b R) ); f(x)= - -x2+4x - -2. a=- -3, b=5.
