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1、电路分析基础电路分析基础教师教师教师教师：张张张张 荣荣荣荣专业基础课第二章 网孔分析和节点分析n n在支路分析法一节中已述及，由独立电压（流）源和线性电阻构成的电路，可以用b个支路电流（压）变量来建立电路方程。n n支路电流法、支路电压法支路电流法、支路电压法n n在b个支路电流中，只有一部分电流是独立变量，另一部分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立变量来建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。2.1 网孔分析n n对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，它的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得到网孔电流后，用
2、KCL方程可求出全部支路电流，再用VCR方程可求出全部支路电压。 一、网孔电流一、网孔电流 若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6条支路和4个结点。对、结点写出KCL方程。 支路电流支路电流i4、i5和和i6可以用另外三个支路电流可以用另外三个支路电流i1、i2和和i3的的线性组合来表示。线性组合来表示。 i4、i5和和i6是非独立电流，它们由独立电流是非独立电流，它们由独立电流i1、i2和和i3的线性的线性组合确定。可以设想电流组合确定。可以设想电流i1、i2和和i3沿每个网孔边界闭合流动而沿每个网孔边界闭合流动而形成。这种在网孔内闭合流动的电流，称为形成。这种在网孔内闭合流动的电
3、流，称为网孔电流网孔电流。它是它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量一组能确定全部支路电流的独立电流变量。对于具有。对于具有b条支路条支路和和n个结点的平面连通电路来说，共有个结点的平面连通电路来说，共有(b-n+1)个网孔电流。个网孔电流。二、网孔方程二、网孔方程消去消去i4、i5和和i6后可以得到：后可以得到： 网孔方程网孔方程 以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL方程分别为：方程分别为： 将网孔方程写成一般形式：将网孔方程写成一般形式： 其中其中R11, R22和和R33称为网孔称为网孔自电阻自电阻，它们分别，它们分别是各网孔内
4、全部电阻的总和。例如是各网孔内全部电阻的总和。例如R11= R1+ R4+ R5, R22= R2 + R5+ R6, R33= R3+ R4+ R6。互电阻互电阻：Rkj(k j)称为网孔称为网孔k与网孔与网孔j的互电阻，它们的互电阻，它们是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号，例如相同方向流过公共电阻时取正号，例如R12= R21= R5, R13= R31= R4。当两网孔电流以相反方向流过公。当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如共电阻时取负号，例如R23= R32=-R6。电压源：电压源：uS11
5、、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压分别为各网孔中全部电压源电压升的代数和。绕行方向由源电压升的代数和。绕行方向由 - 极到极到 + 极的电极的电压源取正号；反之则取负号。例如压源取正号；反之则取负号。例如uS11=uS1, uS22=uS2, uS33=-uS3。 由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。具有m个网孔的平面电路，其网孔方程的一般形式为 三、网孔分析法的计算步骤三、网孔分析法的计算步骤 1在电路图上标明网孔电流及其
6、参考方向。若全部网在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针孔电流均选为顺时针(或逆时针或逆时针)方向，则网孔方程的方向，则网孔方程的全部全部互电阻项均取负号互电阻项均取负号。 2用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。 3求解网孔方程，得到各网孔电流。求解网孔方程，得到各网孔电流。 4假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。流的线性组合关系，求得各支路电流。 5用用VCR方程，求得各支路电压。方程，求得各支路电压。 例例 用网孔分析法求图中电路各支路电流。
7、用网孔分析法求图中电路各支路电流。 解：选定两个网孔电流解：选定两个网孔电流i1和和i2的参考方向。观察电路直接列出的参考方向。观察电路直接列出 网孔方程：网孔方程： 整理为整理为 由克莱姆法则得：由克莱姆法则得： 附： 克莱姆法则设含有n n个未知数x x1 1 , x , x2 2 , , , , x xn n的n n个线性方程的方程组（1 1）称为方程组（1）的系数行列式。则定理：(克莱姆法则)则方程组（1）有唯一解：其中 如果方程组（1）的系数行列式不等于零系数行列式不等于零: 例例 用网孔分析法求用网孔分析法求电路各支路电流。电路各支路电流。 解：选定各网孔电流的参考方向。列出网孔方
8、程：解：选定各网孔电流的参考方向。列出网孔方程：整理为整理为 解得：解得：四、含独立电流源电路的网孔方程四、含独立电流源电路的网孔方程 当电路中含有独立电流源时，不能用式(2-4)来建立含电流源网孔的网孔方程。 应增加电流源电压作变量来建立这些网孔的网孔方程。此时，由于增加了电压变量，需补充电流源电流与网孔电流关系的方程。对于由独立电压源，独立电流源和电阻构成的电路来说，其网孔方程的一般形式应改为以下形式 其其中中uiskk 表表示示第第k个个网网孔孔的的全全部部电电流流源源电电压压的的代代数数和和，其其沿沿该该网网孔孔电电流流参参考考方方向向电电压压降降时时取取正正号号，升升则则取取负负号号
9、。由由于于变变量量的的增增加加，需需要要补补充充这这些些电电流流源源(iSK) 与与相相关关网网孔孔电电流流(ii, ij) 关系的方程，其一般形式为关系的方程，其一般形式为 其中，当网孔电流参考方向其中，当网孔电流参考方向(ii或或ij)与电流源与电流源(iSK)参考参考方向相同时取正号，相反则取负号。方向相同时取正号，相反则取负号。 含受控源例例 用网孔分析法求电路的支路电流。用网孔分析法求电路的支路电流。 解：设电流源电压为解：设电流源电压为u，考虑了电压，考虑了电压u的网孔方程为：的网孔方程为：补充方程补充方程 求解以上方程得到：求解以上方程得到： 例例 用网孔分析法求解电路的网孔电流
10、。用网孔分析法求解电路的网孔电流。 解：当解：当电流源出现在电路外围边界上时电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于，该网孔电流等于 电流源电流，成为已知量，此例中为电流源电流，成为已知量，此例中为i3=2A。此时不必此时不必 列出此网孔的网孔方程。列出此网孔的网孔方程。代入代入i3=2A，整理得到：，整理得到： 解得解得i1=4A, i2=3A和和i3=2A。 只需计入只需计入1A电流源电压电流源电压u，列出两个网孔方程，列出两个网孔方程和一个补充方程：和一个补充方程：1、列方程时先将受控源当独立电源对待；2、再补充一个控制量与网孔电流关系的方程。五、含受控源电路的网孔方程五、含受控源电
11、路的网孔方程例：例：列出网孔电流方程。列出网孔电流方程。解：设网孔电流方向解：设网孔电流方向如图所示。列写如图所示。列写方程如下：方程如下：(R1 + R2 + R3) Im1( R2 + R3) Im22U1 = Us ( R2 + R3) Im1 + (R2 +R3 + R4) Im2 = 0 再补充一个方程：再补充一个方程： U1 = R3 (Im1 Im2 ) 含独立电流源公式4将补充方程代入网孔电流方程中，整理得： (R1 + R2 R3) Im1( R2R3) Im2= Us (R2 + R3) Im1 + (R2 + R3 + R4) Im2 = 0 注意：当电路中出现受控源时，
12、互电阻注意：当电路中出现受控源时，互电阻R12 与与R21不再相等！不再相等！例：例： 列出网孔电流方程。列出网孔电流方程。解：先将受控源当作独解：先将受控源当作独立电源对待，列写网孔立电源对待，列写网孔电流方程：电流方程：Im1 = gU1 ( R2 + R3) Im1 + (R2 + R3 + R4) Im2 = 0再补充一个方程：再补充一个方程：U1 = R3 (Im1 Im2 )4gU1将补充方程代入网孔电流方程中，得：（1 g R3) Im1 +gR3 Im2 = 0 ( R2 + R3) Im1 + (R2 + R3 + R) Im2 = 0当电路中出现受控源时，互电阻当电路中出现
13、受控源时，互电阻R12 与与R21不再相等！不再相等！网孔分析法n n（1）完备性：网孔电流一旦求出，各支路电流就被唯一确定。n n（2）独立性：网孔电流自动满足KCL。n n网孔分析法的实质：用网孔电流来表示的KVL方程。n n网孔分析法不仅使独立方程数目减少，而且很容易列写方程。n n具有普遍性，程序化，系统化的分析方法。具有普遍性，程序化，系统化的分析方法。n n只适合于平面电路。只适合于平面电路。2-3 2-3 结点分析结点分析 1. 结点电压是一组完备的独立电压变量 任选一个结点为参考点，其他结点到参考点的电压降，称为该结点的结点电压，共 n - 1 个 ；a, 选结点 4 为参考点
14、;b, un1, un2, un3 为结点电压;c, G1,G3,G5 上的结点可用 un1, un2, un3 线性表示 独立性，因沿任一回路的各支路电压如以结点电压表示，列写的 KVL 方程恒等于零，因此，就 KVL 来说各结点电压彼此独立无关。 求结点电压需要根据 KCL 及 VCR 来列方程 。 完备性：一旦求出了 n - 1 个结点电压，全部 b 条支路电压均可根据 KVL 随之确定。 2.求解过程及结点电压方程的普遍形式 概括为一般形式 整理可得 推广到 n 个结点的电路，其结点电压方程的普遍形式为 这里 自电导自电导 连接到第连接到第 i i 个结点的个结点的全部电导之和；全部电
15、导之和； 互电导互电导 连接在结点连接在结点 i i 和结和结点点 j j 之间的电导之和的负值；之间的电导之和的负值； 注入电流注入电流 注入到第注入到第 i i 个结点的电流个结点的电流源电流的代数和源电流的代数和； 例：列出结点电压方程。 解：结点编号如图所示，则有34 列结点电压方程时，不需要事先指定支路电流的参考方向，如要检验答案，应按支路电流用 KCL 进行. 3.求得各结点电压后，可以根据VCR求出各支路电流； 4电路中含有理想电压源的情况 选电压源的一端连接点作为参考点， 则关于另一端的节点电压已知，无需再列方程！ 把电压源的电流作为附加变量列入 KCL 方程，增加节点电压与电
16、压源电压之间的关系。 例：试列出图示电路的节点电压方程。 解：列节点电压方程时，如果电压源跨接在两个节点之间，怎么办？先设一个未知电流！如果将节点 3 选作参考节点？此时可简化节点方程！例 试列出图示电路的节点电压方程。解法一：解法二：设电压源电流为 i ，则补充：i5电路中含有受控源的情况 1、列方程时先将受控源当独立电源对待；2、再补充一个控制量与节点电压关系的方程。解：结点编号如图示,则补充： 例：图中含有 VCCS，其电流 iC = gu2 , 其中 u2 为电阻 R2 上电压，试列写节点电压方程。 整理可得注意：当电路中出现受控源时，互电导注意：当电路中出现受控源时，互电导G12 与
17、与G21不再相等！不再相等！ 例2-11：试为下图所示含受控电流源电路（晶体管放大电路的低频等效电路）列写节点电压方程。 解：出现受控源时，暂将其看作独立电源列方程，然后把受控源的控制量用节点电压表示，代回原方程进行整理。补充： 6，节点电压法的步骤 指定参考节点，其余节点对参考节点之间的电压就是节点电压； 列出节点电压方程（按普遍形式）。注意，自电导总为正，互电导总为负，另要注意注入电流前面的 “+”、 “-” 号； 当电路中含有电压源或受控源时按前述方法处理。网孔法和节点法的适用性网孔法和节点法的适用性n n如果电流的独立节点数少于网孔数，则节点法比网孔法联立方程数少，较易求解n n如果已
18、知电源是电流源，则节点分析更方便；如果电源是电压源，则网孔分析更方便。n n网孔法只适用于平面电路，而节点法则无限制。说说 明明n n在一般的不含受控源的网孔方程（或节点方程）的一般形式为RI = Us （或或 GU = Is）n n含受控源的网孔方程（或节点方程）则为 RI + Ui = Us （或或 GU + Iu = Is）n n若将上述含受控源方程化为 RI = Us （或或 GU = Is）则此时 R中中互电阻不再相等（或 G中互电导不再相等 2-2 2-2 互易定理互易定理n n互易双口仅含线性时不变二端电阻和理想变压器的双口网络，称为互易双口。n n互易定理表明线性电路的因果互易
19、的性质。图(a)的电流 i2 与图(b)的电流 i1 相同。也就是说，在互易网络中电压源与电流表互换位置，电流表读数不变。 电压源与电流表互换电压源与电流表互换 图(a)的电压 u2 与图(b)的电压 u1 相同。也就是说，在互易网络中电流源与电压表互换位置，电压表读数不变。 电流源与电压表互换电流源与电压表互换例： 用互易定理求图中电流 i 。 根据互易定理，两图中电流根据互易定理，两图中电流 i i 相同。相同。例： 用互易定理求图中电流 i 。 22.5 .5 电路的对偶性电路的对偶性n n回顾前面学过的内容，我们会发现，电路分析中某些变量、元件、电路定律、分析方法及定理等之间存在某一规
20、律或具有某种关系。例如以基尔霍夫电流定律和电压定律来说，电流定律反映了节点上各支路电流的约束关系，而电压定律反映了一个回路中各支路电压之间的约束关系，把前者的节点用回路代替，电流用电压代替，就可由电流定律得到电压定律，即由KCL (i=0)，得到KVL ( u=0)。又如节点方程和网孔方程，把方程中所有的节点电压换为网孔电流，所有的电导换为电阻，所有的独立电流源换为独立电压源，或作相反的变换，就可以由一种方程得出另一种方程。再如串联电阻电路的等效电阻公式、分压公式和并联电导电路的等效电导公式、分流公式间也存在着这种对应关系。以上所述只是电路对偶性(Duality)的几个例子，认识到这种对偶性有助于掌握电路的规律，由此及彼，举一反三。本章要求本章要求n n熟练掌握电路网孔和节点的定义n n掌握网孔电流和节点电压的含义n n熟练掌握电路的网孔分析法和节点分析法作作 业业nPP.85: 2-2, 2-7, 2-12, 2-13
