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1、7 克拉默法则克拉默法则克拉默法则克拉默法则利用克拉默法则解方程组利用克拉默法则解方程组齐次线性方程组有非零解的齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件充分必要条件下页关闭 本节主要介绍本节主要介绍n元一次线性方程组的克拉元一次线性方程组的克拉默法则解法，齐次或非齐次线性方程组中系数默法则解法，齐次或非齐次线性方程组中系数行列式与解之间的关系行列式与解之间的关系2021/3/241授课：XXX 我们知道，二、三元线性方程组的解可以用我们知道，二、三元线性方程组的解可以用行列式表示，那么含有行列式表示，那么含有 n 个未知数个未知数 x1 , x2 , , xn 的的 n 个线性方程个线性方程 的
2、方程组的方程组的解能否用行列式表示？的解能否用行列式表示？ 回答是肯定的，即有回答是肯定的，即有上页下页返回2021/3/242授课：XXX 如果线性方程组如果线性方程组(8)的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即那么方程那么方程(4) 有有唯一解唯一解其中其中 Dj ( j = 1,2,n ) 是把系数行列式中第是把系数行列式中第 j 列的列的元素元素用方程右端的自由项代替用方程右端的自由项代替后所得到的后所得到的 n 阶行列阶行列式，即式，即克拉默法则克拉默法则上页下页返回2021/3/243授课：XXX证证 用用 D 中第中第 j 列元素列元素代数余子式代数余子式A1j , A
3、2j , , Anj 依次乘方程组依次乘方程组(8) 的的 n 个方程，再把它们相加，得个方程，再把它们相加，得上页下页返回2021/3/244授课：XXX当当D 0 时，方程组时，方程组(10)有唯一的一个解有唯一的一个解 ( 9 ) 。 由于方程组由于方程组(10) 是由方程组是由方程组(8) 经乘数与相加两经乘数与相加两种运算而得，故种运算而得，故(8) 的解一定是的解一定是(10) 的解，的解， 今今(10) 仅有一个解仅有一个解 (9) ，故，故(8) 如果有解的话，就如果有解的话，就只可能是解只可能是解(9) 。根据代数余子式的重要性质可知，上式中根据代数余子式的重要性质可知，上式
4、中 xj 的系数的系数等于等于D，而其余，而其余 xi ( i j ) 的系数均为零的系数均为零; 又等式右端即是又等式右端即是 Dj ，于是于是 D xj = Dj , ( j = 1 , 2 , , n ). (10)上页下页返回2021/3/245授课：XXX 下面验证解下面验证解(9) 是方程组是方程组(8) 的解。的解。也就是要证明也就是要证明为此考虑为此考虑两行相同两行相同的的 n + 1 阶行列式阶行列式它的值等于它的值等于 0 ，上页下页返回2021/3/246授课：XXX把它按第一行展开，由于第把它按第一行展开，由于第 1 行中行中 aij 的代数余子式的代数余子式为为上页下
5、页返回2021/3/247授课：XXX解解 系数行列式系数行列式 例例12解线性方程组解线性方程组上页下页返回2021/3/248授课：XXX上页下页返回2021/3/249授课：XXX于是得于是得上页下页返回2021/3/2410授课：XXXEx.7解方程组解方程组解解 系数行列式系数行列式上页下页返回2021/3/2411授课：XXX于是得于是得上页下页返回2021/3/2412授课：XXX 定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组(8) 的系数行列式的系数行列式D 0 ，则，则(8) 一定有解，且解是唯一的。一定有解，且解是唯一的。 定理定理4如果线性方程组如果线性方程组(8) 无解，或
6、有两个以上的无解，或有两个以上的解，则它的系数行列式必为解，则它的系数行列式必为 0 。 线性方程组线性方程组(8) 右端的自由项右端的自由项 b1 , b2 , , bn 不全不全为为 0 时，线性方程组称为时，线性方程组称为非齐次方程组非齐次方程组， 当当 b1, b2 , , bn 全为全为 0 时，线性方程组称为时，线性方程组称为齐齐次方程组次方程组。上页下页返回2021/3/2413授课：XXX对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组x1 = x2 = = xn = 0 一定是它的解。称为齐次方程组一定是它的解。称为齐次方程组(11) 的的零解零解。 如果一组不全为零的数是如果一组不全为
7、零的数是(11)的解，则叫做齐次的解，则叫做齐次方程组的非零解。方程组的非零解。 方程组方程组(11) 一定有零解，但不一定有非零解。一定有零解，但不一定有非零解。上页下页返回2021/3/2414授课：XXX 定理定理5 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(11) 的系数行列的系数行列式式D 0，则齐次线性方程组，则齐次线性方程组(11)只有零解。只有零解。 定理定理5 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(11)有非零解，则有非零解，则它的系数行列式必为零。它的系数行列式必为零。 系数行列式系数行列式D = 0 是齐次线性方程组有非零解是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。的充分必要条
8、件。上页下页返回2021/3/2415授课：XXX问问 取何值时，齐次方程取何值时，齐次方程有非零解？有非零解？例例1313 解解 由定理由定理5可知，若齐次线性方程组可知，若齐次线性方程组 (12) 有有非零解，则非零解，则(12) 的系数行列式的系数行列式D = 0。 而它的系数行列式是：而它的系数行列式是：上页下页返回2021/3/2416授课：XXX 由由D = 0 ，得，得 = 2、= 5 或或= 8 。 不难验证，当不难验证，当 = 2、5 或或 8 时，方程组时，方程组(12)确有确有非零解。非零解。上页下页返回2021/3/2417授课：XXXEx.8取何值时，齐次线性方程组取
9、何值时，齐次线性方程组有非零解？有非零解？解解 由系数行列式由系数行列式上页返回下页2021/3/2418授课：XXX第一章小结第一章小结 本章从解二元一次线性方程组入手，引入本章从解二元一次线性方程组入手，引入了二、三阶行列式的概念，并给出了对角线法了二、三阶行列式的概念，并给出了对角线法则的行列式求解方法，以此进一步扩展到则的行列式求解方法，以此进一步扩展到n阶阶行列式的定义。为了求解一般的行列式的定义。为了求解一般的n阶行列式，阶行列式，我们研究了行列式的性质以及行列式按行（列）我们研究了行列式的性质以及行列式按行（列）展开。通过这些性质，可以将一个展开。通过这些性质，可以将一个n阶行列
10、式阶行列式转化成等价的对角行列式或上下三角形行列式，转化成等价的对角行列式或上下三角形行列式，或者通过展开，将高阶的行列式转化成低阶的或者通过展开，将高阶的行列式转化成低阶的行列式，从而更易求解。最后，我们给出了求行列式，从而更易求解。最后，我们给出了求解解n元一次线性方程组的克拉默法则，并且讨元一次线性方程组的克拉默法则，并且讨论了非齐次线性方程组的系数行列式与解的唯论了非齐次线性方程组的系数行列式与解的唯一性之间的关系以及齐次线性方程组非零解与一性之间的关系以及齐次线性方程组非零解与系数行列式之间的关系。系数行列式之间的关系。下页上页返回2021/3/2419授课：XXX第一章主要方法一）四阶行列式的计算：一）四阶行列式的计算： 1）利用行列式性质化为目标行列式计算；）利用行列式性质化为目标行列式计算； 2）行列式按行（列）展开法则；）行列式按行（列）展开法则； 二）二） 阶行列式的计算：阶行列式的计算： 1）推递法：找出）推递法：找出 阶行列式的关系式；阶行列式的关系式； 2）数学归纳法（已知等式）数学归纳法（已知等式）三）判断齐次线性方程组（方程个数等于未知量三）判断齐次线性方程组（方程个数等于未知量个数）有非零解：个数）有非零解： 系数行列式是否不等于零；系数行列式是否不等于零；上页返回2021/3/2420授课：XXXThank you!2021/3/2421
